Secundaria Despejar

[angel relativamente]

Hola, verán en un problema he de despejar una incógnita pero no lo consigo.


$\displaystyle h= \frac{3V}{\pi \cdot [R^2 + (\frac{R(H-h)}{H})^2 + R \cdot \frac {R(H-h)}{H}]}$

Tengo que intentar despejar $h$.
Después de largas horas intentandolo, he llehado a esto:

$\displaystyle h(3H^2 +Hh + h^2) = \frac{3VH^2}{\pi R^2}$

Pero dada esa ecuación no se despejar $h$

Agradecería muchísimo vuestra ayuda
Saludos

[el monstruo del doctor frankenstein]

Re: Despejar

Pues suponiendo que no te hayas equivocado, multiplicando 'h' por lo que tienes en el paréntesis, obtienes una ecuación cúbica (de tercer grado) en 'h'.
Igual que para las ecuaciones de segundo grado está la típica fórmula conocida, para las ecuaciones cúbicas, salvo que alguien me corrija, existe también una fórmula (más complicada, claro). Búscala en la red.
Si te descargas el libro de análisis matemático de Rey Pastor, en la página 259 - 260 del primero tomo, tienes un estudio de la ecuación cúbica.

[el monstruo del doctor frankenstein]

Re: Despejar

Perdona tío, no me he dado cuenta que estudias 4º de ESO...
Haz el cambio x = (R(H-h))/H y sale solo.

[juantv]

Re: Despejar

Saludos ''Demoniorelativamente''.

Para empezar(si no estoy mal) creo que te equivocaste en lo ultimo, queda:

$$\dst h[3H^2 - 3Hh + h^2] = \frac{3VH^2}{\pi R^2}$$

Bien, en cuanto al despeje de h, haces lo que te ha dicho frankenstein(multiplicas h por lo que hay en el corchete y pasas a restar el termino independiente quedando una ecuacion cubica:

$$\dst h^3 - 3Hh^2 + 3H^2 h - \frac{3VH^2}{\pi R^2} = 0$$

Bien, ahora no se si hay una expresion concreta que te de la solucion(como en el caso de las cuadraticas) pero en general creo hay un metodo de resolucion, alla vamos:

haz el cambio:

$$\dst z=h-H$$

luego,

$$\dst h=z+H$$

y entonces queda:

$$\dst[FONT=monospace] [/FONT]\left ( z + H \right )^3 -3H[FONT=monospace][/FONT]\left ( z + H \right )^2 + 3H^2\left ( z + H \right ) - \frac{3VH^2}{\pi R^2} = 0$$

Opera esos binomios. Despues de operar(y si no me he equivocado!) nos queda:

$$\dst z^3 + H^3 - \frac{3VH^2}{\pi R^2} = 0$$

con lo que al despejar da:

$$\dst z= \sqrt[3]{\frac{H^2 (3V-\pi H R^2)}{\pi R^2}}$$

pero, $\dst z=h-H$, luego despejando h queda :

$$\dst h = \sqrt[3]{\frac{H^2 (3V-\pi H R^2}{\pi R^2}} + H$$

creo ese es el resultado si no me he equivocado, por suerte no se tuvo que hacer mas sustituciones para su resolucion.

[angel relativamente]

Re: Despejar

Pues suponiendo que no te hayas equivocado, multiplicando 'h' por lo que tienes en el paréntesis, obtienes una ecuación cúbica (de tercer grado) en 'h'.
Igual que para las ecuaciones de segundo grado está la típica fórmula conocida, para las ecuaciones cúbicas, salvo que alguien me corrija, existe también una fórmula (más complicada, claro). Búscala en la red.
Si te descargas el libro de análisis matemático de Rey Pastor, en la página 259 - 260 del primero tomo, tienes un estudio de la ecuación cúbica.

Si multiplico $h$ por lo que tengo en el parentesis, se me queda:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

¿Existe alguna fórmula para resolver el valor de h?
Yo en 4º de ESO he aprendido a resolver ecuaciones de 3er grado por Ruffini, pero esta no se como plantearla.

Haz el cambio x = (R(H-h))/H y sale solo.

No entiendo. ¿De dónde te sacas x?
Gracias

[el monstruo del doctor frankenstein]

Re: Despejar

Es una técnica muy común: creo que el nombre es 'cambio de variable'. Nombras a una parte de la ecuación como te salga del pito; en este caso llamas a (R(H-h))/H 'x'. O sea, que defines x como (R(H-h))/H y ahora en lugar de tener una ecuación con la variable 'h' tienes una ecuación con la variable 'x'. Para hacer las cosas bien, la 'h' que tienes por ahí suelta, la tienes que poner en función de 'x'; o sea, como hemos hecho x = (R(H-h))/H, tienes que despejar de ahí 'h' y ponerla en términos de 'x'. De esta forma, repito, hemos pasado de tener una ecuación de variable 'h' a una ecuación de variable 'x'.

El siguiente paso ahora es resolver la nueva ecuación de variable 'x' que, obviamente, y para eso hemos hecho lo anterior, debe ser más sencilla que la primera.

Una vez resulta, solo nos queda deshacer el cambio de variable, es decir, a partir de x = (R(H-h))/H y, como ahora 'x' ya es conocida, despejamos 'h' y resolvemos el poblema.

