¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

[Al2000]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Buen trabajo Al, unicamente tengo un poco de dudas cuando pasas de la expresion 14 a la 15 eliminando $\dst e^{-\mu \theta}$...

Ja ja y yo preocupado por el paso de (10) a (11) pensando si al dividir por $\omega$ no estaría introduciendo alguna solución extraña.

El monumental error que me muestras es debido a que ignoré la constante de integración cuando estaba manipulando la integral y la añadí solo al final. ¡Vaya metida de pata, me siento rejuvenecido! ja ja ja

Voy a ver si lo que hice se puede salvar y mirar con calma lo que tu hiciste. Gracias por puntualizar el error.

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

...
que con la ayuda del computador resulta en

$$\omega ^2 \,\ee ^{- 2 \mu \theta } = - \frac {2 g} R \,\ee ^{- 2 \mu \theta } \, \frac {\cos \theta + 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - 2 \mu ^2 \cos \theta }{4 \mu ^2 + 1} + C$$

$$\omega ^2 = \frac {2 g} R \, \frac {2 \mu ^2 \cos \theta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - \cos \theta }{4 \mu ^2 + 1} + C$$

Imponiendo la condición $\omega = 0$ para $\theta = 0$, la constante de integración resulta

$$C = - \frac {2 g} R \frac {2 \mu ^2 -1}{4 \mu ^2 +1}$$

quedando entonces

$$\omega ^2 = \frac {2 g} R \, \frac {2 \mu ^2 \cos \theta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - \cos \theta - 2 \mu ^2 + 1}{4 \mu ^2 + 1}$$

Ahora podemos regresar a la ecuación (3) usando (17) para evaluar $\omega _s$

$$\cos \beta = 2 \,\frac {2 \mu ^2 \cos \beta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \beta - \cos \beta - 2 \mu ^2 + 1}{4 \mu ^2 + 1}$$

De nuevo usando el computador, y luego de alguna manipulación algebráica, resulta el ángulo buscado

$$\boxed {\beta = \tan^{-1} \frac {4 \mu (2 \mu ^2 -1) - \sqrt {16 \mu ^4 + 52 \mu ^2 + 5}}{2 \,(2 \mu ^2 + \mu\,\sqrt {16 \mu ^4 + 52 \mu ^2 + 5} - 1)}}$$

...

Buen trabajo Al, unicamente tengo un poco de dudas cuando pasas de la expresion 14 a la 15 eliminando $\dst e^{-\mu \theta}$.
...

OK, corrijo el tonto (pero grave) error en la ecuación (15)

$$\omega ^2 \,\ee ^{- 2 \mu \theta } = - \frac {2 g} R \,\ee ^{- 2 \mu \theta } \, \frac {\cos \theta + 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - 2 \mu ^2 \cos \theta }{4 \mu ^2 + 1} + C$$

$$\omega ^2 \,\ee ^{- 2 \mu \theta }= \frac {2 g} R\,\ee ^{- 2 \mu \theta } \, \frac {2 \mu ^2 \cos \theta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - \cos \theta }{4 \mu ^2 + 1} + C$$

Imponiendo la condición $\omega = 0$ para $\theta = 0$, la constante de integración resulta (aquí no hay cambios)

$$C = - \frac {2 g} R \frac {2 \mu ^2 -1}{4 \mu ^2 +1}$$

quedando entonces (nótese el exponencial en la fracción)

$$\omega ^2 = \frac {2 g} R \, \frac {2 \mu ^2 \cos \theta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \theta - \cos \theta - (2 \mu ^2 - 1)\,\ee ^{2 \mu \theta }}{4 \mu ^2 + 1}$$

Ahora podemos regresar a la ecuación (3) usando (17') para evaluar $\omega _s$

$$\cos \beta = 2 \,\frac {2 \mu ^2 \cos \beta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \beta - \cos \beta - (2 \mu ^2 - 1)\,\ee ^{2 \mu \beta }}{4 \mu ^2 + 1}$$

y ahora no me ha sido posible conseguir una solución simbólica de $\beta$ por lo cual no he tenido mas remedio que evaluarla numéricamente. El nuevo gráfico de $\beta_{(\mu)}$ es


y el nuevo valor de $\mu$ que impide que el cuerpo alcance velocidad suficiente para abandonar la superficie esférica es 0.6033.

