Secundaria ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

[madridista0175]

Hola a todos !!! soy nuevo en el foro y no estoy muy seguro de si es aqui donde debo plantear mi duda, pero allí va:
Es muy conocido el problema en el que se plantea que desde el punto más alto de una esfera de radio R se desliza libremente sin rozamiento ni velocidad inicial un cuerpo de masa M y se nos pregunta el punto en que abandona la superficie esférica. El resultado era H=R/3 desde el punto mas alto de la esfera o bien x= 48º 11" desde la vertical.
Bueno aquí es donde viene mi cuestión y es que no se calcular cuando abandonará la esfera en el caso de que sí exista fuerza de rozamiento.

[madridista0175]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

os pongo el problema en dibujo para hacer más gráfico el problema

[Al2000]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Hombre, el problema no es el dibujo sino la ecuación integral que resulta Te propongo que escribas la solución sin fricción para puntualizar donde hay que meter la consideración de la fricción. Tal como he visto resuelto el problema desde siempre es hacer un balance de energía para hallar la velocidad para la cual la reacción normal se anula, lo cual es una papaya (en Venezuela, algo sumamente fácil) sin fricción pero con tricción implica calcular la integral $\int \boldsymbol f \boldsymbol \cdot d \bold s$ de la fuerza de fricción a lo largo de la trayectoria circular. No sé si los chicos de mecánica clásica tendrán un método mas poderoso para resolverlo.

Saludos,

Al

[madridista0175]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

A ver que tal os parecece esta solución que me han pasado:


½MV² = M·g·R - M·g·R·sen β - Wfr

W = ∫Fr·dr = ∫μ·N·dr

Arco = ángulo·radio = β·R => dr = R·dβ (N = P·sen β = Py)

** = ∫μ·N·dr = ∫μ·P·sen β·R·dβ = -μ·P·R·cos β

Esta integral hay que hacerla bajo los límites de integración: de π/2 a β (que es cuando deja el plano)
β
W = -[μ·P·R·cos β] = -μ·P·R·cos β
π/2

Luego, volviendo al principio de conservación inicial:

½MV² = M·g·R - M·g·R·sen β - Wfr = M·g·R - M·g·R·sen β - μ·P·R·cos β = M·g·R·(1 - sen β - μ·cos β)

V² = 2·g·R·(1 - sen β - μ·cos β)

Por otro lado aplicando dinámica, tenemos que :

∑FN = P·sen β - N = M·a = M·V²/R　;　La N = 0 cuando deja de tocar la esfera.

Dividiendo por M:

g·sen β = V²/R

g·sen β = 2·g·R·(1 - sen β - μ·cos β)/R = 2·g·(1-sen β - μ·cos β)

sen β = 2·(1-sen β - μ·cos β) = 2 -2·sen β - 2·μ·cos β

3·sen β + 2·μ·cos β = 2 (Resolviendo esta Ec. trigonométrica)

3·sen β + 2·μ·√(1 - sen² β) = 2

2·μ·√(1 - sen² β) = 2 - 3·sen β elevando al cuadrado:

4·μ²·(1 - sen² β) = 4 + 9·sen² β - 12·sen β

(9 + 4·μ²)·sen² β - 12·sen β + 4 - 4·μ² = 0

(9 + 4·μ²)·sen² β - 12·sen β + 4·(1 - μ²) = 0

12 ± √144-16·(1 - μ²)(9 + 4·μ²)
sen β = ---------------------------------- = (operando)
2·(9 + 4·μ²)

6 ± 2·μ·√(5 + 4·μ²)
= ------------------------ (seguramente la solución física será tomando +)
9 + 4·μ²

d½MV² = M·g·R - M·g·R·sen β - Wfr

W = ∫Fr·dr = ∫μ·N·dr = **

Arco = ángulo·radio = β·R => dr = R·dβ (N = P·sen β = Py)

