¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

[Al2000]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Bueno compañero, ya estamos argumentando en círculo. Habiéndome quedado sin argumentos, le cedo el puesto a quien se anime a recojer el capote. Voy a tratar de plantear la solución numérica del problema. Si lo consigo volveré con algo mas concreto, mientras tanto me retiro de esta discusión.

Saludos,

Al

[madridista0175]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

1º ¿estás de acuerdo que justo cuando el objeto abandona la esfera la N=0, pues en ese momento deja de tocar la superficie de la esfera? De todas formas a nosotros no nos interesa conocer el valor en un punto concreto de N, sino su variación para luego poder calcular el trabajo que realiza la Fr, como explico abajo.
2º La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa lo que provoca que la energia mecanica no se conserve, por lo que
(Ec2-Ec1) + (Ep2-Ep1) ya no es igual a 0 sino = ∫Fr·dr = ∫μ·N·dr y N = mg ·sen β e integramos entre los valores finales e iniciales del problema dando como resultado -μ·P·R·cos β que el energia mecanica pérdida

[Al2000]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

No, no me sirve. Uno no puede decir una cosa en una parte de la deducción y otra mas adelante, a conveniencia. La fuerza de reacción normal no puede ser igual a la componente radial del peso. Si así fuese entonces no habría fuerza neta en la dirección radial y el cuerpo se movería tangente a la superficie. Hasta el momento en el cual el cuerpo abandona la superficie, la reacción normal de la superficie es menor que la componente radial del peso. Es esa diferencia precisamente la que obliga al cuerpo a seguir una trayectoria curvilínea, o si no el cuerpo se movería en línea recta, como cualquier cuerpo respetable hace a menos que lo obliguen a hacer lo contrario.

Insisto, uno no puede decir que la reacción normal vale N = P·sen β hasta el momento en el cual el cuerpo abandona la superficie y entonces bruscamente cae a cero. El cuerpo se mueve sin discontinuidades pasando de una trayectoria circular a una trayectoria parabólica y ambas partes del movimiento empatan suavemente en el punto en el cual el cuerpo cesa el contacto con la esfera.

Saludos,

Al

[madridista0175]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Una cosa es que N = 0 cuando deja de tocar la esfera, por lo que P·sen β - N = M·a = M·V²/R ----g·sen β = V²/R
y otra es el valor de N durante el recorrido que va cambiando , por lo que debemos integrar entre el valor final β (cuando abandona la esfera)y entre el valor inicial π/2 (punto mas alto de la esfera) y así poder calcular el trabajo que realiza la Fr.
Esto es lo que entiendo yo ¿te sirve? un saludo.

[Al2000]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Yo tengo una pequeña reserva respecto a esta solución. Pregúntale a quien te pasó la solución como concilia calcular el trabajo usando "N = P·sen β" cuando mas adelante dice que "P·sen β - N = M·a = M·V²/R". To be or not to be... Ese es mi problema. Cuando intenté hallar la velocidad me conseguí con la relación $\dst \frac 1 2 \omega ^2 = g (1-\cos \theta ) - \frac \mu {R^2} \int_0^\theta (g \cos \theta - \omega ^2 R) d \theta$ que fue lo mas lejos que llegué, Por eso te puse en respuesta anterior que terminas con una ecuación integral.

Que la respuesta coincida con la "usual" cuando haces μ = 0 no es ninguna garantía de que está bien calculado. Si el cálculo del trabajo está mal, al eliminarlo haciendo μ = 0 llevará al resultado correcto para el caso sin fricción.

