¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

[madridista0175]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Disculpas, he puesto la primera pagina del rev,es, la pongo derecha.

[madridista0175]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Hola a todos: Despús de consultar varias webs y he llegado a la resolución del problema, concretamente a calcular la velocidad en función del ángulo . Lo que no consigo hallar es el punto dónde el cuerpo abandona la esfera A ver si alguíen consigue llegar más lejos que yo. Os pongo el problema desarrollado en dos imágenes adjuntas.

[Al2000]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Con las gracias a carroza de nuevo por su muy atinada observación, posteo mi último mensaje en este hilo porque estoy seguro de que al día siguiente que el servicio de aseo urbano se halla llevado los papeles que en estos momentos estoy tirando a la basura querré consultar algo, o imprimirlo para compartirlo con algún amigo

Haciendo uso de la menos engorrosa de las dos posibilidades, asumamos que el cuerpo parte del reposo en el ángulo en el cual justamente se vencen las fuerzas de fricción estáticas. No es difícil demostrar, del equilibrio de fuerzas, que ese ángulo inicial corresponde al valor

$$\theta _0 = \tan^{-1} \mu_s$$

Regresando a la ecuación (15') la cual copio aquí cambiando el anterior valor $\mu$ por $\dst \mu_k$

$$\omega ^2 \,\ee ^{- 2 \mu_k \theta }= \frac {2 g} R\,\ee ^{- 2 \mu_k \theta } \, \frac {2 \mu_k ^2 \cos \theta - 3 \mu_k \, \mathrm {sen} \, \theta - \cos \theta }{4 \mu_k ^2 + 1} + C$$

e imponiendo la condición $\omega = 0$ para $\dst \theta = \theta _0$, se tiene

$$\frac {2 g} R\,\ee ^{- 2 \mu_k \theta_0 } \, \frac {2 \mu_k ^2 \cos \theta_0 - 3 \mu_k \, \mathrm {sen} \, \theta_0 - \cos \theta_0 }{4 \mu_k ^2 + 1} + C = 0$$

Luego de despejar $C$, sustituir en (2) y hacer algún reacomodo de términos, se obtiene

$$\omega ^2 = \frac {2 g}{\left(4 \mu ^2+1\right) R}\left\{ \begin{aligned} & \left[ \left( 2 \mu_k^2 - 1 \right) \cos \theta - 3 \mu_k \, \mathrm {sen} \, \theta \right] \\ - & \left[ \left( 2 \mu_k^2 - 1 \right) \cos \theta_0 - 3 \mu_k \, \mathrm {sen} \, \theta_0 \right] \ee ^{2 \mu _k (\theta - \theta_0) }\end{aligned} \right\}$$

Recordando que el ángulo de separación $\beta$ ocurre cuando

$$\cos \beta = \frac R g \omega_s ^2$$

y usando (4) para evaluar $\dst \omega _s$, se obtiene luego de unas cuantas simplificaciones

$$2 \mu_k \, \mathrm {sen} \, \beta + \cos \beta = \frac 2 3 \left[ 3 \mu_k \, \mathrm {sen} \, \theta_0 + \left( 1 - 2 \mu_k^2 \right) \cos \theta_0 \right] \ee ^{2 \mu _k (\beta - \theta _0) }$$

Si se utiliza la ecuación (1) para eliminar el seno y coseno de $\dst \theta_0$, la expresión (6) puede escribirse en la forma alternativa

$$\boxed {2 \mu_k \, \mathrm {sen} \, \beta + \cos \beta = \frac 2 3 \left[\frac {1 + 3 \mu_s \mu_k - 2 \mu_k^2 } {\sqrt {1 + \mu _s^2}}\right] \ee ^{2 \mu _k (\beta - \theta_0) }}$$

La siguiente es la gráfica obtenida resolviendo numéricamente la ecuación (7) para varios valores de $\dst \mu_s$. Cada curva termina donde $\dst \mu_k = \mu_s$ que sería el límite máximo que podría alcanzar el coeficiente de fricción dinámico. Obsérvese en esta versión corregida que el cuerpo siempre se separa de la superficie para un ángulo en la banda ~ 50°-70°.