** = ∫μ·N·dr = ∫μ·P·sen β·R·dβ = -μ·P·R·cos β

Esta integral hay que hacerla bajo los límites de integración: de π/2 a β (que es cuando deja el plano)
β
W = -[μ·P·R·cos β] = -μ·P·R·cos β
π/2

Luego, volviendo al principio de conservación inicial:

½MV² = M·g·R - M·g·R·sen β - Wfr = M·g·R - M·g·R·sen β - μ·P·R·cos β = M·g·R·(1 - sen β - μ·cos β)

V² = 2·g·R·(1 - sen β - μ·cos β)

Por otro lado aplicando dinámica, tenemos que :

∑FN = P·sen β - N = M·a = M·V²/R　;　La N = 0 cuando deja de tocar la esfera.

Dividiendo por M:

g·sen β = V²/R

g·sen β = 2·g·R·(1 - sen β - μ·cos β)/R = 2·g·(1-sen β - μ·cos β)

sen β = 2·(1-sen β - μ·cos β) = 2 -2·sen β - 2·μ·cos β

3·sen β + 2·μ·cos β = 2 (Resolviendo esta Ec. trigonométrica)

3·sen β + 2·μ·√(1 - sen² β) = 2

2·μ·√(1 - sen² β) = 2 - 3·sen β elevando al cuadrado:

4·μ²·(1 - sen² β) = 4 + 9·sen² β - 12·sen β

(9 + 4·μ²)·sen² β - 12·sen β + 4 - 4·μ² = 0

(9 + 4·μ²)·sen² β - 12·sen β + 4·(1 - μ²) = 0

12 ± √144-16·(1 - μ²)(9 + 4·μ²)
sen β = ---------------------------------- = (operando)
2·(9 + 4·μ²)

6 ± 2·μ·√(5 + 4·μ²)
= ------------------------ (seguramente la solución física será tomando +)
9 + 4·μ²

de donde la altura será:

h = R·sen β

que como se puede comprobar da el mismo resultado del otro problema si hacemos μ = 0, es decir,

sen β = 2/3 y h = 2R/3e donde la altura será:

h = R·sen β

que como se puede comprobar da el mismo resultado del otro problema si hacemos μ = 0, es decir,

sen β = 2/3 y h = 2R/3

[madridista0175]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Disculpad pero creo que he copiado dos veces la solución , la pongo de nuevo de forma correcta para que se entienda claro:

½MV² = M·g·R - M·g·R·sen β - Wfr

W = ∫Fr·dr = ∫μ·N·dr = **

Arco = ángulo·radio = β·R => dr = R·dβ (N = P·sen β = Py)

** = ∫μ·N·dr = ∫μ·P·sen β·R·dβ = -μ·P·R·cos β

Esta integral hay que hacerla bajo los límites de integración: de π/2 a β (que es cuando deja el plano)
β
W = -[μ·P·R·cos β] = -μ·P·R·cos β
π/2

Luego, volviendo al principio de conservación inicial:

½MV² = M·g·R - M·g·R·sen β - Wfr = M·g·R - M·g·R·sen β - μ·P·R·cos β = M·g·R·(1 - sen β - μ·cos β)

V² = 2·g·R·(1 - sen β - μ·cos β)

Por otro lado aplicando dinámica, tenemos que :

∑FN = P·sen β - N = M·a = M·V²/R　;　La N = 0 cuando deja de tocar la esfera.

