Olimpiada Cuestión propuesta de gravitación, olimpiada

[Ulises7]

Pues visto que hay más de un usuario que se está preparando para la olimpiada española de física, considero una buena idea ir proponiendo cuestiones y problemas por aquí para estimular el estudio de la física y ver entre todos si se realizan correctamente, ¿qué os parece?

Bueno aquí va una cuestión de gravitación:

La órbita de una de las lunas de Júpiter, Ió, es aproximadamente circular con un radio
medio de $4,93 \cdot 10^8 m$. El período de la órbita vale $1,55 \cdot 10^5 \; s$. Encontrad:
a) El radio medio de la órbita de la luna de Júpiter Calisto, que tiene un período de
$1,44 \cdot 10^6 \;s$.
b) La masa de Júpiter.
c) El valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Júpiter.
El valor de la constante de Gravitación Universal es $6,67 \cdot10^{-11} \; Nm^2/kg^2$. El radio de Júpiter vale 71400 km.

saludos

[angel relativamente]

Re: Cuestión propuesta de gravitación, olimpiada

Gracias Ulises.
Bueno como me considero uno de esos usuarios que se está preparando para la Olimpiada, allá va la chapucilla que he hecho.
He contestado primero a la b). ya que no se me ocurría como contestar a la a) sin saber la masa de Júpiter. (No he puesto unidades ya que he trabajado en SI).

b)

$$\displaystyle \omega_{IO}=\frac{2\pi}{1.55\cdot 10^5}$$

$$\displaystyle \omega_{CAL}=\frac{2\pi}{1.44\cdot 10^6}$$

Como la velocidad lineal es igual a la velocidad orbital por el radio de la órbita.

$$\displaystyle v_{IO}=\omega_{IO}\cdot r_{IO}= \frac{2\pi}{1.55\cdot 10^5} \cdot 4.93\cdot 10^8 = \frac{2\pi\cdot 4.93\cdot 10^3}{1.55}$$

Como la fuerza centrípeta de IO es igual a la fuerza gravitatoria de IO, $F_{C_{IO}}=F_{G_{IO}}$, igualo las formulas y nos queda.

$$\displaystyle m_{IO}\cdot \frac{v_{IO}^2}{r_IO}=G\cdot \frac{m_{IO}\cdot m_{JUP}}{r_{IO}^2}$$

$$\displaystyle m_{JUP}=\frac{v_{IO}^2\cdot r_{IO}}{G}=\frac{\left({\frac{2\pi\cdot 4.93\cdot 10^3}{1.55}}\right)^2 \cdot 4.93\cdot 10^8}{6.67\cdot 10^{-11}}\approx 2.95\cdot 10^{27}Kg$$

a)
Ya que la fuerza centrípeta de Calisto es igual que la fuerza gravitatoria de Calisto
$F_{C_{CAL}}=F_{G_{CAL}}$, igualo y queda.

$$\displaystyle m_{CAL}\cdot \frac{v_{CAL}^2}{r_CAL}=G\cdot \frac{m_{CAL}\cdot m_{JUP}}{r_{CAL}^2}$$

Como $v=\omega\cdot r$

$$\displaystyle \omega_{CAL}^2\cdot r_{CAL}= G\cdot\frac{m_{JUP}}{r_{CAL}^2}$$

Ya que $m_{JUP}= \frac{v_{IO}^2\cdot r_{IO}}{G}$


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]



c)

$$\displaystyle g_{JUP}=G\cdot \frac{m_{JUP}}{r_{JUP}^2}$$

$$\displaystyle g_{JUP}=\frac{v_{IO}^2\cdot r_{IO}}{r_{JUP}^2}\approx 38.62m\cdot s^{-2}$$

Bueno ese fue mi planteamiento. Avisen si encuentran algun error. Gracias a todos.
Saludos

[Al2000]

Re: Cuestión propuesta de gravitación, olimpiada

...He contestado primero a la b). ya que no se me ocurría como contestar a la a) sin saber la masa de Júpiter...

Si tienes un satélite orbitando alrededor de un planeta sabes que la fuerza centrípeta es la fuerza de gravedad. Entonces

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
(¿Te suena esta última expresión, cubo del radio proporcional al cuadrado del período?)