Saludos,

Al

[madridista0175]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Disculpad pero creo que he copiado dos veces la solución , la pongo de nuevo de forma correcta para que se entienda claro:

½MV² = M·g·R - M·g·R·sen β - Wfr

W = ∫Fr·dr = ∫μ·N·dr = **

Arco = ángulo·radio = β·R => dr = R·dβ (N = P·sen β = Py)

** = ∫μ·N·dr = ∫μ·P·sen β·R·dβ = -μ·P·R·cos β

Esta integral hay que hacerla bajo los límites de integración: de π/2 a β (que es cuando deja el plano)
β
W = -[μ·P·R·cos β] = -μ·P·R·cos β
π/2

Luego, volviendo al principio de conservación inicial:

½MV² = M·g·R - M·g·R·sen β - Wfr = M·g·R - M·g·R·sen β - μ·P·R·cos β = M·g·R·(1 - sen β - μ·cos β)

V² = 2·g·R·(1 - sen β - μ·cos β)

Por otro lado aplicando dinámica, tenemos que :

∑FN = P·sen β - N = M·a = M·V²/R　;　La N = 0 cuando deja de tocar la esfera.

Dividiendo por M:

g·sen β = V²/R

g·sen β = 2·g·R·(1 - sen β - μ·cos β)/R = 2·g·(1-sen β - μ·cos β)

sen β = 2·(1-sen β - μ·cos β) = 2 -2·sen β - 2·μ·cos β

3·sen β + 2·μ·cos β = 2 (Resolviendo esta Ec. trigonométrica)

3·sen β + 2·μ·√(1 - sen² β) = 2

2·μ·√(1 - sen² β) = 2 - 3·sen β elevando al cuadrado:

4·μ²·(1 - sen² β) = 4 + 9·sen² β - 12·sen β

(9 + 4·μ²)·sen² β - 12·sen β + 4 - 4·μ² = 0

(9 + 4·μ²)·sen² β - 12·sen β + 4·(1 - μ²) = 0

12 ± √144-16·(1 - μ²)(9 + 4·μ²)
sen β = ---------------------------------- = (operando)
2·(9 + 4·μ²)

6 ± 2·μ·√(5 + 4·μ²)
= ------------------------ (seguramente la solución física será tomando +)
9 + 4·μ²

de donde la altura será:

h = R·sen β

que como se puede comprobar da el mismo resultado del otro problema si hacemos μ = 0, es decir,

sen β = 2/3 y h = 2R/3

[madridista0175]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

A ver que tal os parecece esta solución que me han pasado:


½MV² = M·g·R - M·g·R·sen β - Wfr

W = ∫Fr·dr = ∫μ·N·dr

Arco = ángulo·radio = β·R => dr = R·dβ (N = P·sen β = Py)

** = ∫μ·N·dr = ∫μ·P·sen β·R·dβ = -μ·P·R·cos β

Esta integral hay que hacerla bajo los límites de integración: de π/2 a β (que es cuando deja el plano)
β
W = -[μ·P·R·cos β] = -μ·P·R·cos β
π/2

Luego, volviendo al principio de conservación inicial:

½MV² = M·g·R - M·g·R·sen β - Wfr = M·g·R - M·g·R·sen β - μ·P·R·cos β = M·g·R·(1 - sen β - μ·cos β)

V² = 2·g·R·(1 - sen β - μ·cos β)

Por otro lado aplicando dinámica, tenemos que :

∑FN = P·sen β - N = M·a = M·V²/R　;　La N = 0 cuando deja de tocar la esfera.

Dividiendo por M:

g·sen β = V²/R

g·sen β = 2·g·R·(1 - sen β - μ·cos β)/R = 2·g·(1-sen β - μ·cos β)

sen β = 2·(1-sen β - μ·cos β) = 2 -2·sen β - 2·μ·cos β

3·sen β + 2·μ·cos β = 2 (Resolviendo esta Ec. trigonométrica)

3·sen β + 2·μ·√(1 - sen² β) = 2

2·μ·√(1 - sen² β) = 2 - 3·sen β elevando al cuadrado:

4·μ²·(1 - sen² β) = 4 + 9·sen² β - 12·sen β

(9 + 4·μ²)·sen² β - 12·sen β + 4 - 4·μ² = 0

(9 + 4·μ²)·sen² β - 12·sen β + 4·(1 - μ²) = 0

12 ± √144-16·(1 - μ²)(9 + 4·μ²)
sen β = ---------------------------------- = (operando)
2·(9 + 4·μ²)