Dividiendo por M:

g·sen β = V²/R

g·sen β = 2·g·R·(1 - sen β - μ·cos β)/R = 2·g·(1-sen β - μ·cos β)

sen β = 2·(1-sen β - μ·cos β) = 2 -2·sen β - 2·μ·cos β

3·sen β + 2·μ·cos β = 2 (Resolviendo esta Ec. trigonométrica)

3·sen β + 2·μ·√(1 - sen² β) = 2

2·μ·√(1 - sen² β) = 2 - 3·sen β elevando al cuadrado:

4·μ²·(1 - sen² β) = 4 + 9·sen² β - 12·sen β

(9 + 4·μ²)·sen² β - 12·sen β + 4 - 4·μ² = 0

(9 + 4·μ²)·sen² β - 12·sen β + 4·(1 - μ²) = 0

12 ± √144-16·(1 - μ²)(9 + 4·μ²)
sen β = ---------------------------------- = (operando)
2·(9 + 4·μ²)

6 ± 2·μ·√(5 + 4·μ²)
= ------------------------ (seguramente la solución física será tomando +)
9 + 4·μ²

de donde la altura será:

h = R·sen β

que como se puede comprobar da el mismo resultado del otro problema si hacemos μ = 0, es decir,

sen β = 2/3 y h = 2R/3

[Al2000]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Yo tengo una pequeña reserva respecto a esta solución. Pregúntale a quien te pasó la solución como concilia calcular el trabajo usando "N = P·sen β" cuando mas adelante dice que "P·sen β - N = M·a = M·V²/R". To be or not to be... Ese es mi problema. Cuando intenté hallar la velocidad me conseguí con la relación $\dst \frac 1 2 \omega ^2 = g (1-\cos \theta ) - \frac \mu {R^2} \int_0^\theta (g \cos \theta - \omega ^2 R) d \theta$ que fue lo mas lejos que llegué, Por eso te puse en respuesta anterior que terminas con una ecuación integral.

Que la respuesta coincida con la "usual" cuando haces μ = 0 no es ninguna garantía de que está bien calculado. Si el cálculo del trabajo está mal, al eliminarlo haciendo μ = 0 llevará al resultado correcto para el caso sin fricción.

Saludos,

Al

[madridista0175]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Una cosa es que N = 0 cuando deja de tocar la esfera, por lo que P·sen β - N = M·a = M·V²/R ----g·sen β = V²/R
y otra es el valor de N durante el recorrido que va cambiando , por lo que debemos integrar entre el valor final β (cuando abandona la esfera)y entre el valor inicial π/2 (punto mas alto de la esfera) y así poder calcular el trabajo que realiza la Fr.
Esto es lo que entiendo yo ¿te sirve? un saludo.

[Al2000]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

No, no me sirve. Uno no puede decir una cosa en una parte de la deducción y otra mas adelante, a conveniencia. La fuerza de reacción normal no puede ser igual a la componente radial del peso. Si así fuese entonces no habría fuerza neta en la dirección radial y el cuerpo se movería tangente a la superficie. Hasta el momento en el cual el cuerpo abandona la superficie, la reacción normal de la superficie es menor que la componente radial del peso. Es esa diferencia precisamente la que obliga al cuerpo a seguir una trayectoria curvilínea, o si no el cuerpo se movería en línea recta, como cualquier cuerpo respetable hace a menos que lo obliguen a hacer lo contrario.

Insisto, uno no puede decir que la reacción normal vale N = P·sen β hasta el momento en el cual el cuerpo abandona la superficie y entonces bruscamente cae a cero. El cuerpo se mueve sin discontinuidades pasando de una trayectoria circular a una trayectoria parabólica y ambas partes del movimiento empatan suavemente en el punto en el cual el cuerpo cesa el contacto con la esfera.

Saludos,

Al

[madridista0175]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

1º ¿estás de acuerdo que justo cuando el objeto abandona la esfera la N=0, pues en ese momento deja de tocar la superficie de la esfera? De todas formas a nosotros no nos interesa conocer el valor en un punto concreto de N, sino su variación para luego poder calcular el trabajo que realiza la Fr, como explico abajo.
2º La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa lo que provoca que la energia mecanica no se conserve, por lo que
(Ec2-Ec1) + (Ep2-Ep1) ya no es igual a 0 sino = ∫Fr·dr = ∫μ·N·dr y N = mg ·sen β e integramos entre los valores finales e iniciales del problema dando como resultado -μ·P·R·cos β que el energia mecanica pérdida

[Al2000]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Bueno compañero, ya estamos argumentando en círculo. Habiéndome quedado sin argumentos, le cedo el puesto a quien se anime a recojer el capote. Voy a tratar de plantear la solución numérica del problema. Si lo consigo volveré con algo mas concreto, mientras tanto me retiro de esta discusión.