Saludos,

Al

[Al2000]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Absolutamente de acuerdo contigo.

Saludos,

Al

[carroza]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Hola.

Creo que las condiciones iniciales quen utilizais para el problema no tienen en cuenta que un objeto con rozamiento, en el punto más alto de una esfera, no desliza, si parte del reposo.


Para que el problema tenga sentido, o bien hay que dar al objeto una velocidad inicial, o bien hay que hacerlo partir, no del punto más alto de la esfera, sino de un punto que tenga un ángulo tal que la componente del peso compense la fuerza de rozamiento.

Saludos

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Al, ya encontre mi error, al principio pense en usar todas las direcciones convencionales para no cometer un error de signo y precisamente eso fue lo que hice.

Escribi $\vec f_r = - f_r \hat e_\phi$ clockwise, y deveria ser:
$\vec f_r = f_r \hat e_\phi$ o sea positivo para la direccion counterclockwise del reloj. Asi que finalmente tu respuesta esta correcta.

Saludos

Jose.

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

$$\cos \beta = 2 \,\frac {2 \mu ^2 \cos \beta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \beta - \cos \beta - (2 \mu ^2 - 1)\,\ee ^{2 \mu \beta }}{4 \mu ^2 + 1}$$

Saludos,

Al

Desarrollando un poco mas tu respuesta:

$(4\mu^2+1)\cos \beta=4\mu^2 \cos \beta-6\mu \sin \beta - 2\cos \beta -(4\mu^2-2)e^{2\mu \beta} \Rightarrow$

$(4\mu^2-2)e^{2\mu \beta} =-6\mu \sin \beta -3 cos \beta$

Si se hace el cambio $\beta = \frac{\pi}{2}-\phi$ se llegara a una solucion mas o menos parecida a la que propuse, pero con un error en el signo. Aqui es donde yo creo que mi respuesta esta equivocada. Voy a buscar donde esta mi error. En cuanto a tu solucion, no lo se ???

Saludos

Jose

[Al2000]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

...obtenemos finalmente:

$\dst (4 \mu^2 -2) e^{-\mu \pi} e^{2\mu \phi_f} = 6 \mu \cos \phi_f} -3 \sin \phi_f$ y aqui es donde me gustaria tener el programa que tienes Al para resolver esta ecuacion porque con mi calculadora la resuelvo con aproximaciones unicamente, dependiendo de $\mu$ obviamente
...

Lamentablemente no he podido resolver la ecuación simbólicamente y mas lamentable es que aun no he digerido tu solución ja ja ja

Mira, hice la gráfica de tu ecuación y no se parece a la mía, lo cual no quiere decir ni que la tuya esté mala ni que lo esté la mía, solo que discrepamos. Sin embargo hay algo que me molesta de tu solución y es que predice que el cuerpo siempre se separará del domo esférico sin importar el coeficiente de fricción (grafiqué de 0 a 1) en un ángulo de menos de 60° y no me resulta razonable.

Te tengo una pregunta que te sonará tonta, pero ¿tu ángulo $\phi$ es el mismo que yo llamé $\theta$? Me disculpas pero yo tengo textos donde algunos autores usan $\phi$ y $\theta$ intercambiados al usar coordenadas esféricas y estoy teniendo problemas para entender como descompusiste el peso y por qué tu ecuación (2) es distinta de mi ecuación (1), ya que ambas son la suma de fuerzas radiales.

Saludos,

Al

PD. Te comento que inspirado en tu solución planteé la ecuación diferencial desde el principio, haciendo los mismos pasos que tú y llego a la misma ecuación diferencial que antes (la mía, no la tuya). Haciéndolo así es mucho mas fácil ya que no hay que pasar por el planteamiento de la conservación de la energía y posterior modificación de la ecuación integral. Supongo que simplemente me dejé llevar y usé el mismo método que para resolver el caso sin fricción, que es mucho mas simple.