Vaya otra vez mi agradecimiento a Jose D. Escobedo por puntualizar el error.

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

...obtenemos finalmente:

$\dst (4 \mu^2 -2) e^{-\mu \pi} e^{2\mu \phi_f} = 6 \mu \cos \phi_f} -3 \sin \phi_f$ y aqui es donde me gustaria tener el programa que tienes Al para resolver esta ecuacion porque con mi calculadora la resuelvo con aproximaciones unicamente, dependiendo de $\mu$ obviamente
...

Lamentablemente no he podido resolver la ecuación simbólicamente y mas lamentable es que aun no he digerido tu solución ja ja ja

Mira, hice la gráfica de tu ecuación y no se parece a la mía, lo cual no quiere decir ni que la tuya esté mala ni que lo esté la mía, solo que discrepamos. Sin embargo hay algo que me molesta de tu solución y es que predice que el cuerpo siempre se separará del domo esférico sin importar el coeficiente de fricción (grafiqué de 0 a 1) en un ángulo de menos de 60° y no me resulta razonable.

Te tengo una pregunta que te sonará tonta, pero ¿tu ángulo $\phi$ es el mismo que yo llamé $\theta$? Me disculpas pero yo tengo textos donde algunos autores usan $\phi$ y $\theta$ intercambiados al usar coordenadas esféricas y estoy teniendo problemas para entender como descompusiste el peso y por qué tu ecuación (2) es distinta de mi ecuación (1), ya que ambas son la suma de fuerzas radiales.

Saludos,

Al

PD. Te comento que inspirado en tu solución planteé la ecuación diferencial desde el principio, haciendo los mismos pasos que tú y llego a la misma ecuación diferencial que antes (la mía, no la tuya). Haciéndolo así es mucho mas fácil ya que no hay que pasar por el planteamiento de la conservación de la energía y posterior modificación de la ecuación integral. Supongo que simplemente me dejé llevar y usé el mismo método que para resolver el caso sin fricción, que es mucho mas simple.

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

$$\cos \beta = 2 \,\frac {2 \mu ^2 \cos \beta - 3 \mu \, \mathrm {sen} \, \beta - \cos \beta - (2 \mu ^2 - 1)\,\ee ^{2 \mu \beta }}{4 \mu ^2 + 1}$$

Saludos,

Al

Desarrollando un poco mas tu respuesta:

$(4\mu^2+1)\cos \beta=4\mu^2 \cos \beta-6\mu \sin \beta - 2\cos \beta -(4\mu^2-2)e^{2\mu \beta} \Rightarrow$

$(4\mu^2-2)e^{2\mu \beta} =-6\mu \sin \beta -3 cos \beta$

Si se hace el cambio $\beta = \frac{\pi}{2}-\phi$ se llegara a una solucion mas o menos parecida a la que propuse, pero con un error en el signo. Aqui es donde yo creo que mi respuesta esta equivocada. Voy a buscar donde esta mi error. En cuanto a tu solucion, no lo se ???

Saludos

Jose

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Al, ya encontre mi error, al principio pense en usar todas las direcciones convencionales para no cometer un error de signo y precisamente eso fue lo que hice.

Escribi $\vec f_r = - f_r \hat e_\phi$ clockwise, y deveria ser:
$\vec f_r = f_r \hat e_\phi$ o sea positivo para la direccion counterclockwise del reloj. Asi que finalmente tu respuesta esta correcta.

Saludos

Jose.

[carroza]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Hola.

Creo que las condiciones iniciales quen utilizais para el problema no tienen en cuenta que un objeto con rozamiento, en el punto más alto de una esfera, no desliza, si parte del reposo.


Para que el problema tenga sentido, o bien hay que dar al objeto una velocidad inicial, o bien hay que hacerlo partir, no del punto más alto de la esfera, sino de un punto que tenga un ángulo tal que la componente del peso compense la fuerza de rozamiento.

Saludos

[Al2000]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Absolutamente de acuerdo contigo.

