Partícula girando en un alambre

[Facaz]

Re: Partícula girando en un alambre

Me parece qe por aclarar la compliqe mas. Lo qe qise decir es que al doblar el auto vos qedas apoyado contra la puerta y qe ahi el normal es en la direccion en que doblas. Yo y mis ejemplos...

[Al2000]

Re: Partícula girando en un alambre

Bueno, un último mensaje en este hilo para tratar de enmendar mis errores.

Pareciera que todos los que nos hemos reunido en este hilo hemos mirado el mismo problema con distintas ópticas. Se han hecho afirmaciones que no son ni completamente falsas ni completamente ciertas y está claro que se ha generado alguna confusión.

Revisando mis mensajes me resulta evidente que en el fondo de mi mente he estado mirando el problema mas desde el punto de vista estático que desde el punto dinámico. Un poco de meditación y la lectura de los comentarios emitidos aquí me hacen reflexionar que la fueza de contacto del alambre debe ser positiva (llamaré positivo = radial hacia afuera) cuando la partícula se encuentre cerca del "polo norte" y negativa para posiciones mas hacia el sur. El punto de quiebre en donde la fuerza de contacto cambia de signo debe ser dependiente de la velocidad angular del anillo.

De modo que básicamente por sacarme el clavo, como decimos por aquí, me he entretenido un poco análizando el problema con mas cuidado. No lo he resuelto por completo, solo la parte que quería comprobar sobre la reacción del alambre. Y no está resuelto en las mejores condiciones de descanso así que si se me coló un (¡otro!) error espero me sabrán disculpar.

Empiezo con un gráfico, clonado de un mensaje en otro hilo, para establecer la referencia:



Me enredé todo cuando lo quise plantear en un sistema de referencia inercial de modo que lo he planteado en un sistema de referencia solidario con el anillo rotante. En la figura, $\dst F_C$ representa la fuerza centrífuga aplicada a la partícula:

$$F_C = m \Omega ^2 R \, \mathrm {sen} \, \theta$$

Del balance de fuerzas en las direcciones radial y tangencial, se obtienen las dos ecuaciones

$$m g \cos \theta - N - m \Omega ^2 R \, \mathrm {sen^2} \, \theta = m \omega ^2 R$$

$$m g \, \mathrm {sen} \, \theta + m \Omega ^2 R \, \mathrm {sen} \, \theta \cos \theta = m \alpha R$$

donde $\omega$ y $\alpha$ son, respectivamente, la velocidad angular y la aceleración angular en el movimiento hacia abajo de la partícula.

Podemos cancelar el factor común $m$ y escribir estas dos ecuaciones como

$$\frac {d^2 \theta }{dt^2} - \left(\frac g R + \Omega ^2 \cos \theta \right) \, \mathrm {sen} \, \theta = 0$$

$$N = m \left( g \cos \theta - \omega ^2 R - \Omega ^2 R \, \mathrm {sen^2} \, \theta \right)$$

Como mi objetivo es ver cómo varía la normal $N$ en función de la posición $\theta$ no voy ni siquiera a intentar resolver la ecuación (4) en función del tiempo. Escribiendo la aceleración angular como

$$\frac {d^2 \theta }{dt^2} = \frac {d \omega }{dt} = \frac {d \omega }{d \theta }\frac {d \theta }{dt} = \omega \frac {d \omega }{d \theta }$$

la ecuación (4) se convierte en

$$\omega \frac {d \omega }{d \theta } - \left(\frac g R + \Omega ^2 \cos \theta \right) \, \mathrm {sen} \, \theta = 0$$

Al separar variables e integrar se obtiene

$$\frac 1 2 \omega ^2 = - \left(\frac g R + \frac 1 2 \Omega ^2 \cos \theta \right) \cos \theta + C$$

y con la condición de que $\omega = 0$ cuando $\theta = 0$, se obtiene la constante de integración

$$C = \frac g R + \frac 1 2 \Omega ^2$$

Al sustituir en (8) y simplificar la expresión resultante, se obtiene

$$\omega ^2 = \frac {2 g} R (1 - \cos \theta ) + \Omega ^2 \, \mathrm {sen^2} \, \theta$$

Ahora podemos regresar a (5) y sustituir $\dst \omega ^2$. Luego de simplificar se obtiene la expresión buscada

$$\boxed {N = m \left(3 g \cos \theta - 2 g - 2 \Omega^2 R \, \mathrm {sen^2} \, \theta \right)}$$

¿Es esta expresión correcta? Yo creo que si... al menos cumple con unos cuantos casos particulares conocidos:

- Predice correctamente que $N = m g$ para $\theta = 0$.

- Con $\Omega = 0$ predice que la normal se anula en $\theta = 48.19\°$, resultado que coincide con el cálculo del ángulo de separación en problema del cuerpo que desliza sobre una superficie esférica si fricción.

- También con $\Omega = 0$ predice correctamente el valor de la reacción normal en el "ecuador" $(\theta = \pi /2\,,\, N = - 2 m g)$ y en el "polo sur" $(\theta = \pi \,,\, N = - 5 m g)$ tal como se obtiene de un balance de energías.