[Al2000]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

...
que con la ayuda del computador resulta en

$$\omega ^2 \,\ee ^{- 2 \mu \theta } = - \frac {2 g} R \,\ee ^{- 2 \mu \theta } \, \frac {\cos \theta + 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - 2 \mu ^2 \cos \theta }{4 \mu ^2 + 1} + C$$

$$\omega ^2 = \frac {2 g} R \, \frac {2 \mu ^2 \cos \theta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - \cos \theta }{4 \mu ^2 + 1} + C$$

Imponiendo la condición $\omega = 0$ para $\theta = 0$, la constante de integración resulta

$$C = - \frac {2 g} R \frac {2 \mu ^2 -1}{4 \mu ^2 +1}$$

quedando entonces

$$\omega ^2 = \frac {2 g} R \, \frac {2 \mu ^2 \cos \theta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - \cos \theta - 2 \mu ^2 + 1}{4 \mu ^2 + 1}$$

Ahora podemos regresar a la ecuación (3) usando (17) para evaluar $\omega _s$

$$\cos \beta = 2 \,\frac {2 \mu ^2 \cos \beta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \beta - \cos \beta - 2 \mu ^2 + 1}{4 \mu ^2 + 1}$$

De nuevo usando el computador, y luego de alguna manipulación algebráica, resulta el ángulo buscado

$$\boxed {\beta = \tan^{-1} \frac {4 \mu (2 \mu ^2 -1) - \sqrt {16 \mu ^4 + 52 \mu ^2 + 5}}{2 \,(2 \mu ^2 + \mu\,\sqrt {16 \mu ^4 + 52 \mu ^2 + 5} - 1)}}$$

...

Buen trabajo Al, unicamente tengo un poco de dudas cuando pasas de la expresion 14 a la 15 eliminando $\dst e^{-\mu \theta}$.
...

OK, corrijo el tonto (pero grave) error en la ecuación (15)

$$\omega ^2 \,\ee ^{- 2 \mu \theta } = - \frac {2 g} R \,\ee ^{- 2 \mu \theta } \, \frac {\cos \theta + 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - 2 \mu ^2 \cos \theta }{4 \mu ^2 + 1} + C$$

$$\omega ^2 \,\ee ^{- 2 \mu \theta }= \frac {2 g} R\,\ee ^{- 2 \mu \theta } \, \frac {2 \mu ^2 \cos \theta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - \cos \theta }{4 \mu ^2 + 1} + C$$

Imponiendo la condición $\omega = 0$ para $\theta = 0$, la constante de integración resulta (aquí no hay cambios)

$$C = - \frac {2 g} R \frac {2 \mu ^2 -1}{4 \mu ^2 +1}$$

quedando entonces (nótese el exponencial en la fracción)

$$\omega ^2 = \frac {2 g} R \, \frac {2 \mu ^2 \cos \theta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - \cos \theta - (2 \mu ^2 - 1)\,\ee ^{2 \mu \theta }}{4 \mu ^2 + 1}$$

Ahora podemos regresar a la ecuación (3) usando (17') para evaluar $\omega _s$

$$\cos \beta = 2 \,\frac {2 \mu ^2 \cos \beta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \beta - \cos \beta - (2 \mu ^2 - 1)\,\ee ^{2 \mu \beta }}{4 \mu ^2 + 1}$$

y ahora no me ha sido posible conseguir una solución simbólica de $\beta$ por lo cual no he tenido mas remedio que evaluarla numéricamente. El nuevo gráfico de $\beta_{(\mu)}$ es


y el nuevo valor de $\mu$ que impide que el cuerpo alcance velocidad suficiente para abandonar la superficie esférica es 0.6033.

Vaya otra vez mi agradecimiento a Jose D. Escobedo por puntualizar el error.

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Buen trabajo Al, unicamente tengo un poco de dudas cuando pasas de la expresion 14 a la 15 eliminando $\dst e^{-\mu \theta}$...