Saludos,

Al

[madridista0175]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Perfecto, intenta resolver el problema numéricamente, yo no tengo ningún problema en rectificar si veo que tienes razon. Mira que he consultado páginas en internet pero no encuentro la solución ,a ver si tu tienes más suerte. Saludos.

[madridista0175]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Me parece amigo que tenías razón ,puesto que si decía en el planteamiento que en la direcció normal del movimiento
-N + m g sen β = mV²/R -----N = m g sen β - m V²/R y sustiuyendo:

W =- ∫Fr·dr = -∫ μ·N·dr = -∫ μ·N·R dβ = -μ m∫(g R sen β - V² ) dβ ( el término que incluía la velocidad antes me lo saltaba, ahi mi error)

¿que te parece ahora? aunque tampoco se pasar de aquí, hace mucho que no hago integrales. saludos

[Al2000]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

aunque tampoco se pasar de aquí

Bienvenido al club. Yo no resuelvo una ecuación integral desde que usaba pantalones cortos (exagerando un poquito )

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Hace un laaargo tiempo madridista0175 dijo

Hola a todos !!! soy nuevo en el foro y no estoy muy seguro de si es aqui donde debo plantear mi duda, pero allí va:
Es muy conocido el problema en el que se plantea que desde el punto más alto de una esfera de radio R se desliza libremente sin rozamiento ni velocidad inicial un cuerpo de masa M y se nos pregunta el punto en que abandona la superficie esférica. El resultado era H=R/3 desde el punto mas alto de la esfera o bien x= 48º 11" desde la vertical.
Bueno aquí es donde viene mi cuestión y es que no se calcular cuando abandonará la esfera en el caso de que sí exista fuerza de rozamiento.

Bueno, meu caro amigo, caminé hasta el borde del abismo y di un paso adelante he he no sabes la broma que me haz echa'o...

Aquí está mi versión de la solución del problema. Me gustaría que cualquier amigo forero con mas habilidades matemáticas que las mías mirase el procedimiento no sea que esté poniendo aquí la torta.

Empiezo con un grafiquito para definir los términos:


En un punto cualquiera en su camino descendente el cuerpo está sometido a la acción de tres fuerzas: su peso $m \boldsymbol g$, la reacción normal de la superficie $\boldsymbol N$ y la fuerza de fricción $\boldsymbol f$.

De la sumatoria de fuerzas en la dirección radial obtenemos

$$m g \cos \theta - N = m \omega^2 R$$

$$N = m (g \cos \theta - R \omega ^2)$$

Trabajaré con la velocidad angular para hacer en forma mas sencilla la relación con el ángulo $\theta$. La condición de que el cuerpo se separe de la superficie esférica implica que en (2) la reacción normal es cero. Llamando $\beta$ el ángulo para el cual ocurre esto, tenemos

$$\cos \beta = \frac R g \omega_s ^2$$

donde $\omega _s$ será la velocidad angular en el instante de la separación.

Para conseguir $\omega_s$ hacemos un balance de energía

$$\Delta E_p = \Delta E_c + W_f$$

$$m g R (1 - \cos \theta) = \frac 1 2 m \omega ^2 R^2 + W_f$$

donde $W_f$ es el trabajo realizado por la fuerza de fricción $f = \mu N$. Como la fuerza de fricción actúa siempre en dirección (anti)paralela al desplazamiento, tenemos

$$W_f = \int |\boldsymbol f \boldsymbol \cdot d \boldsymbol s | = \int f \cdot ds = \int \mu N v dt$$

