Otras carreras Solución de problemas :S

[cami90]

Un bloque se desliza por una superficie horizontal sin roce con velocidad constante Vo. En un instante el bloque se ve frenado por una fuerza externa y contraria a su movimiento dada por la expresión F = -be^(av) (e=euler), donde v es la velocidad del bloque, Encontrar :
a.- la velocidad del bloque en funcion del tiempo
b.- el tiempo que necesita para detenerse
c.- la distancia que recorre hasta que se detiene.



He tratado de hacerlo mil veces, de mil maneras y a la mitad siempre termino perdiendo el hilo.. si alguien es tan amable por ultimo de explicarme bien la (a)...

saludos

[Al2000]

Re: Solución de problemas

a.- la velocidad del bloque en funcion del tiempo

Segunda ley de Newton: $\dst F = m \dot v = -b\, \ee ^{a v} \quad \Rightarrow \quad \frac {dv}{dt} = - \frac b m \ee ^{a v}$

$$\ee ^{-a v}\,dv = - \frac b m dt \quad \Rightarrow \quad \int _{v_0}^v \ee ^{-a v}\,dv = - \frac b m \int _0^t dt$$

$$- \frac 1 a \left( \ee ^{-a v} - \ee ^{-a v_0}\right) = - \frac b m t \quad \Rightarrow \quad \ee ^{-a v} = \ee ^{-a v_0} + \frac {a b} m t$$

$$- a v = \ln \left(\ee ^{-a v_0} + \frac {a b} m t\right) \quad \Rightarrow \quad \boxed {v = - \frac 1 a \ln \left(\ee ^{-a v_0} + \frac {a b} m t\right)}$$

b.- el tiempo que necesita para detenerse

$$v = - \frac 1 a \ln \left(\ee ^{-a v_0} + \frac {a b} m t_f\right) = 0 \quad \Rightarrow \quad \ee ^{-a v_0} + \frac {a b} m t_f = 1 \quad \Rightarrow \quad \boxed {t_f = \frac m {a b} \left(1 - \ee ^{-a v_0}\right)}$$

c.- la distancia que recorre hasta que se detiene.

$$d = \int _0^{t_f} v\,dt \quad \Rightarrow \quad \boxed {d = \frac m {a^2 b}\left[1-\left(1+a v_0\right) \ee ^{-a v_0}\right]}$$

Espero esto ayude. Te debo el desarrollo de la última integral, me sentí un poco vago y se la di al computador.

Saludos,

Al