Ja ja y yo preocupado por el paso de (10) a (11) pensando si al dividir por $\omega$ no estaría introduciendo alguna solución extraña.

El monumental error que me muestras es debido a que ignoré la constante de integración cuando estaba manipulando la integral y la añadí solo al final. ¡Vaya metida de pata, me siento rejuvenecido! ja ja ja

Voy a ver si lo que hice se puede salvar y mirar con calma lo que tu hiciste. Gracias por puntualizar el error.

Saludos,

Al

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Hace un laaargo tiempo madridista0175 dijo


Bueno, meu caro amigo, caminé hasta el borde del abismo y di un paso adelante he he no sabes la broma que me haz echa'o...

Aquí está mi versión de la solución del problema. Me gustaría que cualquier amigo forero con mas habilidades matemáticas que las mías mirase el procedimiento no sea que esté poniendo aquí la torta.

Empiezo con un grafiquito para definir los términos:
[ATTACH=CONFIG]2180[/ATTACH]

En un punto cualquiera en su camino descendente el cuerpo está sometido a la acción de tres fuerzas: su peso $m \boldsymbol g$, la reacción normal de la superficie $\boldsymbol N$ y la fuerza de fricción $\boldsymbol f$.

De la sumatoria de fuerzas en la dirección radial obtenemos

$$m g \cos \theta - N = m \omega^2 R$$

$$N = m (g \cos \theta - R \omega ^2)$$

Trabajaré con la velocidad angular para hacer en forma mas sencilla la relación con el ángulo $\theta$. La condición de que el cuerpo se separe de la superficie esférica implica que en (2) la reacción normal es cero. Llamando $\beta$ el ángulo para el cual ocurre esto, tenemos

$$\cos \beta = \frac R g \omega_s ^2$$

donde $\omega _s$ será la velocidad angular en el instante de la separación.

Para conseguir $\omega_s$ hacemos un balance de energía

$$\Delta E_p = \Delta E_c + W_f$$

$$m g R (1 - \cos \theta) = \frac 1 2 m \omega ^2 R^2 + W_f$$

donde $W_f$ es el trabajo realizado por la fuerza de fricción $f = \mu N$. Como la fuerza de fricción actúa siempre en dirección (anti)paralela al desplazamiento, tenemos

$$W_f = \int |\boldsymbol f \boldsymbol \cdot d \boldsymbol s | = \int f \cdot ds = \int \mu N v dt$$

Nótese que el signo del trabajo lo incluí explícitamente en (5). Sustituyendo $N$ por su valor en (2) y escribiendo el desplazamiento en función de la velocidad angular, tenemos

$$W_f = \int \mu m (g \cos \theta - R \omega ^2) \omega R \, dt = \mu m R \int (g \cos \theta - R \omega ^2) \, d \theta$$

Al sustituir este valor del trabajo en el balance de energías (5) resulta la ecuación integral

$$m g R (1 - \cos \theta) = \frac 1 2 m \omega ^2 R^2 + \mu m R \int_0^\theta (g \cos \theta - R \omega ^2) \, d \theta$$

$$g (1 - \cos \theta) = \frac 1 2 R \omega ^2 + \mu \int_0^\theta (g \cos \theta - R \omega ^2) \, d \theta$$

Derivando (9) respecto de $\theta$ se obtiene

$$g \, \mathrm {sen} \, \theta = R \omega \,\frac {d \omega }{d \theta} + \mu (g \cos \theta - R \omega ^2)$$

$$\frac {d \omega }{d \theta } - \mu \omega = \frac g R (\, \mathrm {sen} \, \theta - \mu \cos \theta )\, \omega ^{-1}$$