Nótese que el signo del trabajo lo incluí explícitamente en (5). Sustituyendo $N$ por su valor en (2) y escribiendo el desplazamiento en función de la velocidad angular, tenemos

$$W_f = \int \mu m (g \cos \theta - R \omega ^2) \omega R \, dt = \mu m R \int (g \cos \theta - R \omega ^2) \, d \theta$$

Al sustituir este valor del trabajo en el balance de energías (5) resulta la ecuación integral

$$m g R (1 - \cos \theta) = \frac 1 2 m \omega ^2 R^2 + \mu m R \int_0^\theta (g \cos \theta - R \omega ^2) \, d \theta$$

$$g (1 - \cos \theta) = \frac 1 2 R \omega ^2 + \mu \int_0^\theta (g \cos \theta - R \omega ^2) \, d \theta$$

Derivando (9) respecto de $\theta$ se obtiene

$$g \, \mathrm {sen} \, \theta = R \omega \,\frac {d \omega }{d \theta} + \mu (g \cos \theta - R \omega ^2)$$

$$\frac {d \omega }{d \theta } - \mu \omega = \frac g R (\, \mathrm {sen} \, \theta - \mu \cos \theta )\, \omega ^{-1}$$

Una mirada a una tabla de ecuaciones diferenciales me informa que es una ecuación diferencial de Bernoulli cuya solución es

$$\omega ^2 \, \ee ^{-2 \int \mu d \theta} = 2 \int \frac g R (\, \mathrm {sen} \, \theta - \mu \cos \theta )\, \ee ^{-2 \int \mu d \theta} d \theta + C$$

$$\omega ^2 \, \ee ^{-2 \mu \theta} = \frac {2 g} R \int (\, \mathrm {sen} \, \theta - \mu \cos \theta )\, \ee ^{-2 \mu \theta} d \theta + C$$

que con la ayuda del computador resulta en

$$\omega ^2 \,\ee ^{- 2 \mu \theta } = - \frac {2 g} R \,\ee ^{- 2 \mu \theta } \, \frac {\cos \theta + 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - 2 \mu ^2 \cos \theta }{4 \mu ^2 + 1} + C$$

$$\omega ^2 = \frac {2 g} R \, \frac {2 \mu ^2 \cos \theta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - \cos \theta }{4 \mu ^2 + 1} + C$$

Imponiendo la condición $\omega = 0$ para $\theta = 0$, la constante de integración resulta

$$C = - \frac {2 g} R \frac {2 \mu ^2 -1}{4 \mu ^2 +1}$$

quedando entonces

$$\omega ^2 = \frac {2 g} R \, \frac {2 \mu ^2 \cos \theta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - \cos \theta - 2 \mu ^2 + 1}{4 \mu ^2 + 1}$$

Ahora podemos regresar a la ecuación (3) usando (17) para evaluar $\omega _s$

$$\cos \beta = 2 \,\frac {2 \mu ^2 \cos \beta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \beta - \cos \beta - 2 \mu ^2 + 1}{4 \mu ^2 + 1}$$

De nuevo usando el computador, y luego de alguna manipulación algebráica, resulta el ángulo buscado

$$\boxed {\beta = \tan^{-1} \frac {4 \mu (2 \mu ^2 -1) - \sqrt {16 \mu ^4 + 52 \mu ^2 + 5}}{2 \,(2 \mu ^2 + \mu\,\sqrt {16 \mu ^4 + 52 \mu ^2 + 5} - 1)}}$$

Fue un largo camino y no puedo dejar de recordar a Machado al volver la vista atrás...

Esta es la gráfica de $\beta$ en función de $\mu$:


y muestra el resultado interesante de que para un coeficiente de fricción cercano a 0.2791 ya el objeto nunca se desprende de la superficie esférica.

Un gran saludo,

Al

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Hace un laaargo tiempo madridista0175 dijo


Bueno, meu caro amigo, caminé hasta el borde del abismo y di un paso adelante he he no sabes la broma que me haz echa'o...

