Otras carreras Tensor de inercia generatriz de un cono

[Teo]

Muy buenas,
Haber si alguien me puede ayudar con el siguiente problema. Tenemos un cono de radio R i altura h. Sea z su eje de revolución. x e y sus ejes perpendiculares (base ortonormal). Situamos el centro del los ejes en el vertice del cono. Su tensor de inercia es=
Ix=Iy
Iz diferente
Ixy=Ixz=Izy=0 (x,y,z) ejes principales de inercia

Alguien me podria explicar por que una generatriz del cono es eje principal de inercia si i solo si si R=2h
La pregunta se hace en un test de examen de primer curso de ingenieria de caminos. Al ser test, se supone que la respuesta no deberia llevas más de 5min. (yo llevo toda la tarde buscandole una explicación). Es decir, mas que desarrolar un calculo matematico, tiene alguna explicación logica?
Muchisimas gracias

[Jose D. Escobedo]

Re: Tensor de inercia generatriz de un cono

Se tenia que demostrar que: Si $I_g =I_{33} \Leftrightarrow R=2h$. (siendo $I_{33}$ donde se toma el eje principal de rotacion para este caso en particular)

Entonces supongamos que $\hat d$ es el vector unitario a lo largo de la directriz donde $\hat d$ es igual a $(a,0,b)$ o $(0,a ,b)$ porque $I_{11} = I_{22}$ (es evidente que: $a^2+b^2=1$...(1) porque $\hat d$es unitario.) $\Rightarrow$
$\dst I_g = \hat d^T I\hat d = a^2 I_{11} + b^2 I_{33}$, pero $I_g = I_{33} \Rightarrow$

$I_{33}= a^2 I_{11} + b^2 I_{33}$...(2)

De (1) y (2) resulta $I_{33}=I_{11}$ que resulta que R=2h de ver la lista de momentos de inercia.

www.en.wikipedia.org/wiki/List_of_moments_of_inertia

lo unico que no podria ser honesto seria si no proporcionaran la lista de momentos de inercia porque toma mas de 5 minutos calcular con todo.

saludos

Jose

[carroza]

Re: Tensor de inercia generatriz de un cono

Una respuesta alternativa un poco más rapida que la de Jose:

Si $I_{33} = I_{11} = I_{22}$, que es lo que ocurre para $R=2h$,

entonces el tensor de inercia es proporcional a la matriz unidad, y cualquier rotación deja al tensor de inercia invariante. Por tanto, la direccion de la generatriz, y cualquier otra dirección, son ejes principales del cono.