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Con las gracias a carroza de nuevo por su muy atinada observación, posteo mi último mensaje en este hilo porque estoy seguro de que al día siguiente que el servicio de aseo urbano se halla llevado los papeles que en estos momentos estoy tirando a la basura querré consultar algo, o imprimirlo para compartirlo con algún amigo

Haciendo uso de la menos engorrosa de las dos posibilidades, asumamos que el cuerpo parte del reposo en el ángulo en el cual justamente se vencen las fuerzas de fricción estáticas. No es difícil demostrar, del equilibrio de fuerzas, que ese ángulo inicial corresponde al valor

$$\theta _0 = \tan^{-1} \mu_s$$

Regresando a la ecuación (15') la cual copio aquí cambiando el anterior valor $\mu$ por $\dst \mu_k$

$$\omega ^2 \,\ee ^{- 2 \mu_k \theta }= \frac {2 g} R\,\ee ^{- 2 \mu_k \theta } \, \frac {2 \mu_k ^2 \cos \theta - 3 \mu_k \, \mathrm {sen} \, \theta - \cos \theta }{4 \mu_k ^2 + 1} + C$$

e imponiendo la condición $\omega = 0$ para $\dst \theta = \theta _0$, se tiene

$$\frac {2 g} R\,\ee ^{- 2 \mu_k \theta_0 } \, \frac {2 \mu_k ^2 \cos \theta_0 - 3 \mu_k \, \mathrm {sen} \, \theta_0 - \cos \theta_0 }{4 \mu_k ^2 + 1} + C = 0$$

Luego de despejar $C$, sustituir en (2) y hacer algún reacomodo de términos, se obtiene

$$\omega ^2 = \frac {2 g}{\left(4 \mu ^2+1\right) R}\left\{ \begin{aligned} & \left[ \left( 2 \mu_k^2 - 1 \right) \cos \theta - 3 \mu_k \, \mathrm {sen} \, \theta \right] \\ - & \left[ \left( 2 \mu_k^2 - 1 \right) \cos \theta_0 - 3 \mu_k \, \mathrm {sen} \, \theta_0 \right] \ee ^{2 \mu _k (\theta - \theta_0) }\end{aligned} \right\}$$

Recordando que el ángulo de separación $\beta$ ocurre cuando

$$\cos \beta = \frac R g \omega_s ^2$$

y usando (4) para evaluar $\dst \omega _s$, se obtiene luego de unas cuantas simplificaciones

$$2 \mu_k \, \mathrm {sen} \, \beta + \cos \beta = \frac 2 3 \left[ 3 \mu_k \, \mathrm {sen} \, \theta_0 + \left( 1 - 2 \mu_k^2 \right) \cos \theta_0 \right] \ee ^{2 \mu _k (\beta - \theta _0) }$$

Si se utiliza la ecuación (1) para eliminar el seno y coseno de $\dst \theta_0$, la expresión (6) puede escribirse en la forma alternativa

$$\boxed {2 \mu_k \, \mathrm {sen} \, \beta + \cos \beta = \frac 2 3 \left[\frac {1 + 3 \mu_s \mu_k - 2 \mu_k^2 } {\sqrt {1 + \mu _s^2}}\right] \ee ^{2 \mu _k (\beta - \theta_0) }}$$

La siguiente es la gráfica obtenida resolviendo numéricamente la ecuación (7) para varios valores de $\dst \mu_s$. Cada curva termina donde $\dst \mu_k = \mu_s$ que sería el límite máximo que podría alcanzar el coeficiente de fricción dinámico. Obsérvese en esta versión corregida que el cuerpo siempre se separa de la superficie para un ángulo en la banda ~ 50°-70°.



Saludos,

Al

[madridista0175]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Hola a todos: Despús de consultar varias webs y he llegado a la resolución del problema, concretamente a calcular la velocidad en función del ángulo . Lo que no consigo hallar es el punto dónde el cuerpo abandona la esfera A ver si alguíen consigue llegar más lejos que yo. Os pongo el problema desarrollado en dos imágenes adjuntas.

[madridista0175]

Re: ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?

Disculpas, he puesto la primera pagina del rev,es, la pongo derecha.