Aquí está mi versión de la solución del problema. Me gustaría que cualquier amigo forero con mas habilidades matemáticas que las mías mirase el procedimiento no sea que esté poniendo aquí la torta.

Empiezo con un grafiquito para definir los términos:
[ATTACH=CONFIG]2180[/ATTACH]

En un punto cualquiera en su camino descendente el cuerpo está sometido a la acción de tres fuerzas: su peso $m \boldsymbol g$, la reacción normal de la superficie $\boldsymbol N$ y la fuerza de fricción $\boldsymbol f$.

De la sumatoria de fuerzas en la dirección radial obtenemos

$$m g \cos \theta - N = m \omega^2 R$$

$$N = m (g \cos \theta - R \omega ^2)$$

Trabajaré con la velocidad angular para hacer en forma mas sencilla la relación con el ángulo $\theta$. La condición de que el cuerpo se separe de la superficie esférica implica que en (2) la reacción normal es cero. Llamando $\beta$ el ángulo para el cual ocurre esto, tenemos

$$\cos \beta = \frac R g \omega_s ^2$$

donde $\omega _s$ será la velocidad angular en el instante de la separación.

Para conseguir $\omega_s$ hacemos un balance de energía

$$\Delta E_p = \Delta E_c + W_f$$

$$m g R (1 - \cos \theta) = \frac 1 2 m \omega ^2 R^2 + W_f$$

donde $W_f$ es el trabajo realizado por la fuerza de fricción $f = \mu N$. Como la fuerza de fricción actúa siempre en dirección (anti)paralela al desplazamiento, tenemos

$$W_f = \int |\boldsymbol f \boldsymbol \cdot d \boldsymbol s | = \int f \cdot ds = \int \mu N v dt$$

Nótese que el signo del trabajo lo incluí explícitamente en (5). Sustituyendo $N$ por su valor en (2) y escribiendo el desplazamiento en función de la velocidad angular, tenemos

$$W_f = \int \mu m (g \cos \theta - R \omega ^2) \omega R \, dt = \mu m R \int (g \cos \theta - R \omega ^2) \, d \theta$$

Al sustituir este valor del trabajo en el balance de energías (5) resulta la ecuación integral

$$m g R (1 - \cos \theta) = \frac 1 2 m \omega ^2 R^2 + \mu m R \int_0^\theta (g \cos \theta - R \omega ^2) \, d \theta$$

$$g (1 - \cos \theta) = \frac 1 2 R \omega ^2 + \mu \int_0^\theta (g \cos \theta - R \omega ^2) \, d \theta$$

Derivando (9) respecto de $\theta$ se obtiene

$$g \, \mathrm {sen} \, \theta = R \omega \,\frac {d \omega }{d \theta} + \mu (g \cos \theta - R \omega ^2)$$

$$\frac {d \omega }{d \theta } - \mu \omega = \frac g R (\, \mathrm {sen} \, \theta - \mu \cos \theta )\, \omega ^{-1}$$

Una mirada a una tabla de ecuaciones diferenciales me informa que es una ecuación diferencial de Bernoulli cuya solución es

$$\omega ^2 \, \ee ^{-2 \int \mu d \theta} = 2 \int \frac g R (\, \mathrm {sen} \, \theta - \mu \cos \theta )\, \ee ^{-2 \int \mu d \theta} d \theta + C$$

$$\omega ^2 \, \ee ^{-2 \mu \theta} = \frac {2 g} R \int (\, \mathrm {sen} \, \theta - \mu \cos \theta )\, \ee ^{-2 \mu \theta} d \theta + C$$

que con la ayuda del computador resulta en

$$\omega ^2 \,\ee ^{- 2 \mu \theta } = - \frac {2 g} R \,\ee ^{- 2 \mu \theta } \, \frac {\cos \theta + 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - 2 \mu ^2 \cos \theta }{4 \mu ^2 + 1} + C$$

$$\omega ^2 = \frac {2 g} R \, \frac {2 \mu ^2 \cos \theta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - \cos \theta }{4 \mu ^2 + 1} + C$$

