Secundaria Ejercicio donámica, mejorado

[angel relativamente]

Hola, verán un usuario planteó un problema de dinámica:
http://forum.lawebdefisica.com/threa...cicio-dinamica

Que resolví mediante energías. Pero me planteé una variante del problema para hacerlo un poco más dificil:

una masa de 5 kg
se deja caer por un plano inclinado arriba del plano (a) y abajo (B)al acabar en plano en (B) hay una continuacion que es una linea horizontal y acaba en un punto (c) esa es la explicacion del dibujo para hacerse una idea

datos que me dan AB=80m. ,, inclinacion del plano inclinado :30º ,,coeficiente de rozamiento entre a-b =0.1 y entre b-c =0.2

me piden hallar la distancia BC para que la masa que dejamos caer desde A se pare en C

Es exáctamente el mismo problema, salvo que el coeficiente de rozamiento dinámico en la rampa es de 0.1 en lugar de 0

Allá va mi intento: (No garantizo resultados correctos ya que excede un poco mi nivel):

Los valores conocidos son: $d{\overline{AB}}$ , $\alpha$ , $\mu{\overline{AB}}$ , $\mu{\overline{BC}}$ , y $m$ .


Sabemos que la fuerza con la que cae el bloque por la rampa (ignorando la de rozamiento), es de:

$$\displaystyle F_{CA}=mg\cdot \sin(\alpha)$$

Y la fuerza de rozamiento en el tramo $\overline{AB}$:

$$F_{roz}\overline{AB}= \mu{\overline{AB}}\cdot N=\mu{\overline{AB}}\cdot mg \cdot \cos(\alpha)$$

Por tanto, la fuerza resultante que actúa sobre ese bloque es "la fuerza con la que cae" menos la fuerza de rozamiento.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Por tanto la aceleración con la que cae ($a_{res}\overline{AB}$) es igual:

$$a_{res}\overline{AB} = g(\sin(\alpha)- \mu{\overline{AB}}\cdot \cos(\alpha))<br />$$

Ahora vamos a calcular el tiempo que tarda en recorrer la rampa:

$$d{\overline{AB}}=\frac{1}{2}\cdot g{t_1}^2\cdot (\sin(\alpha)- \mu{\overline{AB}}\cdot \cos(\alpha))\;\;\; ; \;\;\; \boxed{t_1=\sqrt{\frac{2d{\overline{AB}}}{g(\sin(\alpha)- \mu{\overline{AB}}\cdot \cos(\alpha))}}}$$

Una vez conocido el valor de $t$ , procedemos a calcular la velocidad final con la que llega al punto B:

$$V_B=gt(\sin(\alpha)- \mu{\overline{AB}}\cdot \cos(\alpha))$$

$$V_B=g(\sin(\alpha)- \mu{\overline{AB}}\cdot \cos(\alpha))\cdot \sqrt{\frac{2d{\overline{AB}}}{g(\sin(\alpha)- \mu{\overline{AB}}\cdot \cos(\alpha))}}$$

$$V_B=\boxed{\sqrt{2d{\overline{AB}}g(\sin(\alpha)- \mu{\overline{AB}}\cdot \cos(\alpha))}}$$

Ahora vamos a empezar a analizar el movimiento una vez llega a la base. La fuerza resultante que actúa ahora sobre el bloque es igual a la fuerza de rozamiento.(El simbolo - significa que la fuerza es contraria al mov)

$$F_{res}\overline{BC}=\boxed{F_{roz}\overline{BC}=}\mu\overline{BC}\cdot N=\boxed{ -\mu\overline{BC}\cdot mg}$$

Por tanto, la aceleración con la cual el rozamiento le frena es:

$$<br /> a_{roz}\overline{BC}=-g\mu\overline{BC}$$

Atendiendo a la formula $V_f=V_0+at$ :

Sustituímos y nos queda:

$$\sqrt{2d{\overline{AB}}g(\sin(\alpha)- \mu{\overline{AB}}\cdot \cos(\alpha))}-g\mu\overline{BC}\cdot t_2=0$$

Despejamos $t_2$:

$$\boxed{t_2=\frac{\sqrt{2d{\overline{AB}}g(\sin(\alpha)- \mu{\overline{AB}}\cdot \cos(\alpha))}}{g\mu\overline{BC}}}$$

Una vez conocido el tiempo que tarda en frenarse, procedemos a hallar la distancia que recorre para ello.

$$\boxed{\boxed{d\overline{BC}=\frac{d\overline{AB}(\sin(\alpha)- \mu{\overline{AB}}\cdot \cos(\alpha))}{\mu\overline{BC}}}}$$

Ahora, sustituyendo los valores nos queda:

$$<br /> d\overline{BC}=\frac{80(\sin(30)- 0.1\cdot \cos(30))}{0.2}\approx 165,36\; m<br />$$

Creo que también se puede hacer por energías, y parece que resulta más fácil. Pero me gustaría saber si mi resultado es el correcto.