El inconveniente que tiene aplicar sin más la fórmula para la ecuación cúbica es que es posible que surgan valores complejos y si estás en 4º de ESO no creo que sea la mejor opción.

Joder, espero haberme explicado bien

[juantv]

Re: Despejar

Saludos ''Demoniorelativamente''.

Para empezar(si no estoy mal) creo que te equivocaste en lo ultimo, queda:

$$\dst h[3H^2 - 3Hh + h^2] = \frac{3VH^2}{\pi R^2}$$

Bien, en cuanto al despeje de h, haces lo que te ha dicho frankenstein(multiplicas h por lo que hay en el corchete y pasas a restar el termino independiente quedando una ecuacion cubica:

$$\dst h^3 - 3Hh^2 + 3H^2 h - \frac{3VH^2}{\pi R^2} = 0$$

Bien, ahora no se si hay una expresion concreta que te de la solucion(como en el caso de las cuadraticas) pero en general creo hay un metodo de resolucion, alla vamos:

haz el cambio:

$$\dst z=h-H$$

luego,

$$\dst h=z+H$$

y entonces queda:

$$\dst[FONT=monospace] [/FONT]\left ( z + H \right )^3 -3H[FONT=monospace][/FONT]\left ( z + H \right )^2 + 3H^2\left ( z + H \right ) - \frac{3VH^2}{\pi R^2} = 0$$

Opera esos binomios. Despues de operar(y si no me he equivocado!) nos queda:

$$\dst z^3 + H^3 - \frac{3VH^2}{\pi R^2} = 0$$

con lo que al despejar da:

$$\dst z= \sqrt[3]{\frac{H^2 (3V-\pi H R^2)}{\pi R^2}}$$

pero, $\dst z=h-H$, luego despejando h queda :

$$\dst h = \sqrt[3]{\frac{H^2 (3V-\pi H R^2}{\pi R^2}} + H$$

creo ese es el resultado si no me he equivocado, por suerte no se tuvo que hacer mas sustituciones para su resolucion.


no se ve ? ( Perdo si he hecho spamm )

[angel relativamente]

Re: Despejar

Saludos ''Demoniorelativamente''.

Para empezar(si no estoy mal) creo que te equivocaste en lo ultimo, queda:

$$\dst h[3H^2 - 3Hh + h^2] = \frac{3VH^2}{\pi R^2}$$

Cierto, he vuelto a comprobar y me equivoqué

Todo lo que has hecho está bien. Muchas gracias por dedicarme tu tiempo.
Gracias a ti también "el monstro del doctor frankestein"

no se ve ? ( Perdo si he hecho spamm )

Sí se ve, solo que estaba respondiendo cuando me lo mandaste y no tuve tiempo aun de comentar tu respuesta. Gracias, Saludos

[el monstruo del doctor frankenstein]

Re: Despejar

Piensa sobre este método o pregúntale a tu profe. Es muy útil y te lo encontrarás repetidas veces en el futuro así que cuanto antes lo domines, mejor.

hacemos el cambio de variable x = (R(H-h))/H -> h = H(1 - (x/R))

Con eso, la ecuación original queda como: (1 -(x/R))(Pi(R^2 + x^2 +Rx)) = 3V/H -> multiplicando, queda: R^3 + Rx^2 + R^2x - xR^2 - x^3 -Rx^2 = 3VR/PiH
agrupando, x^3 = R^3 - 3VR/PiH ; despejando x = (R^3 - 3VR/PiH)^1/3 y ahora deshaciendo el cambio de variable, (R(H-h))/H = (R^3 - 3VR/PiH)^1/3 Despejamos ahora la 'h' y ¡ya tenemos el poblema resuelto!.

Tengo que aprender LATEX ¡YA!

[juantv]

Re: Despejar

y fue un ejercicio concreto de despejar h, o te salio de algun problema de fisica(si es asi puedes comentarlo =P) ?

[angel relativamente]

Re: Despejar

Piensa sobre este método o pregúntale a tu profe. Es muy útil y te lo encontrarás repetidas veces en el futuro así que cuanto antes lo domines, mejor.

hacemos el cambio de variable x = (R(H-h))/H -> h = H(1 - (x/R))

Con eso, la ecuación original queda como: (1 -(x/R))(Pi(R^2 + x^2 +Rx)) = 3V/H -> multiplicando, queda: R^3 + Rx^2 + R^2x - xR^2 - x^3 -Rx^2 = 3VR/PiH
agrupando, x^3 = R^3 - 3VR/PiH ; despejando x = (R^3 - 3VR/PiH)^1/3 y ahora deshaciendo el cambio de variable, (R(H-h))/H = (R^3 - 3VR/PiH)^1/3 Despejamos ahora la 'h' y ¡ya tenemos el poblema resuelto!.

Ok muchas gracias

Tengo que aprender LATEX ¡YA!

El LaTeX básico es facil de aprender. Metete en los blogs de Ulises7, tiene una buena iniciación para LaTex, o en el link de LaTeX de la web de física, tambien es bueno

y fue un ejercicio concreto de despejar h, o te salio de algun problema de fisica(si es asi puedes comentarlo =P) ?

No es un problema de física, en realidad es un problema de mates.
Si te interesa saber lo que es, h es la altura que alcanza un líquido al llenar un cono por el vértice
(donde $H$ es la altura total del cono, $V$ el volumen, y $R$ el radio de la base del cono)