Una mirada a una tabla de ecuaciones diferenciales me informa que es una ecuación diferencial de Bernoulli cuya solución es

$$\omega ^2 \, \ee ^{-2 \int \mu d \theta} = 2 \int \frac g R (\, \mathrm {sen} \, \theta - \mu \cos \theta )\, \ee ^{-2 \int \mu d \theta} d \theta + C$$

$$\omega ^2 \, \ee ^{-2 \mu \theta} = \frac {2 g} R \int (\, \mathrm {sen} \, \theta - \mu \cos \theta )\, \ee ^{-2 \mu \theta} d \theta + C$$

que con la ayuda del computador resulta en

$$\omega ^2 \,\ee ^{- 2 \mu \theta } = - \frac {2 g} R \,\ee ^{- 2 \mu \theta } \, \frac {\cos \theta + 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - 2 \mu ^2 \cos \theta }{4 \mu ^2 + 1} + C$$

$$\omega ^2 = \frac {2 g} R \, \frac {2 \mu ^2 \cos \theta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - \cos \theta }{4 \mu ^2 + 1} + C$$

Imponiendo la condición $\omega = 0$ para $\theta = 0$, la constante de integración resulta

$$C = - \frac {2 g} R \frac {2 \mu ^2 -1}{4 \mu ^2 +1}$$

quedando entonces

$$\omega ^2 = \frac {2 g} R \, \frac {2 \mu ^2 \cos \theta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - \cos \theta - 2 \mu ^2 + 1}{4 \mu ^2 + 1}$$

Ahora podemos regresar a la ecuación (3) usando (17) para evaluar $\omega _s$

$$\cos \beta = 2 \,\frac {2 \mu ^2 \cos \beta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \beta - \cos \beta - 2 \mu ^2 + 1}{4 \mu ^2 + 1}$$

De nuevo usando el computador, y luego de alguna manipulación algebráica, resulta el ángulo buscado

$$\boxed {\beta = \tan^{-1} \frac {4 \mu (2 \mu ^2 -1) - \sqrt {16 \mu ^4 + 52 \mu ^2 + 5}}{2 \,(2 \mu ^2 + \mu\,\sqrt {16 \mu ^4 + 52 \mu ^2 + 5} - 1)}}$$

Fue un largo camino y no puedo dejar de recordar a Machado al volver la vista atrás...

Esta es la gráfica de $\beta$ en función de $\mu$:


[ATTACH=CONFIG]2183[/ATTACH]y muestra el resultado interesante de que para un coeficiente de fricción cercano a 0.2791 ya el objeto nunca se desprende de la superficie esférica.

Un gran saludo,

Al

Buen trabajo Al, unicamente tengo un poco de dudas cuando pasas de la expresion 14 a la 15 eliminando $\dst e^{-\mu \theta}$.

Creo que con descomponer las fuerzas en la direcciones $\phi$ y $r$ se encuentra la ecuacion diferencial, luego tomando los puntos de "face space" $( \phi_o , \dot \phi_o)$ y $(\phi_f , \dot \phi_f)$ como las condiciones iniciales y de desprendimiento es mas que suficiente.

Si se proyecta $-f_r \hat e_\phi +N \hat e_r -mg \hat j = mr\ddot \phi \hat e_\phi -mr\dot \phi^2 \hat e_r$ en las direcciones mencionadas se tiene:

$-f_r -mg \cos \phi = mr \ddot \phi \Rightarrow$

$\dst -N - \frac{mg \cos \phi}{\mu} = \frac{mr \ddot \phi}{\mu}$...(1)

$N-mg \sin \phi = -mr \dot \phi^2$...(2)

Luego sumando (1) y (2), eliminando y arreglando $\Rightarrow$

$\dst \ddot \phi -\mu \dot \phi^2=-\frac{g}{r} \cos \phi -\frac{g \mu}{r} \sin \phi$

Aplicando un cambio de variable $\dot \phi^2 =t \Rightarrow$

se reduce a: $\dst \frac{dt}{d\phi} - 2\mu t = -\frac{2g \cos \phi}{r} -\frac{2g\mu \sin \phi}{r}$ y que aplicando las condiciones iniciales $\dot \phi =0$cuando $\dst \phi = \frac{\pi}{2}$, ademas de la condicion de desprendimiento $\dst \dot \phi^2 =\frac{g \sin \phi}{r}$ obtenemos finalmente:

$\dst (4 \mu^2 -2) e^{-\mu \pi} e^{2\mu \phi_f} = 6 \mu \cos \phi_f} -3 \sin \phi_f$ y aqui es donde me gustaria tener el programa que tienes Al para resolver esta ecuacion porque con mi calculadora la resuelvo con aproximaciones unicamente, dependiendo de $\mu$ obviamente

Saludos

Jose.