Imponiendo la condición $\omega = 0$ para $\theta = 0$, la constante de integración resulta

$$C = - \frac {2 g} R \frac {2 \mu ^2 -1}{4 \mu ^2 +1}$$

quedando entonces

$$\omega ^2 = \frac {2 g} R \, \frac {2 \mu ^2 \cos \theta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - \cos \theta - 2 \mu ^2 + 1}{4 \mu ^2 + 1}$$

Ahora podemos regresar a la ecuación (3) usando (17) para evaluar $\omega _s$

$$\cos \beta = 2 \,\frac {2 \mu ^2 \cos \beta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \beta - \cos \beta - 2 \mu ^2 + 1}{4 \mu ^2 + 1}$$

De nuevo usando el computador, y luego de alguna manipulación algebráica, resulta el ángulo buscado

$$\boxed {\beta = \tan^{-1} \frac {4 \mu (2 \mu ^2 -1) - \sqrt {16 \mu ^4 + 52 \mu ^2 + 5}}{2 \,(2 \mu ^2 + \mu\,\sqrt {16 \mu ^4 + 52 \mu ^2 + 5} - 1)}}$$

Fue un largo camino y no puedo dejar de recordar a Machado al volver la vista atrás...

Esta es la gráfica de $\beta$ en función de $\mu$:


[ATTACH=CONFIG]2183[/ATTACH]y muestra el resultado interesante de que para un coeficiente de fricción cercano a 0.2791 ya el objeto nunca se desprende de la superficie esférica.

Un gran saludo,

Al

Buen trabajo Al, unicamente tengo un poco de dudas cuando pasas de la expresion 14 a la 15 eliminando $\dst e^{-\mu \theta}$.

Creo que con descomponer las fuerzas en la direcciones $\phi$ y $r$ se encuentra la ecuacion diferencial, luego tomando los puntos de "face space" $( \phi_o , \dot \phi_o)$ y $(\phi_f , \dot \phi_f)$ como las condiciones iniciales y de desprendimiento es mas que suficiente.

Si se proyecta $-f_r \hat e_\phi +N \hat e_r -mg \hat j = mr\ddot \phi \hat e_\phi -mr\dot \phi^2 \hat e_r$ en las direcciones mencionadas se tiene:

$-f_r -mg \cos \phi = mr \ddot \phi \Rightarrow$

$\dst -N - \frac{mg \cos \phi}{\mu} = \frac{mr \ddot \phi}{\mu}$...(1)

$N-mg \sin \phi = -mr \dot \phi^2$...(2)

Luego sumando (1) y (2), eliminando y arreglando $\Rightarrow$

$\dst \ddot \phi -\mu \dot \phi^2=-\frac{g}{r} \cos \phi -\frac{g \mu}{r} \sin \phi$

Aplicando un cambio de variable $\dot \phi^2 =t \Rightarrow$

se reduce a: $\dst \frac{dt}{d\phi} - 2\mu t = -\frac{2g \cos \phi}{r} -\frac{2g\mu \sin \phi}{r}$ y que aplicando las condiciones iniciales $\dot \phi =0$cuando $\dst \phi = \frac{\pi}{2}$, ademas de la condicion de desprendimiento $\dst \dot \phi^2 =\frac{g \sin \phi}{r}$ obtenemos finalmente:

$\dst (4 \mu^2 -2) e^{-\mu \pi} e^{2\mu \phi_f} = 6 \mu \cos \phi_f} -3 \sin \phi_f$ y aqui es donde me gustaria tener el programa que tienes Al para resolver esta ecuacion porque con mi calculadora la resuelvo con aproximaciones unicamente, dependiendo de $\mu$ obviamente

Saludos

Jose.