Secundaria Fórmula Conservación de Energía

[la_llorona]

Hola!

Suponga $m\frac{d^2x}{dt^2}=-ke^{2 \alpha x}$.

Formule la ecuación de conservación de energía utilizando como punto de referencia $x=0$

Ayuda por fa :-[

gracias!

[Al2000]

Re: Fórmula Conservación de Energía

Básicamente lo que tienes que hacer es conseguir una expresión para la energía cinética ($\dst E_c = \frac 1 2 m v^2$) como función de la posición. Para eso integra tu expresión una vez para conseguir la velocidad en función del tiempo y una segunda vez para obtener la posición en función del tiempo. Usa las dos ecuaciones obtenidas para eliminar el tiempo y quedarte con una expresión que dependa de $x$. Si puedes reacomodar los términos para escribir una expresión "energía cinética + algo = constante", habrás conseguido tu objetivo. Ese algo sería una energía potencial. Puedes tomar, sin pérdida de generalidad tu instante inicial como $t=0$, tu posición inicial como $x_{(0)}=x_0$ y tu velocidad inicial como $v_{(0)}=v_0$.

Saludos,

AA

[la_llorona]

Re: Fórmula Conservación de Energía

Hola!

Bueno, tenía entendido que la fórmula de la energía era así:

$\displaystyle\frac{1}{2}m(\frac{dx}{dt})^2+\displaystyle\int_{x_0}^{x}f(\overline{x})d\overline{x}=E$ con E constante.

Y creo que $m\frac{d^2x}{dt^2}=-f(x)$

Pero no se si esto está correcto o si tengo que integrar para hallar V o se deja expresado?

[polonio]

Re: Fórmula Conservación de Energía

La conservación de la energía nos dice que:

$\displaystyle \Delta E_c= W^{total}$

O, lo que es lo mismo:

$\displaystyle \Delta E_c= W^{conservativo}+ W^{no\,conservativo}$

$\displaystyle \Delta E_c= -\Delta E_p+ W^{no\,conservativo}$

$\displaystyle \Delta (E_c+E_p)= \Delta E_{mec.}= W^{no\,conservativo}$

Ten en cuenta que:

$\Delta E_p=-W^{conservativo}=\int \vec{F}^{conservativa}\cdot d\vec{r}$

[Al2000]

Re: Fórmula Conservación de Energía

Los cambios que hiciste en la ecuación hacen que la cosa no sea tan simple como te escribí en mi primera respuesta. Como no identificas el significado de cada símbolo, yo voy a asumir en lo que sigue que $m$ es la masa de la partícula (supuesta constante) y por lo tanto el lado izquierdo representa la fuerza sobre ésta. Así mismo la constante $k$ tendría unidades de fuerza y

$$F_{(x)} = - k \ee^{2 a x}$$

sería la fuerza impulsora de este movimiento. Digamos que en un destello de intuición decides introducir la función $U_{(x)}$ como ayuda para describir el movimiento. Aprovechando que la fuerza $F$ sólo depende de $x$, digamos que la función $U$ satisface la ecuación

$$F_{(x)} = - \frac {d\,U_{(x)}}{dx}$$

de modo que te queda

$$\int _{U_0}^U d\,U = - \int _{x_0}^x F_{(x)}\,dx = k \int _{x_0}^x \ee^{2 a x}\,dx$$

$$U_{(x)}-U_0 = \frac k {2a} \left(\ee^{2 a x}-\ee^{2 a x_0}\right)$$

Los factores constantes podrían eliminarse si se puede elegir como referencia conveniente que $U_0 = 0$ cuando $x_0 \to -\infty$:

$$U_{(x)} = \frac k {2a} \ee^{2 a x}$$

En un segundo pero mas interesante destello de intuición, al percatarte que la función $U_{(x)}$ tiene unidades de energía, podrías preguntarte qué se obtendría si sumas este valor a la energía cinética de la partícula. Llama esa suma $E$:

$$E = E_k + U_{(x)} = \frac 1 2 m v^2 + \frac k {2a} \ee^{2 a x}$$

Y como la curiosidad sería muy grande, decides averiguar como varía $E$ con $x$ y una sonrisa invade tu rostro cuando consigues que $dE/dx$ es cero. Emocionada le gritas a la persona mas cercana "¡hey, conseguí una invariante de este movimiento!".

Luego, ya calmada, decides pulir la cosa y le das a la función $U$ el nombre de energía potencial, pensando que de alguna manera puede intercambiarse con la energía cinética, y a la constante $E$ le das el rimbombante nombre de Energía Total de la partícula sometida a la fuerza $F$.

Si quieres ir mas lejos no te costará mucho escribir la ecuación (6) como

$$\frac 1 2 m \left(\frac {dx}{dt}\right)^2 = E-U_{(x)}$$

Y, separando variables, llegar a la solución de tu ecuación original:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
ecuación que conseguirás en cualquier libro de Física a nivel universitario.

Saludos,

Al