Entonces si tienes dos satélites se cumple que $\dst \frac {r_1^3}{T_1^2} = \frac {r_2^3}{T_2^2}$

Saludos,

Al

[angel relativamente]

Re: Cuestión propuesta de gravitación, olimpiada

oh, no caí en kepler
Gracias por la aportación AL

[Ulises7]

Re: Cuestión propuesta de gravitación, olimpiada

Pues sí, se me escapo el signo .

Ángel está bien resuelto y los resultados son correctos, ahora un par de cosas, la clave de éste ejercicio es dominar la 3ª Ley de Kepler, no la puedes olvidar, sale bastante en las olimpíadas, por lo menos en la fase local, y otra propuesta para resolverlo puede ser justificar la 3ª ley de Kepler y después aplicarla, así llegas a la expresión:

$$T^2 = Kr^3$$

Donde K es una constante dada por $K = \dfrac{4\pi^2}{G M}$, pues bien si realizas el sistema:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
debes darte cuenta que la constante K es la misma para los dos satélites, ya que orbitan alrededor del mismo cuerpo, en éste caso Júpiter, así que por reducción puedes deshacerte fácilmente de la constante y obtener el radio de Calisto:

$$r_C = \sqrt[3]{\dfrac{T^2_C }{T^2_I}}r_I$$

Como ves ésta expresión es más sencilla de operar en la calculadora, pero es igualmente válida. Y con la masa de Júpiter pues más de lo mismo, si despejas el término M de la expresión 1) ya la tienes. Y la aceleración de la gravedad en Júpiter puede ser calculada mediante la expresión:

$$g_J = G\dfrac{M_J}{R^2_J}$$

Y un detalle que te tenia que comentar es que utilizaras el comando \; al lado de los números cuando escribas las unidades, así los separas. Y por último, podrías decirme qué temas has dado y dominas más para seguir proponiendo cuestiones, dímelo mejor por mensaje privado.

[angel relativamente]

Re: Cuestión propuesta de gravitación, olimpiada

Muchas gracias Ulises, es bastante más sencillo con Kepler.
Uno va aprendiendo de la experiencia
Saludos

[Bernardo]

Re: Cuestión propuesta de gravitación, olimpiada

¿que les enseñan en españa?
y apenas van en secundaria no me imagino que les daran en bachillerato
snif snif en mi pais apenas nos enseñaron un poco y no nos enseñaron nada de kepler
tampoco me hablaron de fuerza centrifuga
no, no, no, se nota que estamos muy mal,
por eso cuando cresca me ire a Francia o a EE.UU

[Ulises7]

Re: Cuestión propuesta de gravitación, olimpiada

¿que les enseñan en españa?
y apenas van en secundaria no me imagino que les daran en bachillerato
snif snif en mi pais apenas nos enseñaron un poco y no nos enseñaron nada de kepler
tampoco me hablaron de fuerza centrifuga
no, no, no, se nota que estamos muy mal,
por eso cuando cresca me ire a Francia o a EE.UU

jajaja, no todo lo que reluce es oro . Te comento que la educación secundaria en España es pésima, y te lo digo yo que he estado en 3 institutos en dos comunidades autónomas diferentes... Y es un problema tanto del interés de los estudiantes, como del profesorado. Yo de hecho aprendí poquísima física en la ESO, por cierto yo tampoco di a Kepler en la ESO, de hecho lo vi éste año así que ( a priori ) no tienes nada que envidiarnos en éste sentido

[angel relativamente]

Re: Cuestión propuesta de gravitación, olimpiada

Nada yo ahora que estoy en mi ultimo año de secundaria, tan solo vi por encima a Kepler (ni siquiera hice ejercicios con el), por eso ahora nunca se me ocurre resolverlos por la ley de kepler. Respecto lo que dice Ulises de que la educación secundaria en España es pésima, todo depende del instituto y del estudiante. Pero si el estudiante esta interesado, siempre habra un maestro con ganas de enseñar.
Saludos

[Ulises7]

Re: Cuestión propuesta de gravitación, olimpiada

Respecto lo que dice Ulises de que la educación secundaria en España es pésima, todo depende del instituto y del estudiante. Pero si el estudiante esta interesado, siempre habra un maestro con ganas de enseñar.
Saludos

Hablo en general, yo estudié un año en un colegio privado en Colombia ( no era caro, de hecho la gente de clase media va a éste tipo de colegios ) y la verdad es que aprendí muchísimo, de hecho la educación que recibí me sirvió para tener dos años de ventaja ( toda la ESO ) desde que llegué a España, a ésto me refiero...