Péndulo cicloidal

[[Beto]]

Este hilo lo abro para tratar el tema del péndulo cicloidal.

En el cual el periodo del mismo no depende del punto de donde se suelte la partícula y siempre está dado por:

$T=4\pi\sqrt{\dfrac{a}{g}}$

Donde $a$ el radio del círculo que genera la cicloide.

La duda principal que tengo es ¿Cómo se demuestra eso?, ¿cómo se comprueba que la curva descrita por el péndulo es una cicloide?

[Niggle]

Re: Péndulo cicloidal

Lo he resuelto mediante Lagrangianos, no se si los has estudiado, pero a mi a simple vista me ha parecido la forma más fácil de resolverlo.
Te digo los pasos, ponerlo todo en latex es bastante cansino así que solo pongo lo que creo que es más importante:

0. Lo de péndulo cicloidal no lo entendía y lo he resuelto como una simple partícula atada a una cicloide, que supongo que formalmente será lo mismo.

1. Las equaciones de la cicloide son:
$\left.<br /> \begin{matrix}<br /> x=a(\phi - sin\phi)\\<br /> y=a(cos\phi + 1)<br /> \end{matrix}<br /> \right\}$
Entonces vemos que podemos expresarlo todo en función de una única coordenada generalizada.

2. Calculas T( energía cinética) y V (potencial gravitatorio en el eje y) y luego calculas L=T-V.

3. Ahora, aplicando Lagrange- Euler, se consigue la ecuación del movimiento, que a mi me ha dado el siguiente resultado, ya arreglado:
$2(1-cos\phi)\dot{\dot{\phi}} + sin\phi\dot{\phi}^2=\frac{g}{a}sin\phi$ La $phi$ que envuelve el primer paréntesis tiene dos puntos, no lo he sabido arreglar bien .

4. Ahora viene la parte difícil, y que he sabido resolver porque tenia a mano un problema bastante parecido. Usa el cambio $u=cos\frac{\phi}{2}$
Substituye y arreglando (para saber que vale $sin\phi$ y$cos\phi$ tendrás que usar la regla trigonometrica del angulo mitad.

5. Después de arreglarlo te quedará:
$\dot{\dot{u}}+{w_0^2}U=0$ (he vuelto a tener el problema con los dos puntos )
Que es una ecuación harmónica de las de toda la vida, con
$w_0=\sqrt{\frac{g}{4a}};\Rightarrow T=4\pi\sqrt{\frac{a}{g}}$

Seguramente existen otras formas de resolverlo, seguro que hay alguna más facil, si tienes problemas con los pasos intermedios te los pongo.
Nos vemos!

[[Beto]]

Re: Péndulo cicloidal

Gracias, aunque lo estaba intentando por otro camino (luego lo coloco), aunque por ambos métodos sale lo mismo.

Los cálculos intermedios que mencionas luego los hago y si es que no me sale algo luego te aviso .

De todas formas quiero mencionar que yo también lo he hecho para el caso en que se tiene una partícula oscilando sobre una superficie cicloidal; aunque seria interesante hacerlo para el caso específico del péndulo (aunque bueno ambos movimientos son equivalentes).

El otro punto seria determinar que la trayectoria del péndulo es una cicloide, cosa que con algunas consideraciones geométricas y teniendo que las dos superficies cicloidales de la parte superior son de la misma forma se puede comprobar. ¿Pero qué pasaría si las cicloides no son la misma? según creo ahí varia un poco la forma del periodo a determinar pero seguiría siendo independiente de la amplitud inicial.

Pd: Para los dos punto no hagas [FONT=Lucida Console]\dot\dot[/FONT] usa [FONT=Lucida Console]\ddot\phi[/FONT] y obtienes $\ddot\phi$

[[Beto]]

Método de Christian Huygens

Investigando un poco he encontrado un método que resulta interesante para resolver este problema, para ello haré uso de la siguiente figura:

La idea de este método es encontrar un MCU equivalente, es decir que la proyección de la velocidad del MCU sobre la vertical sea en todo momento igual a la proyección sobre la vertical de la partícula que realiza en movimiento sobre la cicloide.

Para la partícula que se mueve sobre la cicloide se tiene que la velocidad sobre la vertical es $v_y=v\cos \alpha$ (alpha es el ángulo de verde).

Además teniendo en cuenta que $v^2=2g(H-h)$ se obtiene lo siguiente:

$\displaystyle v_y=\sqrt{\frac{g}{R}}\sqrt{h(H-h)}$ ........ (1)

Para el MCU se tiene que $u_y=u\cos\beta$ (beta es el angulo de rojo), donde $\cos\beta=\dfrac{ud}{H/2}$.

Y teniendo en cuenta que $d=\sqrt{h(H-h)}$, se obtiene que:

$\displaystyle u_y=\frac{u}{H/2}\sqrt{h(H-h)}$ ..................... (2)

Comparando (1) y (2) se obtiene que:

$\displaystyle u=\frac{H}{2}\sqrt{\frac{g}{R}}$

Luego teniendo considerando que el MCU se realiza sobre una circunferencia de radio $r=H/2$ se obtiene que el periodo del movimiento es:

$\displaystyle T=4\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$

Y con esto terminaría la demostración.

Pd: Podrías colocar la expresión que representa al Lagrangiano, tengo algo te problemas para calcularlo .

[Niggle]

Re: Péndulo cicloidal

De todas formas quiero mencionar que yo también lo he hecho para el caso en que se tiene una partícula oscilando sobre una superficie cicloidal; aunque seria interesante hacerlo para el caso específico del péndulo (aunque bueno ambos movimientos son equivalentes).

Yo antes no he visto muy bien lo que decía el dibujo. Es que el péndulo, tal como haces el dibujo, ¿es un péndulo simple, pero que esta limitado entre dos cicloides, no? Entonces es resolver el problema igual que un péndulo simple, pero mirar las condiciones de contorno, que será lo difícil, digo yo, aunque me lo tendría que mirar bien, no parece muy difícil si es así. Demostrar que es equivalente ha una partícula cayendo ahora mismo no sabría como hacerlo, aunque me lo intentaré pensar.

Pd: Podrías colocar la expresión que representa al Lagrangiano, tengo algo te problemas para calcularlo

Aquí está:
Derivando la x y la y obtenemos el siguiente resultado:

$\left.<br /> \begin{matrix}<br /> \dot{x}=a\dot\phi(1 - cos\phi)\\<br /> \dot{y}=-a\dot\phi{sin\phi} <br /> \end{matrix}<br /> \right\}$

Subsituyendo en la expressión de T y V:

$T=\Sigma\frac{1}{2}m_j\dot{q_j}^2=ma^2{\dot\phi}^2(1-cos\phi)$
$V=myg=mga(cos\phi +1)$

Ahora $L=T-V=ma^2{\dot\phi}^2(1-cos\phi) - mga(cos\phi +1)$

El metodo que has puesto la verdad es que me gusta más ya que es más original y menos pico y pala.

Intentaré mirarme de resolver el problema como un péndulo simple.

PD: Mirate bien como cojes los ejes, puede cambiar bastante el problema.

[Albandres]

Re: Péndulo cicloidal

Buenas a todos!

Tengo resuelto este problema mediante varios cambios de variable. El último es u=cos(phi/2) y al final obtengo la ecuación armónica: u''+(w^2)u=0
donde w es la misma frecuencia que ya habéis mencionado.

El caso es que necesitaría saber que interpretación geométrica tiene esa u. Creo que tiene alguna relación con la "altura reducida" del péndulo.

Muchas gracias y espero ser claro

PD: soy nuevo, no se si esto funcionará así, si no, disculpad