Secundaria Propuesto de Mecánica

[Nachop]

Considere un sistema de dos partículas de masa M y m, unidad entre sí por una cuerda inextensible que desliza sin roce por un agujero en una superficie horizontal. Inicialmente la partícula M se encuentra a una distancia $\rho_0$ del agujero

a) Determine la rapidez $v_0$ que hay que dar a la partícula de masa M en dirección perpendicular a la cuerda para que quede girando en un círiculo de radio $\rho_0$

b) A partir de un cierto instante, en las condiciones especificadas en (a) se ejerce una fuerza $F_0$ de magnitud variable en el tiempo sobre la partícula que está colgando, de modo que ésta se mueve hacia abajo con velocidad constante $v_1$. Determine el número de vueltas que habrá dado la partícula M hasta que su distancia al agujero haya disminuído a la mitad

c) Determine la magnitud de $F_0$ en ese instante

Este problema me salió en una prueba y me pareció un buen ejercicio para que uds se entretengan

Saludos
P.D: si no se ve bien la imagen, avisen para scanear mejor la pregunta

[[Beto]]

Re: Propuesto de Mecánica

[ATTACH]2369[/ATTACH]
P.D: si no se ve bien la imagen, avisen para scanear mejor la pregunta

No se ve bien

[Nachop]

Re: Propuesto de Mecánica

No se ve bien

Volví a scanear y de nuevo se veía mal xD, así que mejor postearé el enunciado, en post inicial, porque creo que la imagen se ve bien

[ser humano]

Re: Propuesto de Mecánica

Se ve interesante el punto b y c. Cuando me haga un rato intento

[Nachop]

Re: Propuesto de Mecánica

Vamos!

[ser humano]

Re: Propuesto de Mecánica

Ya lo habia olvidado por completo al hilo. Hoy lo hago (o al menos intento hacerlo ) . Gracias por "revivirlo"

[dany_nash]

Re: Propuesto de Mecánica

[ATTACH]2369[/ATTACH]


Considere un sistema de dos partículas de masa M y m, unidad entre sí por una cuerda inextensible que desliza sin roce por un agujero en una superficie horizontal. Inicialmente la partícula M se encuentra a una distancia $\rho_0$ del agujero

a) Determine la rapidez $v_0$ que hay que dar a la partícula de masa M en dirección perpendicular a la cuerda para que quede girando en un círiculo de radio $\rho_0$

b) A partir de un cierto instante, en las condiciones especificadas en (a) se ejerce una fuerza $F_0$ de magnitud variable en el tiempo sobre la partícula que está colgando, de modo que ésta se mueve hacia abajo con velocidad constante $v_1$. Determine el número de vueltas que habrá dado la partícula M hasta que su distancia al agujero haya disminuído a la mitad

c) Determine la magnitud de $F_0$ en ese instante

Este problema me salió en una prueba y me pareció un buen ejercicio para que uds se entretengan

Saludos
P.D: si no se ve bien la imagen, avisen para scanear mejor la pregunta

Pondré mi intento de solución, no estoy del todo seguro xD. Ahi va

a) Para calcular [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] usar'e el hecho de que la tensi'on de la cuerda es igual a la fuerza centripeta de la masa M (que se obtiene de la ley de Newton), entonces se tendr'a que :

$$T=F_c\Rightarrow mg=\frac{MV_o^2}{\rho_o}\Rightarrow V_o=\sqrt{\frac{\rho_o mg}{M}}$$

en este caso $F_c=ma_t$, donde $\displaystyle a_t=\frac{V_o^2}{\rho_o}$, ya que $V_o$ es perpendicular a la direcci'on de movimiento.

