Otras carreras Integrales de linea

[Elias]

Hola les agradezco su mayor ayuda en estos ejercicios

Un campo de fuerza $\vec{F}$ se define en $\mathbb{R}^3$ mediante la ecuación

$\vec{F}(x,y,z)=y\vec{i} + z\vec{j} + yz\vec{k}$

1) Determinar si $\vec{F}$ es o no conservativa

2) Calcular el trabajo efectuado al mover una partícula a lo largo de la curva $\vec{r}(t)=cos(t)\vec{i} + sen(t)\vec{j} + yz\vec{k}$ al variar t de 0 a $\pi$

[Caifan]

Re: Integrales de linea

Para la primera parte, hay muchas formas de determinarlo:

- Obten el rotacional del campo, y si este es igual a cero, estas frente a una fuerza conservativa.

$rot (\vec{F}) = \vec {\bigtriangledown{}} \times{} \vec {F} = 0$

- Usa una integral ciclica (cerrada), una vez mas, si el resultado es cero entonces tu campo de fuerza es conservativo.

$\oint \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = 0$

- O puedes hacerlo de la forma habitual: Si un campo es conservativo quiere decir que dicho campo es el gradiente de alguna funcion real, tambien llamada campo escalar. Suponemos entonces que el campo $\vec F$ es el gradiente de alguna funcion real, llamemosla $\phi (x,y,z)$. Ahora, el campo de fuerzas debe ser igual al gradiente del campo escalar:

$\vec \nabla \phi =\frac{{\partial { \phi}}}{{\partial x}} \vec i +\frac{{\partial { \phi}}}{{\partial y}} \vec j +\frac{{\partial { \phi}}}{{\partial z}} \vec k$

$\vec \nabla \phi = \vec F$

$\frac{{\partial { \phi}}}{{\partial x}} \vec i +\frac{{\partial { \phi}}}{{\partial y}} \vec j +\frac{{\partial { \phi}}}{{\partial z}} \vec k =y\vec{i} + z\vec{j} + yz\vec{k}$

Con lo cual se deben de cumplir las siguientes tres igualdades:

$\frac{{\partial { \phi}}}{{\partial x}} = y$

$\frac{{\partial { \phi}}}{{\partial y}} = z$

$\frac{{\partial { \phi}}}{{\partial z}} = yz$

Hasta ahora no hemos determinado nada, solo suponemos que esas relaciones se pueden cumplir. Para determinar si el campo es conservativo o no, debemos demostrar que sus componentes son, las tres, derivadas parciales de la misma funcion real. Para eso nos apoyamos en el hecho de que al derivar una funcion con respecto a una variable, y despues esa derivada volver a derivarla, pero ahora con respecto a otra variable, sin importar con respecto a quien derivemos primero, obtenemos el mismo resultado:

$\frac{{{ \partial}^2 g}}{{\partial x \partial y}}=\frac{{{ \partial}^2 g}}{{\partial y \partial x}}$

Ahora, nos disponemos a verificar si esto sucede con las componentes del campo de fuera. Para esto, debemos comparar todos los pares de variables posibles, en este caso tres: x - y, x - z, z - y.

No tiene que darte algun resultado en especial, solo que para ese par de variables, sea cual sea el orden en el que derivas, el resultado sea el mismo:

$\frac{{{ \partial}^2 \phi}}{{\partial x \partial y}} = \frac{{{ \partial}^2 \phi}}{{\partial y \partial x}}<br />$

$\frac{{{ \partial}^2 \phi}}{{\partial x \partial z}} = \frac{{{ \partial}^2 \phi}}{{\partial z \partial x}}$

$\frac{{{ \partial}^2 \phi}}{{\partial y \partial z}} = \frac{{{ \partial}^2 \phi}}{{\partial z \partial y}}$

O, con la supocicion que hicimos de que el campo vectorial es el gradiente de una funcion real:

$\frac{{\partial (y)}}{{\partial y}} = \frac{{\partial (z)}}{{\partial x}}$

$\frac{{\partial (y)}}{{\partial z}} = \frac{{\partial (yz)}}{{\partial x}}$

$\frac{{\partial (z)}}{{\partial z}} = \frac{{\partial (yz)}}{{\partial y}}$

Como la primer ecuacion no es correcta, entonces tampoco lo es nuestra suposicion, por lo cual se llega a la conclusion de que el campo de fuerza no es conservativo.

Normalmente, cuando tu realizes una prueba de este tipo (calculo vectorial, ecuaciones diferencialies ordinarias) no es necesario hacer todo el circo que acabo de hacer, solo ver si las parciales de las componentes son iguales. Eso ya depende de ti y de quien te revisara los problemas.

Por cierto, la forma comun de hacerlo es esta ultima, las otras dos son solo por si te llegaras a topar con algo asi, para que no te agarren desprevenido.