1r ciclo Problema: Efecto Doppler clásico y relativista.

[GNzcuber]

Hola!

Escribiré el enunciado del ejercicio y mostraré mi solución, por lo menos hasta donde pude:

a. Una chica viaja en un globo dirigible que es arrastrado por el viento mientras que su amigo la observa desde un edificio cercano. Supongamos que el viento sopla a 8 m·s⁻¹ y lleva el globo hacia el edificio.
La chica hace sonar una sirena que está en el globo generando una onda de 1 kHz. Suponiendo que el globo va a la misma velocidad que el aire, ¿Cuál sería la frecuencia que detectaría el chico desde el edificio?

Datos: tomaré como sistema de referencia el aire.
- velocidad de la chica $\dst v_0=0 m\cdot s^{-1}$
- velodidad del chico $\dst v_n=-8 m\cdot s^{-1}$
- velocidad del sonido en el medio $\dst u=331 m\cdot s^{-1}$
- frecuencia del emisor $\dst \nu_0=10^{3}Hz$

$$\dst \nu_n=\nu_0\left(1-\frac{v_n}{u}\right)=10^{3}Hz\left(1+\frac{8}{331}\right)=1024Hz$$

b. El sonido de la sirena se refleja en el edificio y llega nuevamente al globo dirigible donde la chica detecta los batidos correspondientes. ¿A qué frecuencia los detectará?

$$\dst \nu_p=\frac{\nu_n-\nu_0}{2}=\frac{1024-1000}{2}Hz=24Hz$$

Como la chica se encuntra en reposo en el medio donde se propaga la onda [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

c. Para evitar la colisión del globo contra el edificio la chica enciende los motores del globo dirigible y consigue que el globo se aleje del edificio a 5 m·s⁻¹ aunque el viento mantiene su velocidad. En estas condiciones la chica hace sonar la sirena. ¿Qué frecuencia detectara el chico desde el edificio y qué frecuencia de pulsación detectará la chica desde el globo dirigible?

Datos: El único que varía es la velocidad de la chica $\dst v_0=-13 m\cdot s^{-1}$

$$\dst \nu_n=\nu_0\left(\frac{1-\frac{v_n}{u}}{1-\frac{v_0}{u}}\right)=10^3Hz\left(\frac{1+\frac{8}{331}}{1+\frac{13}{331}}\right)=985Hz$$

$$\dst \nu_p=\left|nu_n-nu_0\right|=\left|985-1000\right|Hz=15Hz$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
con $\dst u'=-u$

d. Si en lugar de hacer sonar la sirena, la chica del dirigible envía un haz de luz láser de 632.8 nm de longitud de onda, ¿Cuáles serían las respuestas para las preguntas anteriores?

$\dst \nu_0=\frac{c}{\lambda_0}=\frac{2.998\cdot 10^{8}m\cdot s^{-1}}{6.328 \cdot 10^{-7}m}=4.738\cdot 10^{14}Hz$

a') Ahora tomaré como sistema de referencia el edificio, debido a que la velocidad de la luz "no depende del medio", tomando la velocidad de la luz en el aire igual a la del vacío.

Datos:
- velocidad del chico $\dst v_n=0 m\cdot s^{-1}$
- velocidad de la chica $\dst v_0=8 m\cdot s^{-1}$
- velocidad de la luz $\dst c=2.998\cdot 10^8 m\cdot s^{-1}$

$$\dst \nu_n=\nu_0 \sqrt{\frac{1+\frac{v_0}{c}}{1-\frac{v_0}{c}}}=4.738\cdot 10^{14}Hz\sqrt{\frac{1+\frac{8}{2.998\cdot 10^8}}{1-\frac{8}{2.998\cdot 10^8}}}=4.738\cdot 10^{14}Hz$$

Aquí se ve claro que la frecuencia de pulsación con esta precisión será nula.

No veo cómo seguir esto. ¿Podríais ayudarme? Gracias!

[Al2000]

Re: Problema: Efecto Doppler clásico y relativista.

Si tu problema es que las pulsaciones te están dando cero porque los cálculos no te permiten determinar diferencias tan pequeñas tal vez te resularía útil usar una aproximación mediante series: $\dst \sqrt {\frac {1+r}{1-r}} \approx 1 + r$. ¿Te sirve?

Saludos,

Al

[GNzcuber]

Re: Problema: Efecto Doppler clásico y relativista.

Hola Al,

Al principio estuve haciendo aproximaciones pero menos lógicas ahora que lo pienso, como $\dst \sqrt{1+r} \approx 1+\frac{r^2}{2}$ y $\dst \sqrt{1-r} \approx 1-\frac{r^2}{2}$, y bueno no me servía de nada porque me daba 1.
He hecho esa aproximación (he hecho el desarrollo correspondiente, pero no por desconfiar eh ). El tema es que me daba aproximadamente igual.
Viendo libros, he visto algo que me sonaba de clase pero me parecía que se lo sacaban de la manga:

$$\dst \frac{\Delta \nu}{\nu_0}\approx \frac{v_0}{c} \Rightarrow \nu_p=\Delta \nu\approx \nu_0\frac{v_0}{c}$$

Y así sí me sale mejor, una frecuencia del orden de 10⁷.

Por cierto, para el que esté leyendo, la frecuencia de pulsación o batido no es la semidiferencia, sinó sólo la diferencia. Ya lo corregiré.

Un saludo y gracias!

[Al2000]

Re: Problema: Efecto Doppler clásico y relativista.

Estuve a piquito de decirte que operaras algebráicamente de modo que $\nu_0$ se cancelara al restar (si sustituyes valores en la etapa intermedia no sirve de nada). Supongo que quisiste escribir $\dst \sqrt{1 + r} \approx 1 + \frac r 2$. Cuando la multiplicas por la aproximación $\dst \frac 1 {\sqrt {1 - r}} \approx 1 + \frac r 2$ te queda $(1 + \frac r 2)^2 \approx 1 + r$. Todas estas aproximaciones son últiles cuando estás haciendo cálculos relativistas a bajas velocidades.

Saludos,

Al