B) usaremos conservaci'on del momento angular para calcular la velocidad cuando la masa M est'a girando a la mitad del radio inicial, es decir, usare conservacion del momento angular en el momento en que la masa M est'a girando a un radio $\rho_o$, y cuando gira a la mitad de este, entonces:

$$Mrv_f=M\rho_o V_o \Rightarrow v_f=\frac{\rho_o V_o}{r}$$

evaluando r=\frac{\rho_o}{2} se obtiene que

$$v_f=2 V_o$$

Ahora bien, sea $n$ el numero de vueltas que da la masa M en un tiempo $t$, tendremos que $n$ vendr'a dado por

$$n=\frac{t}{T_i - T_f}$$

donde $T_i$ es el periodo cuando la masa M gira con un radio $\rho_o$, y $T_f$ el periodo cuando gira con la mitad de radio inicial. Luego $T_i$ y $T_f$ vendran dados por:

$$T_i=\frac{2\pi}{\omega_i}\Rightarrow T_i=\frac{2\pi\cdot \rho_o}{Vo}$$

donde $\displaystyle \omega_i=\frac{Vo}{\rho_o}$. Ahora bien $T_f$ ser'a:

$$T_f=\frac{2\pi}{\omega_f}\Rightarrow T_f=\frac{\pi\cdot \rho_o}{2Vo}$$

con $\displaystyle \omega_f=\frac{4Vo}{\rho_o}$

Reemplazando la ecuacion (5) y (6) en (4), se tiene que:

$$\displaystyle n=\frac{t}{\frac{2\pi\cdot \rho_o}{Vo} - \frac{\pi\cdot \rho_o}{2Vo}}\Rightarrow n=\frac{t}{\frac{3\pi\cdot \rho_o}{2Vo}}\Rightarrow n=\frac{t\cdot 2V_o}{3\pi \rho_o}$$

Luego solo nos falta saber cu'anto es t. Sabemos que por causa de la fuerza Fo, la masa m baja con velocidad $V_1$, entonces describe un movimiento rectilineo uniforme, por lo que el tiempo $t$, es el tiempo en que la masa m se demora en recorrer (o mejor dicho bajar) una distancia $\displaystyle \frac{\rho_o}{2}$. Entonces se tiene que:

$$\displaystyle t=\frac{\rho_o}{2V_1}$$

Reemplazando la ecuacion (8) en (7), se obtiene que el numero de vueltas es:

$$\displaystyle n=\frac{V_o}{3\pi V_1}$$

.

c) Tenemos la velocidad cuando la masa M gira en torno a la mitad del radio. Luego sabemos por la 3era ley de Newton que :

$$\displaystyle F_o+mg=F_{c2}\Rightarrow F_o +mg=Ma_{t2}$$

en este caso $\displaystyle a_{t2}=\frac{V_f^2}{\frac{\rho_o}{2}}$, luego la ecuacion anterior queda:

$$\Rightarrow F_o +mg=\frac{Mv_f^2}{\frac{\rho_o}{2}}\Rightarrow F_o +mg=\frac{2Mv_f^2}{\rho_o}$$

Luego $F_o$ es:

$$\Rightarrow F_o =\frac{2Mv_f^2}{\rho_o}-mg$$

Por lo que reemplazando la ecuacion (3) en (12) se obtiene :

$$\Rightarrow F_o =\frac{8Mv_o^2}{\rho_o}-mg$$

Espero est'e bien mi razonamiento.
Acepto todo tipo de criticas

Adioss

PD: falto reemplazar $V_o$ que se calculo en a) ,en los resultados finales de la parte B) y C), pero los dejee sin reemplazar par ahorrar tiempo

[Nachop]

Re: Propuesto de Mecánica

Buen desarrollo! ocupaste herramientas muy básicas y eso es muy bueno! Megustaría eso sí que explicases un poco más por qué funciona tu fórmula (4)

Mi solución la postearé cuando me sobre algo de tiempo... aunque ocupé coordenadas polares y en un momento integré, sale relativamente corta

P.D: tú también estás en fmat xD

[dany_nash]

Re: Propuesto de Mecánica

Buen desarrollo! ocupaste herramientas muy básicas y eso es muy bueno! Megustaría eso sí que explicases un poco más por qué funciona tu fórmula (4)

Mi solución la postearé cuando me sobre algo de tiempo... aunque ocupé coordenadas polares y en un momento integré, sale relativamente corta

P.D: tú también estás en fmat xD

jajaj sii si tambi'en pense en integrar, pero al final me fui a la segura con metodos simples.

Explicar'e el porque de la formula (4), o al menos dir'e como lo pense.

Sabemos que el numero de vueltas $n$ se expresa como

$$\displaystyle n=\frac{t}{T}$$

donde T es el periodo.