Ojalá este desarrollo les resulte interesante. Saludos,

Al

[ser humano]

Re: Partícula girando en un alambre

Alli sí la fuerza de contacto es hacia arriba, ya que el objeto que lo ejerce esta debajo de la particula. En el problema tratado en este hilo, el objeto que esta ejerciendo la fuerza de contacto esta arriba de la particula, y por ende, esta fuerza impulsa a la particula hacia abajo. Notar que en todos los casos la fuerza de contacto es repulsiva.
No se me ocurren mas ejemplos para dar, si no es notorio a nivel fisico, se puede mirar en las ecuaciones. Si la fuerza de contacto es hacia arriba, acelera a la particula hacia arriba, entonces la aceleracion imprimida por esa fuerza es tambien en ese sentido. Si a esto le sumamos el efecto de la inercia, tenemos que para determinadas velocidades angulares, el alambre superior no solo no frena a la particula, sino que la impulsa para arriba a traves de él.
Nuevamente, creo que si hubiese una fuerza asi, ya no seria de contacto, puesto que la fuerza de contacto es por definicion la fuerza que tiene el origen mencionado en mensajes anteriores.

Un saludo

Pd: la gran dificultad que tiene la comunicacion por escrito es que no es sencillo notar de que forma es que el otro dice las cosas. Me gustaria aclarar que todo lo dicho es con las mejores ganas de que podamos contribuir unos con los otros para asi desarrollarnos mejor. Nada de discusiones para ver quien tiene razon

[GNzcuber]

Re: Partícula girando en un alambre

Hola,

Bueno, yo entiendo lo que dice ser humano porque desde el principio me imaginé lo mismo. Ser humano y yo concebimos el alambre no como un alambre, sinó como un aro de superficie plana donde los bordes son más anchos, así se forma una especie de raíl para que al girar este aro la partícula no caiga. Esta partícula tiene una masa m, esférica para que siempre esté deslizando en contacto de igual forma sobre todo el aro.
Por ello si el aro no girase, la partícula pasaría por el polo Norte, o punto más alto (respecto el sentido opuesto del vector aceleración gravitatoria), con una fuerza centrípeta que sería igual a su peso y no habría normal. De modo que si se llega a un equilibrio en donde la partícula sólo puede estar en uno de sus polos no podría ser en el norte porque caería libremente.

Yo no le discuto nada a Al, ya que siempre me ha demostrado tener un dominio en todo lo que yo no sé, sin embargo me cuesta ver lo mismo que le cuesta a ser humano. Al igual que él, si me imaginase un aro con un riel exterior de manera que la masa tuviera una abertura para estar siempre enganchada a este riel la, fuerza centrípeta (como su nombre indica, hacia el centro) será ejercida desde el interior de la partícula y estando en el polo Norte indicaría hacia abajo, donde está el centro.

No sé cómo es posible, que estando la partícula girando la normal en el extremo superior apunte hacia el exterior.

¡Saludos!

[ser humano]

Re: Partícula girando en un alambre

Hola,

Bueno, yo entiendo lo que dice ser humano porque desde el principio me imaginé lo mismo. Ser humano y yo concebimos el alambre no como un alambre, sinó como un aro de superficie plana donde los bordes son más anchos, así se forma una especie de raíl para que al girar este aro la partícula no caiga. Esta partícula tiene una masa m, esférica para que siempre esté deslizando en contacto de igual forma sobre todo el aro.

Hola. Independientemente de que el alambre fuese un alambre o un riel, la fuerza de contacto (o normal) apunta hacia abajo, porque el aro esta sobre la particula.

Por ello si el aro no girase, la partícula pasaría por el polo Norte, o punto más alto (respecto el sentido opuesto del vector aceleración gravitatoria), con una fuerza centrípeta que sería igual a su peso y no habría normal. De modo que si se llega a un equilibrio en donde la partícula sólo puede estar en uno de sus polos no podría ser en el norte porque caería libremente.

Si el aro no girara, no habria un movimiento inercial de la particula, y por lo tanto, como la particula no tenderia a seguir subiendo, y la fuerza de contacto no es atractiva, simplemente caeria por su propio peso.
En el caso de que el aro no girara y la pelota este en el extremo norte (que ya no es parte del problema planteado) entonces, si la particula esta sujeta de alguna forma (ya sea porque el alambre la atraviesa, o por algun otro motivo al alambre, entonces en ese caso sí, la fuerza de contacto es hacia arriba. Si la particula gira alrrededor del aro, eso ya no sucede, por lo ya dicho.

Yo no le discuto nada a Al, ya que siempre me ha demostrado tener un dominio en todo lo que yo no sé, sin embargo me cuesta ver lo mismo que le cuesta a ser humano. Al igual que él, si me imaginase un aro con un riel exterior de manera que la masa tuviera una abertura para estar siempre enganchada a este riel la, fuerza centrípeta (como su nombre indica, hacia el centro) será ejercida desde el interior de la partícula y estando en el polo Norte indicaría hacia abajo, donde está el centro.

En las personas, no es util aplicar la induccion

Saludos