6 ± 2·μ·√(5 + 4·μ²)
= ------------------------ (seguramente la solución física será tomando +)
9 + 4·μ²

d½MV² = M·g·R - M·g·R·sen β - Wfr

W = ∫Fr·dr = ∫μ·N·dr = **

Arco = ángulo·radio = β·R => dr = R·dβ (N = P·sen β = Py)

** = ∫μ·N·dr = ∫μ·P·sen β·R·dβ = -μ·P·R·cos β

Esta integral hay que hacerla bajo los límites de integración: de π/2 a β (que es cuando deja el plano)
β
W = -[μ·P·R·cos β] = -μ·P·R·cos β
π/2

Luego, volviendo al principio de conservación inicial:

½MV² = M·g·R - M·g·R·sen β - Wfr = M·g·R - M·g·R·sen β - μ·P·R·cos β = M·g·R·(1 - sen β - μ·cos β)

V² = 2·g·R·(1 - sen β - μ·cos β)

Por otro lado aplicando dinámica, tenemos que :

∑FN = P·sen β - N = M·a = M·V²/R　;　La N = 0 cuando deja de tocar la esfera.

Dividiendo por M:

g·sen β = V²/R

g·sen β = 2·g·R·(1 - sen β - μ·cos β)/R = 2·g·(1-sen β - μ·cos β)

sen β = 2·(1-sen β - μ·cos β) = 2 -2·sen β - 2·μ·cos β

3·sen β + 2·μ·cos β = 2 (Resolviendo esta Ec. trigonométrica)

3·sen β + 2·μ·√(1 - sen² β) = 2

2·μ·√(1 - sen² β) = 2 - 3·sen β elevando al cuadrado:

4·μ²·(1 - sen² β) = 4 + 9·sen² β - 12·sen β

(9 + 4·μ²)·sen² β - 12·sen β + 4 - 4·μ² = 0

(9 + 4·μ²)·sen² β - 12·sen β + 4·(1 - μ²) = 0

12 ± √144-16·(1 - μ²)(9 + 4·μ²)
sen β = ---------------------------------- = (operando)
2·(9 + 4·μ²)

6 ± 2·μ·√(5 + 4·μ²)
= ------------------------ (seguramente la solución física será tomando +)
9 + 4·μ²

de donde la altura será:

h = R·sen β

que como se puede comprobar da el mismo resultado del otro problema si hacemos μ = 0, es decir,

sen β = 2/3 y h = 2R/3e donde la altura será:

h = R·sen β

que como se puede comprobar da el mismo resultado del otro problema si hacemos μ = 0, es decir,

sen β = 2/3 y h = 2R/3

[Al2000]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Hombre, el problema no es el dibujo sino la ecuación integral que resulta Te propongo que escribas la solución sin fricción para puntualizar donde hay que meter la consideración de la fricción. Tal como he visto resuelto el problema desde siempre es hacer un balance de energía para hallar la velocidad para la cual la reacción normal se anula, lo cual es una papaya (en Venezuela, algo sumamente fácil) sin fricción pero con tricción implica calcular la integral $\int \boldsymbol f \boldsymbol \cdot d \bold s$ de la fuerza de fricción a lo largo de la trayectoria circular. No sé si los chicos de mecánica clásica tendrán un método mas poderoso para resolverlo.

Saludos,

Al

[madridista0175]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

os pongo el problema en dibujo para hacer más gráfico el problema

[madridista0175]

Hola a todos !!! soy nuevo en el foro y no estoy muy seguro de si es aqui donde debo plantear mi duda, pero allí va:
Es muy conocido el problema en el que se plantea que desde el punto más alto de una esfera de radio R se desliza libremente sin rozamiento ni velocidad inicial un cuerpo de masa M y se nos pregunta el punto en que abandona la superficie esférica. El resultado era H=R/3 desde el punto mas alto de la esfera o bien x= 48º 11" desde la vertical.
Bueno aquí es donde viene mi cuestión y es que no se calcular cuando abandonará la esfera en el caso de que sí exista fuerza de rozamiento.