Veamos si cierto, si $t=T$, entonces es evidente que el n'umero de vueltas es 1, lo cual es cierto.
si $t=2T$, debiese dar dos vueltas, reemplazando este valor en la formula anterior se ve claramente que $n=2$, y asi sucesivamente podemos ver que la expresion escrita anteriormente es valida.

ahora bien, el periodo $T$ en este caso cambia en función del tiempo, ya que el radio cambia a medida que baja, Luego para conocer el periodo desde que la masa M est'a girando a un radio $\rho_o$ hasta un radio $\frac{\rho_o}{2}$, debemos integrar el periodo en cada disminución del radio, Ahora bien. sea dT, el per\'iodo en cada instante. luego el periodo de todo el tramo ser'a:

$$T = \int_{t_i}^{t_f} dT$$

luego por el Teorema fundamental del c'aculo se tendr'a que :

$$T = \int_{t_i}^{t_f} dT=T(t_f)-T(t_i)$$

donde $T(t_f)$ corresponde al periodo cuando la masa M est'a girando a un radio $\displaystyle \frac{\rho_o}{2}$, y $T(t_i)$ corresponde al momento en que la masa M gira con un radio $\displaystyle \rho_o$.

Luego la formula se reduce a :

$$\displaystyle n=\frac{t}{T_f-T_i}$$

Espero se haya entendido.

Bueno, eso paso por mi cabeza cuando puse la ecuacion (4) xD

creo que ahora todo bien

PD: sii soy de fmat xD

[Nachop]

Re: Propuesto de Mecánica

Lo prometido es deuda:

Para la primera parte los DCL en polares son:

$<br /> \begin{gathered}<br /> \hat \rho : - M\rho _0 \dot \phi ^2 = - T \hfill \\<br /> \hat k:T - mg = 0 \hfill \\ <br /> \end{gathered} <br />$

Juntando estas dos ecuaciones:$<br /> M\rho _0 \dot \phi ^2 = mg \Rightarrow \rho _0 ^2 \dot \phi ^2 = v_0 ^2 = \dfrac{{\rho _0 mg}}<br /> {M}<br />$

Ahora vamos con lo serio, de nuevo los DCL en polares son:

$<br /> \begin{gathered}<br /> \hat \rho : - M\rho _0 \dot \phi ^2 = - T \hfill \\<br /> \hat \phi :M\left( {2\dot \rho \dot \phi + \rho \ddot \phi } \right) = 0 \Rightarrow \rho ^2 \dot \phi = ctte \hfill \\<br /> \hat k:T - mg - F_0 = 0 \hfill \\ <br /> \end{gathered} <br />$

El tiempo buscado cumple: Si $<br /> \rho \left( t \right) = \rho _0 - v_1 t \Rightarrow \rho \left( {t*} \right) = \frac{{\rho _0 }}<br /> {2} \Rightarrow t* = \dfrac{{\rho _0 }}<br /> {{2v_1 }}<br />$

Como la ecuación de phi, se tiene en particular: (*) $<br /> \rho ^2 \dot \phi = \rho _0 ^2 \dot \phi _0 \Leftrightarrow \dot \phi \left( t \right) = \dfrac{{\rho _0 ^2 \dot \phi _0 }}<br /> {{\left( {\rho _0 - v_1 t} \right)^2 }}<br />$

Integrando esto, evaluando en t*, nos dará todos los grados que recorrió en ese tiempo, entonce si lo divimos por 2 pi, obtenemos lo pedido

Para la última parte, ocupamos (*), reordenando un poco:

$<br /> \rho \dot \phi ^2 = \dfrac{{\rho _0 ^4 \dot \phi_0 ^2 }}<br /> {{\rho ^3 }}<br />$

Así en la ecuación de rho, encontramos la función en funcion del tiempo, y esto lo reemplazamos en la ecuación de k y se obtiene:

$<br /> F_0 \left( t \right) = \dfrac{{M\rho _0 ^4 \dot \phi_0 ^2 }}<br /> {{\left( {\rho _0 - v_1 t} \right)^3 }} - mg<br />$

Y evaluando en t*, estamos listos