Saludos!! y muchas gracia

[arreldepi]

Re: Ejercicio donámica, mejorado

A simple vista no parece que haya ningún error, pero resolver estos ejercicios por dinámica es mortal :P

[angel relativamente]

Re: Ejercicio donámica, mejorado

See es larguillo por dinámica.
Por cierto, ¿ alguien me dice como cambiar en enunciado?
Se me colo una "o" por ahí

Saludos y Gracias!!

[escarabajo]

Re: Ejercicio donámica, mejorado

Hola.

¿Te resulta coherente que, respecto al resultado del problema del otro hilo, la distancia BC sea menor? ¿Por qué si?¿Por qué no?

Saludos.

[angel relativamente]

Re: Ejercicio donámica, mejorado

Jaja. Sí, me resulta coherente, ya que en la bajada, al haber rozamiento, llega con menor velocidad a la base, por tanto tardará menor tiempo en detenerse y recorrerá una menor distancia hasta frenarse.

Saludos!!

[Al2000]

Re: Ejercicio donámica, mejorado

...
Creo que también se puede hacer por energías, y parece que resulta más fácil.
...

Sin querer desmeritar todo lo que hiciste, puedes ser mucho mas eficiente en tu análisis si usas la conocida fórmula

$$v_f^2 = v_0^2 \pm 2\, a\, d$$

Ciertamente el uso de esta expresión es el equivalente de resolver el problema por conservación de la energía pero es una fórmula bien conocida de cinemática que obtienes cuando trabajas algebráicamente para eliminar el tiempo entre la fórmula de la velocidad y la del desplazamiento.

Una observación sobre formalismo de la notación: cuando pones una función trigonométrica con el valor mumérico de un ángulo que no está expresado en radianes, siempre se coloca en que sistema está medido (cos 30°, por ejemplo) puesto que se asume que el ángulo de una función trigonométrica está dado en radianes.

Saludos,

Al

[angel relativamente]

Re: Ejercicio donámica, mejorado

Sin querer desmeritar todo lo que hiciste, puedes ser mucho mas eficiente en tu análisis si usas la conocida fórmula

$$v_f^2 = v_0^2 \pm 2\, a\, d$$

Pues la verdad esque aun no conocía tal conocida formula

Una observación sobre formalismo de la notación: cuando pones una función trigonométrica con el valor mumérico de un ángulo que no está expresado en radianes, siempre se coloca en que sistema está medido (cos 30°, por ejemplo) puesto que se asume que el ángulo de una función trigonométrica está dado en radianes.

Ok, muchas gracias por perfeccionarme

Saludos!!

[ser humano]

Re: Ejercicio donámica, mejorado

Pues la verdad esque aun no conocía tal conocida formula

Yo tampoco, pero se puede llegar facilemente a ella a partir de las nociones cinematicas:

$v= \int a dt = at + C$

Para calcular $C$ implementamos la formula en el tiempo cero, notando que es la velocidad inicial. Entonces:

$$v=at + v_0$$

Tambien sabiendo que :

$r= \int v dt$, de (1) :

$r= \int (at + v_0) dt = \dfrac 1 2 at^2 + vt + C$, si se reemplaza en el tiempo cero, se nota que C es la posicion inicial.
entonces
$r= \dfrac 1 2 at^2 + vt + r_0$

De (1): $t= \dfrac {v-v_0}{a}$

Sustituyendo en lo anterior:

$r= r_0 + v (\dfrac {v-v_0}{a}) + \dfrac a 2 (\dfrac {v-v_0}{a})^2$

la posicion final menos la inicial es la distancia recorrida, es decir que $r-r_0 =d$

De alli solo se resuleve y se sustituye y llegas a que $v^2={v_0}^2 + 2ad$

Saludos