Olimpiada Propuesto, sobre satélites

[Ulises7]

Aquí va la primera parte de un problema de olimpíada

Un satélite artificial de masa 500 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una velocidad de 7,5 km/s. Observamos que se mantiene a una distancia h de la superfície terrestre y que tarda 1 h 37 min y 6 s en dar una vuelta. Suponiendo conocidos la constante gravitatoria $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \; Nm^2/kg^2$ y el radio de la Tierra $R_T = 6380 \; km$, se pide:

a) El valor de h.
b) La aceleración del satélite en su órbita en unidades del sistema internacional.
c) Estima a partir de estos datos el valor de la masa de la Tierra.

saludos

[angel relativamente]

Re: Propuesto, sobre satélites

Hola Ulises, te echaba de menos
Antes de ponerme a hacerlo, me gustaría aclarar qué quieren decir la pregunta b) y c). que no las entiendo mucho xd.
b) ¿Se refiere al valor de g a dicha altura? Porque si es un movimiento orbital circular no debería de tener aceleración. (Tan solo la centrípeta, g)
c)¿Como que estime? ¿Se refiere a que calcule? xD no he dado como estimar

Muchas gracias por todo
Saludos!

[Ulises7]

Re: Propuesto, sobre satélites

Hola Ulises, te echaba de menos

jajaja, te aseguro que ahora te cansarás de mi, ya acabe bachillerato , aunque aún me queda las PAU...

Antes de ponerme a hacerlo, me gustaría aclarar qué quieren decir la pregunta b) y c). que no las entiendo mucho xd.
b) ¿Se refiere al valor de g a dicha altura? Porque si es un movimiento orbital circular no debería de tener aceleración. (Tan solo la centrípeta, g)

Bueno disculpa por esta cuestión, tuve un lapsus traduciendo ( están en catalán, son de la olimpíada catalana ), ahora ya está bien, con lo que está expuesto ya deberías poder hacerlo, no te doy ninguna pista hasta que no lo tengas hecho .

c)¿Como que estime? ¿Se refiere a que calcule? xD no he dado como estimar

Muchas gracias por todo
Saludos!

Según la RAE:

estimar: 1. tr. Apreciar, poner precio, evaluar algo.

saludos

[Al2000]

Re: Propuesto, sobre satélites

Cualquier cálculo de la masa de Tierra usando esos datos será un estimado (aproximación) porque vas a hacer un cálculo basado en la premisa de que Tierra se comporta como una masa puntual, lo cual sólo sería cierto si fuese una esfera perfecta con una densidad de masa con simetría esférica.

Saludos,

Al

[angel relativamente]

Re: Propuesto, sobre satélites

Mmm, para hacer el a), pensaba recurrir a Kepler de esta forma:

$$\displaystyle \frac{(r_{Tierra})^3}{(24\cdot 3600)^2}=\frac{(r_{Tierra}+h)^3}{(1\cdot 3600 + 37\cdot 60 + 6)^2}$$

Pero lo probé con datos REALES de la tierra y la luna y no funciona, ¿alguien sabe decirme porqué?
Gracias

[Ulises7]

Re: Propuesto, sobre satélites

La verdad es que el problema es mucho más sencillo, sé lo que estás haciendo por no estoy seguro que se puede aplicar ésa igualdad, busca resolver el problema por otros medios

[Ulises7]

Re: Propuesto, sobre satélites

Y bueno si quieres resolverlo de ésa forma, estoy comprobando que efectivamente de lo mismo, llego hasta aquí ( si no me he equivocado ):

$$h^3 + 3R_th^2 + 3R^2_th + \left ( 1 - \dfrac{T'^2}{T^2}\right ) R^3_t = 0$$

Como ves es mucho más sencillo trabajar con letras que con grandes números que es lo que te debe haber pasado a ti, en todo caso no poseo los conocimientos matemáticos suficientes para seguir, en éste caso despejar h.

Como ya te dije es en realidad mucho más sencillo

[angel relativamente]

Re: Propuesto, sobre satélites

Yo tampoco sabría despejar ahí
pero no se me ocurre otro medio. porque en todos necesito la ¡MASA DE LA TIERRA!
Aunque si estimo antes su valor ya queda todo solucionado xD (cuando digo estimar, digo buscarlo en el wiki)
Pero prefiero pensar a ver si me saco otra formula u otro proceso
Saludos

[Al2000]

Re: Propuesto, sobre satélites

Para hallar la altura puedes usar las velocidades lineal y angular del satélite: $\dst v = \omega R_o = \frac {2 \pi} T R_o$.

Saludos,

Al

[angel relativamente]

Re: Propuesto, sobre satélites

Ya pense en esas formulas, pero aun así $R_o$ la desconozco, necesitare igualarla con otra fórmula (que no lleve Mt)
Saludos!

[Al2000]

Re: Propuesto, sobre satélites

Ya pense en esas formulas, pero aun así $R_o$ la desconozco, necesitare igualarla con otra fórmula (que no lleve Mt)...

$\dst R_o = \frac v \omega = \frac {v T}{2 \pi } = \frac {7.5 \,\mathrm{km/s} \cdot (\,\mathrm{1 h \, 37 min\, 6 s})}{2 \pi } = 6954.28\,\mathrm{km}$

$\dst h = R_o - R_T = 574.28 \,\mathrm{km}$

Saludos,

Al

[angel relativamente]

Re: Propuesto, sobre satélites

ai dios, no habia reparado en que el problema daba la velocidad xD
gracias Al

[angel relativamente]

Re: Propuesto, sobre satélites

b) No se muy bien como responder al b), ya que sigo sin saber muy bien lo que pide.
Pero, cuando dice la aceleración imagino que se refiere a la aceleración centrípeta.

$$a_c=\frac{v^2}{R_o}\approx 8.08\;m/s^2$$

c)Allá va mi estimación:

$$a_c=\frac{M_t \cdot G}{R_o^2}\; ; \;\;\; M_t=\frac{a_c \cdot R_o^2}{G}\approx 5.86\cdot 10^{24}$$

Saludos

[Ulises7]

Re: Propuesto, sobre satélites

Coincidimos, respecto a la aceleración pues la que te piden es la única a la cual está sometido el satélite, es la centrípeta, la que lo "hace caer".

Por cierto el problema consta de tres cuestiones más, aunque éstas son ya de conservación y no creo que hayas dado éste temario... No sé si ponerlas xd

[angel relativamente]

Re: Propuesto, sobre satélites

Puedes ponerlas para que las responda otro que sepa, de todos modos, yo intentaré buscarme los medios para resolver