Otras carreras Problema de centro de masa

[Ale12]

Hasta ahora no he tenido problema en encontrar el centro de masa de figuras planas con un area especifica.. pero se m presento un problema y fue con el triangulo ya que hasta ahora utilizo una diferencial de area de la manera siguiente para coordenadas cartesianas

dA = dxdy

mi pregunta es cada vez que hago esto y hago los calculos respectivos no me da h/3 que es dond keda el centro de masa de todo triangulo... mi pregunta es como calculo el CM de un triangulo..?? que elemento infinitesimal de masa dm utilizo..??

sería de mucha ayuda si m respondieran..!!

[Nachop]

Re: Problema de centro de masa

Primero que todo, no todo triángulo tiene su CM a h/3, porque existen cuerpos que tienen densidad variable, lo que hace que el CM se desplace

Ahora, me gustaría ver tu integral con la que calculaste el CM, ya que hay que tener cuidado con los límites de integración

[Al2000]

Re: Problema de centro de masa

Para comprobar tus cálculos, asumiendo densidad de masa constante, simplemente has el promedio de las coordenadas de los tres vértices.

Saludos,

Al

[arreldepi]

Re: Problema de centro de masa

Hola, si quieres hacerlo por integración te sugiero hacerlo de la siguiente manera:

Tienes que

$$\dd m = \sigma \dd S = \sigma y \dd x$$

Aplicando el teorema de Tales:

$$\frac{h}{b/2}=\frac{y}{(b/2)-x}\qquad\Rightarrow\qquad y = \frac{2h}{b}\left(\frac{b}{2}-x\right)$$

Con lo cual

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Con lo cual, como se trata de una distribución superficial tendremos lo siguiente

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Con lo cual

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Si lo hacemos por separado, tenemos que

$$M = \int_{\mathcal S}\dd m = \int_{\mathcal S} \sigma y\dd x = 2\sigma\int_{0}^{b/2}\frac{2h}{b}\left(\frac{b}{2}-x\right)\dd x = \frac 12 \sigma hb.$$

$$\int_{\mathcal S} y\dd m = \int_{\mathcal S} \sigma y^2 \dd x = 2\sigma\int_{0}^{b/2}\left[\frac{2h}{b}\left(\frac{b}{2}-x\right)\right]^2\dd x = \frac{\sigma bh^2}{3}$$

Hmm, al dividir me da

$y_{CM}=\frac{2}{3}h$

a ver si alguien ve dónde está el error.

Saludos!

[Al2000]

Re: Problema de centro de masa

El error es que la posición $y$ del centro de masa de la tira que estás considerando no es $y$ sino mas bien $\frac 1 2 y$.

Saludos,

Al

[arreldepi]

Re: Problema de centro de masa

Pero debería funcionar para una y cualquiera, es decir, es como si la hubiese llamado $h-y$, creo :s

Saludos!

[Al2000]

Re: Problema de centro de masa

No me entendiste, cuando pones $\dst y_{CM} = \frac {\int y\,dm} M$, asumes que $dm$ es una partícula, sin dimensiones. Pero tu dividiste tu figura en tiras o rectángulos (si lo prefieres) y para sumar los centros de masa de todos los rectángulos tienes que usar el centro de masa de un rectángulo, que por supuesto es su centro geométrico. En tu problema específico, tenias que haber dicho $\dst y_{CM} = \frac {\int (\frac 1 2 y)\,dm} M = \cdots = \frac 1 3 h$.

Fíjate que es lo mismo que si haces $\dst \int \int \sigma y \,dy\,dx = \sigma \int \frac 1 2 y^2 \, dx$ y sustituyes el límite superior de $y$ antes de proseguir con la integral en $x$.

Saludos,

Al

[arreldepi]

Re: Problema de centro de masa

Es verdad!! Gracias! =D