Otras carreras Problema de oscilaciones acopladas

[chandal]

Buenas. Quería saber si puedieran echarme una mano con el siguiente problema:
Nos dan las siguientes dos figuras y nos piden:
a.-Calcular la frecuencia de resonancia con la que se moverá la masa en el sistema de la figura 2.
b.- Demostrar que la diferencia de frecuencias entre ambos sistemas cuando $K_m >> k_i \approx 0$ es aproximadamente $\Delta f=f-f_m \approx \frac{f_m k_i}{2K_m}$ donde $f_m$ representa la frecuencia de resonancia de la figura 1 y $f$ la frecuencia de resonancia del sistema de la figura 2.

Bien lo que he hecho es lo siguiente:
a.- la ecuación de movimiento será [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Como las soluciones de esta ecuación son de la forma $x_1(t)=B_1e^{i\omega t}$ llego a la ecuación $-m \omega^2 - K_i + K_m=0$. Así que $\omega^2=\frac{K_m-K_i}{m}$
No se si la ecuación es correcta.

b.- Aquí he calculado la frecuencia de resonancia de la primera figura, a partir de la ecuación [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Y igual que antes llego a que $\omega^2=\frac{K_m}{m}$.

Para demostrar lo de $\Delta f$ me indican que desarrolle $\Delta f$ en serie de Taylor en torno a $f_i=0$ donde $f_i$ es la frecuencia de resonancia del muelle con constante elástica $K_i$.

Pero en vista de lo que me sale (que no sé si es correcto) tengo que $\Delta f=\frac{-K_i}{m}$, y no se como llegar muy bien a utilizar lo que me dicen ni si lo que he hecho es correcto.

Muchas gracias.

[Al2000]

Re: Problema de oscilaciones acopladas

Te quiero hacer tres preguntas si no tienes inconveniente.

1) Por pura curiosidad, ¿por qué $x_1$? ¿Tenías en mente otro uso para $x$?

2) ¿Por qué hablas de frecuencia de resonancia? ¿Hay una frecuencia externa aplicada al sistema o al decir frecuencia de resonancia te refieres a la frecuencia natural del sistema?

3) ¿Por qué en tu ecuación de movimiento te aparece $x_1$ con signo negativo y además la diferencia de las constantes de resorte? ¿No sería mas bien $\dst m \ddot x_1 + x_1 (K_i+K_m) = 0$? Esa asimetría no me cuadra. En la solución que pones la frecuencia angular se hace imaginaria si $K_m < K_i$ y no veo por cual razón.

Saludos,

Al

[chandal]

Re: Problema de oscilaciones acopladas

Hola!

En absoluto me importa responder a tus cuestiones.

En primer lugar, escojo $x_1$ porque habitualmente tomamos $x_1$ como la coordenada para el movimiento de la masa, pero no se usa $x$ en ningún sitio.

En segundo lugar, al muelle de la figura 1 se le acerca hasta contactar con la base inferior, lo que indica el problema es que al contacto con la base inferior, se comporta como si fuera otro muelle, de ahí la figura 2. En un principio yo creía que con frecuencia de resonancia se refería a la frecuencia natural, pero ahora que haces esa pregunta no sé cuál de las dos sería la correcta.

En tercer lugar, pues la verdad es que no sabía muy bien si la ecuación que puse es correcta, pensé que con el movimiento hacia abajo de la masa sería el sentido positivo, de ahí que al igualar a [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] me saliera con signo negativo.

Gracias, y un saludo.

[lucass]

Re: Problema de oscilaciones acopladas

Hola. Yo quiero preguntar: por qué no aparece el peso de m en la ecuación de movimiento??
saludos

[Al2000]

Re: Problema de oscilaciones acopladas

...
En tercer lugar, pues la verdad es que no sabía muy bien si la ecuación que puse es correcta, pensé que con el movimiento hacia abajo de la masa sería el sentido positivo, de ahí que al igualar a [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] me saliera con signo negativo.
...

Pero no respondiste la diferencia de signo en las Ks. Si el dibujo representa la posición de equilibrio y ambos resortes no están elongados en esa posición, cuando desplaces la masa una distancia $x_1$ ambos resortes ejercerán una fuerza en la misma dirección, uno por estar comprimido y el otro por estar estirado, de modo que las fuerzas se suman. Otra cosa sería una situación como la que se discutió en este hilo que tal vez quisieras revisar. Una parte de las ecuaciones está borrada, ignoro por qué, pero la esencia se conserva.

Otra cosa, con respecto a la observación de lucass yo asumo que el movimiento es en una superficie horizontal sin fricción (o en el espacio exterior) de modo que la gravedad no interviene, ¿cierto? Aunque el único efecto de una fuerza de gravedad sería desplazar el punto de equilibrio sin afectar la frecuencia de oscilación ni la amplitud, de modo que sería irrelevante para este problema...

Saudos,

Al

[chandal]

Re: Problema de oscilaciones acopladas

Es cierto que la fuerza peso no es necesario considerarla.
Gracias a tu explicación ya entiendo porque las k's tienen el mismo signo. gracias.

Lo que aún no consigo es demostrar que la diferencia entre las frecuencias es algo como lo del enunciado.

Un saludo.

[Al2000]

Re: Problema de oscilaciones acopladas

En realidad sale casi directo una vez que usas la ecuación correcta:

$\dst f = \frac 1 {2 \pi }\sqrt {\frac {K_i+K_m} m}, \quad f_m = \frac 1 {2 \pi }\sqrt {\frac {K_m} m}, \quad \Delta f = \frac 1 {2 \pi }\left(\sqrt {\frac {K_i+K_m} m} - \sqrt {\frac {K_m} m}\right)$

$\dst \Delta f = \frac 1 {2 \pi }\sqrt {\frac {K_m} m}\left(\sqrt {\frac {K_i} {K_m}+1} - 1\right) \approx f_m \left(1 + \frac 1 2 \frac {K_i}{K_m}-1\right)$

$\dst \Delta f \approx \frac {f_m K_i}{2 K_m}$

Saludos,

Al

[chandal]

Re: Problema de oscilaciones acopladas

Muchas gracias por la ayuda. El principal problema que tengo con los problemas de oscilaciones acopladas es el plantear la ecuación. Gracias por corregirmela.
Un saludo.