[Al2000]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Hace un laaargo tiempo madridista0175 dijo

Hola a todos !!! soy nuevo en el foro y no estoy muy seguro de si es aqui donde debo plantear mi duda, pero allí va:
Es muy conocido el problema en el que se plantea que desde el punto más alto de una esfera de radio R se desliza libremente sin rozamiento ni velocidad inicial un cuerpo de masa M y se nos pregunta el punto en que abandona la superficie esférica. El resultado era H=R/3 desde el punto mas alto de la esfera o bien x= 48º 11" desde la vertical.
Bueno aquí es donde viene mi cuestión y es que no se calcular cuando abandonará la esfera en el caso de que sí exista fuerza de rozamiento.

Bueno, meu caro amigo, caminé hasta el borde del abismo y di un paso adelante he he no sabes la broma que me haz echa'o...

Aquí está mi versión de la solución del problema. Me gustaría que cualquier amigo forero con mas habilidades matemáticas que las mías mirase el procedimiento no sea que esté poniendo aquí la torta.

Empiezo con un grafiquito para definir los términos:


En un punto cualquiera en su camino descendente el cuerpo está sometido a la acción de tres fuerzas: su peso $m \boldsymbol g$, la reacción normal de la superficie $\boldsymbol N$ y la fuerza de fricción $\boldsymbol f$.

De la sumatoria de fuerzas en la dirección radial obtenemos

$$m g \cos \theta - N = m \omega^2 R$$

$$N = m (g \cos \theta - R \omega ^2)$$

Trabajaré con la velocidad angular para hacer en forma mas sencilla la relación con el ángulo $\theta$. La condición de que el cuerpo se separe de la superficie esférica implica que en (2) la reacción normal es cero. Llamando $\beta$ el ángulo para el cual ocurre esto, tenemos

$$\cos \beta = \frac R g \omega_s ^2$$

donde $\omega _s$ será la velocidad angular en el instante de la separación.

Para conseguir $\omega_s$ hacemos un balance de energía

$$\Delta E_p = \Delta E_c + W_f$$

$$m g R (1 - \cos \theta) = \frac 1 2 m \omega ^2 R^2 + W_f$$

donde $W_f$ es el trabajo realizado por la fuerza de fricción $f = \mu N$. Como la fuerza de fricción actúa siempre en dirección (anti)paralela al desplazamiento, tenemos

$$W_f = \int |\boldsymbol f \boldsymbol \cdot d \boldsymbol s | = \int f \cdot ds = \int \mu N v dt$$

Nótese que el signo del trabajo lo incluí explícitamente en (5). Sustituyendo $N$ por su valor en (2) y escribiendo el desplazamiento en función de la velocidad angular, tenemos

$$W_f = \int \mu m (g \cos \theta - R \omega ^2) \omega R \, dt = \mu m R \int (g \cos \theta - R \omega ^2) \, d \theta$$

Al sustituir este valor del trabajo en el balance de energías (5) resulta la ecuación integral

$$m g R (1 - \cos \theta) = \frac 1 2 m \omega ^2 R^2 + \mu m R \int_0^\theta (g \cos \theta - R \omega ^2) \, d \theta$$

$$g (1 - \cos \theta) = \frac 1 2 R \omega ^2 + \mu \int_0^\theta (g \cos \theta - R \omega ^2) \, d \theta$$

