Otras carreras Función que me garantiza equilibrio

[Facaz]

Buenas, necesito ayuda urgente con esto:

Considere un alambre descripto por la ecuación $y=f(x)$. Suponga que sobre él puede desliar una masa $m$ sin rozamiento, ¿Qué forma debe tener el alambre para que al hacerlo girar alrededor del eje vertical (eje y) con velocidad angular constante $\omega$ la masa que desliza sobre él se encuentre en equilibrio en cualquier punto?

La respuesta que dan es

$y(x)=\frac{\omega^{2}}{2g}x^{2} + c$

Pero en mi resolución no llego a eso... Tomando los ejes cartesianos en su ubicacion habitual tengo que:

$x: N\cos\left(\dst\frac{dy}{dx}\right)=mg$

$y: N\sin\left(\dst\frac{dy}{dx}\right)=m\dst\frac{\omega^{2}}{gx}$

Trabajando un poco llego a que:

$y=\displaystyle\int \tan^{-1}\left(\dst\frac{\omega^{2}}{gx}\right)dx$

que ni me gaste en resolver porqe no llegaba al mismo resultado

Agradecería que me lo respondan hoy porqe lo necesito para el viernes y mañana no voy a poder verlo.

Muchas gracias

[ser humano]

Re: Función que me garantiza equilibrio

Hola.

En principio, lo que se puede notar es que la fuerza de contacto en un lugar del alambre es siempre perpendicular a la recta tangente de dicho punto. Siendo así y teniendo en cuenta que las rectas perpendiculares tienen una pendiente opuesta e inversa, ésta recta perpendicular sera:

$r(x)= \dfrac {-x} {f '(a)} + b$
Ya que por definicion de derivada, ésta es la pendiente de la recta tangente del punto tratado.
Esto es válido para cualquier punto $a$ del alambre (valor de las abscisas).
Hallemos $b$, sabiendo que $f(a)=r(a)$:

$\dfrac{-a}{f'(a)} + b = f(a)$
Entonces:

$b= f(a) + \dfrac a {f'(a)}$
por lo tanto:

$r(x)=\dfrac {-x}{f'(a)} + \dfrac a {f'(a)} + f(a) = \dfrac {a-x}{f'(a)} + f(a)$

Sea cual fuese el punto del alambre, la fuerza de contacto es la misma. Entonces sobre la recta perpendicular que acabamos de hallar, tomamos un vector que vaya desde $(a; r(a)$ (que es donde hace contacto el alambre) hasta un punto $(b;r(b))$ de manera tal que el modulo de este vector sea el de la fuerza de contacto, es decir:

$(r(b)-r(a))^2 + (a-b)^2={F_c}^2$

Como $r(a)=f(a)$:

${F_c}^2= (r(b)-f(a))^2 + (b-a)^2= (\dfrac {a-b}{f'(a)} + f(a) - f(a) )^2 + (a-b)^2 = (\dfrac {a-b}{f'(a)})^2 + (a-b)^2$

De aqui se puede notar que el valor de la fuerza de contacto en las abscisas es $(a-b)$, y en las ordenadas es $\dfrac {a-b}{f'(a)}$ .

Si la particula esta en equilibrio en cualquier punto, entonces las fuerzas en la direccion de las ordenadas se cancelan, y las fuerzas en el eje de las abscisas es el que produce que la particula gire junto con el alambre, es decir que son las que le proporcionan la aceleracion centripeta.
De esta manera, para para las fuerzas en las ordenadas (que son el peso y la fuerza de contacto en esa direccion) planteamos:

$mg - \dfrac {a-b}{f'(a)} = 0$

entonces:

$a-b = mg f'(a)$

Con este dato, pasamos a plantear las ecuaciones para las fuerzas en las abscisas, en donde la aceleracion es la centripeta:

$a-b=mg f'(a)= m {\omega}^2r$

Donde $r$ seria el radio de la circunferencia que la particula transcribe en su rotacion. Es notorio que este radio se trata del valor de $a$ elegido, por lo tanto:

$g f'(a) = {\omega}^2 a$ Enonces :

$f'(a)= \dfrac{{\omega}^2 a} g$

Hay que notar, que la variable tomada en las abscisas para la funcion $f$ es $a$ (lo que es evidente porque $a$ es un punto generico de la funcion en dicha direccion)

$f(a)= \int {\dfrac{{\omega}^2 a} g} = \dfrac {{\omega}^2} g \int {a} = \dfrac {{\omega}^2 a^2}{2g} + C$

[Al2000]

Re: Función que me garantiza equilibrio

Buenas, necesito ayuda urgente con esto:

Considere un alambre descripto por la ecuación $y=f(x)$. Suponga que sobre él puede desliar una masa $m$ sin rozamiento, ¿Qué forma debe tener el alambre para que al hacerlo girar alrededor del eje vertical (eje y) con velocidad angular constante $\omega$ la masa que desliza sobre él se encuentre en equilibrio en cualquier punto?

La respuesta que dan es

$y(x)=\frac{\omega^{2}}{2g}x^{2} + c$

Pero en mi resolución no llego a eso... Tomando los ejes cartesianos en su ubicacion habitual tengo que:

$x: N\cos\left(\dst\frac{dy}{dx}\right)=mg$

$y: N\sin\left(\dst\frac{dy}{dx}\right)=m\dst\frac{\omega^{2}}{gx}$

Trabajando un poco llego a que:

$y=\displaystyle\int \tan^{-1}\left(\dst\frac{\omega^{2}}{gx}\right)dx$

que ni me gaste en resolver porqe no llegaba al mismo resultado

...

De nuevo te respondo por cortesía, puesto que se que ya no te interesa.

Yo veo tres errores en tu planteamiento. El primero sería que invertiste los ejes y pusiste el peso en $x$ y la fuerza centrípeta en $y$. Segundo, que el ángulo no es $\dst \frac {dy}{dx}$ sino $\dst \tan^{-1} \left(\frac {dy}{dx}\right)$. Y por último tienes un error en la fuerza centrípeta... no se lo que hiciste allí, la expresión que escribiste no es ni siquiera dimensionalmente correcta.

Creo interpretar el espíritu de lo que hiciste de esta manera: llamando $\theta$ al ángulo que forma la tangente a la curva, el equilibrio de fuerzas daría

- Fuerzas en X: $\dst N \, \mathrm {sen} \, \theta = m \omega ^2 r = m \omega ^2 x$
- Fuerzas en Y: $\dst N \cos \theta = m g$

Dividiendo miembro a miembro

$\dst \tan \theta = \frac {\omega ^2} g x \quad \Rightarrow \quad \frac {dy}{dx} = \frac {\omega ^2} g x$

Y de aquí sale de inmediato la solución que pusiste arriba.

Saludos,

Al