Olimpiada Propuesto, péndulo

[Ulises7]

Otro:

Después de aterrizar en un planeta desconocido, un astonauta construye un péndulo simple de longitud
de 30,0 cm y determina que efectúa 100 oscilaciones en 223 s. ¿Cuál es el valor de g en ese planeta?

[angel relativamente]

Re: Propuesto, péndulo

Bueno, no he dado nada relaccionado con pendulos, no corresponde a mi año, pero nuestro gran amigo Google me ha proporcionado una fórmula que parece que puedo aplicar:


Siendo P el período, y l la longitud del hilo (si no me han informado mal).

Por tanto, despejo g:

$$\displaystyle g=\frac{4\pi^2\cdot l}{P^2}=\frac{4\pi^2\cdot 0.3}{2.23^2}\approx 2,382\; m/s^2$$

Creo que es así. Lo que me gustaría saber es de donde viene la fórmula.
Lo único que vi es que viene de $\omega^2=\frac{l}{g}$, por tanto de ahí sale ¿Pero de donde sale esta fórmula?
Gracias
Saludos!

[Ulises7]

Re: Propuesto, péndulo

It is correct.

¿De dónde sale? Pues mira puede ser un buen trabajo de investigación personal tuyo, sin mirar directamente, como pista te diré que hagas el diagrama de fuerzas de un péndulo, y hagas la aproximación que el seno para ángulos pequeños es equivalente a la tangente, aunque claro deberías saber algo de MAS, pero si te digo que una aceleración de un MAS es: $a = -\omega^2 x$, deberías ser capaz de hacerlo y éste tipo de movimiento es un MAS.

Aunque ésto es tema de demostración xd

saludos

[arreldepi]

Re: Propuesto, péndulo

Hola Angel, el origen de esta fórmula es un poco complicado si no has visto todavía nada de derivadas (no recuerdo si hay algún método más sencillo de demostrar de dónde viene)

Para un movimiento armónico (te pongo el caso de un muelle que es un poco más sencillo, si lo sigues sin demasiados problemas, te pongo el del péndulo, ok?) existe una fuerza recuperadora

$$F(x) = -kx$$

no pongo vectores ya que estamos en un movimiento unidimensional. A esta fuerza se le puede asociar una función potencial (la energía potencial) que tiene la siguiente expresión

$$U(x)=\frac 12 kx^2$$

Sabemos que $F=ma$ y la aceleración es la derivada segunda de la posición respecto del tiempo dos veces, es decir

$$F = ma = m\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}$$

Si igualamos esta expresión a la primera

$$m\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} = -kx$$

Dividiendo (4) por la masa obtenemos la ecuación general del movimiento armónico simple

$$\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} = -\frac{k}{m}x$$

Ahora bien, k tiene unidades de N/m = Kg/ s^2 y la masa tiene unidades de Kg, tomando la raíz cuadrada de la división, nos queda una unidad con dimensiones $T^{-1}$ es decir, $1/s$. Entonces, la frecuencia angular es

$$\omega \equiv \sqrt{\frac{k}{m}}$$

Y la ecuación queda así:

$$\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} = -\omega^2 x$$

Bueno, todo este rollo es para que veas de dónde sale el factor $\sqrt{k/m}$ que en el caso del péndulo es $\sqrt{g/l}$. Ahora bien, cómo se relaciona esto con el período? Sabemos que

$$T = \frac{2\pi}{\omega} \quad\Rightarrow\quad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

que en el caso del péndulo es

$$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

Bueno, no te preocupes demasiado si no ves la primera parte (en qué curso estás?), en segundo de bachillerato te la explicarán aunque para ver cuáles son las ecuaciones del MAS no resolveréis la ecuación diferencial. Lo que creo que no te costará entender es cómo, a partir de saber el valor de $\omega$ se llega a la expresión que preguntabas. Cualquier duda, pregunta!


Saludos!

[angel relativamente]

Re: Propuesto, péndulo

It is correct.

¿De dónde sale? Pues mira puede ser un buen trabajo de investigación personal tuyo, sin mirar directamente, como pista te diré que hagas el diagrama de fuerzas de un péndulo, y hagas la aproximación que el seno para ángulos pequeños es equivalente a la tangente, aunque claro deberías saber algo de MAS, pero si te digo que una aceleración de un MAS es: $a = -\omega^2 x$, deberías ser capaz de hacerlo y éste tipo de movimiento es un MAS.

Aunque ésto es tema de demostración xd

saludos

Pensaré sobre ello, trigonometría he dado lo básico (solo lo he visto en mates, aun no la he aplicado a física), así que no me irá mal ir familiarizandome. Thanks

Hola Angel, el origen de esta fórmula es un poco complicado si no has visto todavía nada de derivadas (no recuerdo si hay algún método más sencillo de demostrar de dónde viene)

Lo poco de derivadas que he visto (y es bastante poco), ha sido por mi cuenta. Aunque creo tener una ligera idea de lo que es xD

Bueno, no te preocupes demasiado si no ves la primera parte (en qué curso estás?), en segundo de bachillerato te la explicarán aunque para ver cuáles son las ecuaciones del MAS no resolveréis la ecuación diferencial.

Estoy en 4º ESO . Mmm entiendo un poco el proceso aunque no del todo.

Lo que creo que no te costará entender es cómo, a partir de saber el valor de $\omega$ se llega a la expresión que preguntabas. Cualquier duda, pregunta!

Sí, eso lo entendí bien xD. Muchísimas gracias
Saludos!

[Ulises7]

Re: Propuesto, péndulo

el origen de esta fórmula es un poco complicado si no has visto todavía nada de derivadas (no recuerdo si hay algún método más sencillo de demostrar de dónde viene)

Acabo de desarrollar la demostración del período del péndulo pero partiendo ya de la aceleración en un MAS que me imagino que es lo que quieres decir con lo de las derivadas ( ángelo no lo mires hasta que lo tengas hecho ).

[arreldepi]

Re: Propuesto, péndulo

Sí, no es que sea mucho más complicado, pero se tienen que hacer una serie de aproximaciones hasta que llegas a una ecuación muy parecida a la anterior pero en lugar de x tienes el ángulo (que para ángulos pequeños es una muy buena aproximación, en unos apuntes que nos colgaron, dice que esta aproximación tiene un error inferior al 1% para ángulos menores que 23º).

Es decir, queda

$$\frac{\dd^2 \phi}{\dd t^2} = -\frac{g}{\ell}\phi$$

Lo puedes sacar mirando qué fuerzas actúan sobre el péndulo: hay una de ellas que se anula con una de las componentes de la otra, y sólo acaba importando una, que tras hacer la aproximación del ángulo te queda lo mismo (mira también cómo se relacionan x e y con el ángulo).

Si quieres inténtalo, con las pistas que te he dado, quizás puedas hacerte una idea de cómo va. Si no, dímelo y te digo el procedimiento.

Saludos!

[javier m]

Re: Propuesto, péndulo

$$F = ma = m\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}$$

Si igualamos esta expresión a la primera

$$m\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} = -kx$$

Dividiendo (4) por la masa obtenemos la ecuación general del movimiento armónico simple

$$\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} = -\frac{k}{m}x$$

para que reemplazaste $\frac{d^2 x}{d t^2}$ eñ $a$ ?

[arreldepi]

Re: Propuesto, péndulo

Si lo escribo así tengo una incógnita menos (puedo resolver la ec. diferencial), es la forma de llegar a la ecuación de un MAS.

Saludos.