Derivando (9) respecto de $\theta$ se obtiene

$$g \, \mathrm {sen} \, \theta = R \omega \,\frac {d \omega }{d \theta} + \mu (g \cos \theta - R \omega ^2)$$

$$\frac {d \omega }{d \theta } - \mu \omega = \frac g R (\, \mathrm {sen} \, \theta - \mu \cos \theta )\, \omega ^{-1}$$

Una mirada a una tabla de ecuaciones diferenciales me informa que es una ecuación diferencial de Bernoulli cuya solución es

$$\omega ^2 \, \ee ^{-2 \int \mu d \theta} = 2 \int \frac g R (\, \mathrm {sen} \, \theta - \mu \cos \theta )\, \ee ^{-2 \int \mu d \theta} d \theta + C$$

$$\omega ^2 \, \ee ^{-2 \mu \theta} = \frac {2 g} R \int (\, \mathrm {sen} \, \theta - \mu \cos \theta )\, \ee ^{-2 \mu \theta} d \theta + C$$

que con la ayuda del computador resulta en

$$\omega ^2 \,\ee ^{- 2 \mu \theta } = - \frac {2 g} R \,\ee ^{- 2 \mu \theta } \, \frac {\cos \theta + 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - 2 \mu ^2 \cos \theta }{4 \mu ^2 + 1} + C$$

$$\omega ^2 = \frac {2 g} R \, \frac {2 \mu ^2 \cos \theta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - \cos \theta }{4 \mu ^2 + 1} + C$$

Imponiendo la condición $\omega = 0$ para $\theta = 0$, la constante de integración resulta

$$C = - \frac {2 g} R \frac {2 \mu ^2 -1}{4 \mu ^2 +1}$$

quedando entonces

$$\omega ^2 = \frac {2 g} R \, \frac {2 \mu ^2 \cos \theta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - \cos \theta - 2 \mu ^2 + 1}{4 \mu ^2 + 1}$$

Ahora podemos regresar a la ecuación (3) usando (17) para evaluar $\omega _s$

$$\cos \beta = 2 \,\frac {2 \mu ^2 \cos \beta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \beta - \cos \beta - 2 \mu ^2 + 1}{4 \mu ^2 + 1}$$

De nuevo usando el computador, y luego de alguna manipulación algebráica, resulta el ángulo buscado

$$\boxed {\beta = \tan^{-1} \frac {4 \mu (2 \mu ^2 -1) - \sqrt {16 \mu ^4 + 52 \mu ^2 + 5}}{2 \,(2 \mu ^2 + \mu\,\sqrt {16 \mu ^4 + 52 \mu ^2 + 5} - 1)}}$$

Fue un largo camino y no puedo dejar de recordar a Machado al volver la vista atrás...

Esta es la gráfica de $\beta$ en función de $\mu$:


y muestra el resultado interesante de que para un coeficiente de fricción cercano a 0.2791 ya el objeto nunca se desprende de la superficie esférica.

Un gran saludo,

Al

[Al2000]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

aunque tampoco se pasar de aquí

Bienvenido al club. Yo no resuelvo una ecuación integral desde que usaba pantalones cortos (exagerando un poquito )

Saludos,

Al

[madridista0175]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Me parece amigo que tenías razón ,puesto que si decía en el planteamiento que en la direcció normal del movimiento
-N + m g sen β = mV²/R -----N = m g sen β - m V²/R y sustiuyendo:

W =- ∫Fr·dr = -∫ μ·N·dr = -∫ μ·N·R dβ = -μ m∫(g R sen β - V² ) dβ ( el término que incluía la velocidad antes me lo saltaba, ahi mi error)

¿que te parece ahora? aunque tampoco se pasar de aquí, hace mucho que no hago integrales. saludos

[madridista0175]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Perfecto, intenta resolver el problema numéricamente, yo no tengo ningún problema en rectificar si veo que tienes razon. Mira que he consultado páginas en internet pero no encuentro la solución ,a ver si tu tienes más suerte. Saludos.