1r ciclo Momento inercia placa rectangular

[gunbladecat]

Bueno pues tengo que calcular el momento de inercia de una placa rectangular de masa M y de lados a y b respecto a una diagonal.

Lo que yo he hecho ha sido dividir la placa en los dos triangulos que deja esa diagonal para calcular el momento de inercia del triangulo y multiplicar por dos.

La base de ese triangulo y su altura me han dado

$B=\sqrt{a^2+b^2}$ y $H=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$

luego he integrado el momento de inercia como sigue:

$I_{triangulo}=\int{h^2dm}=\int{h^2\frac{MBdh}{2ab}$

sin embargo al realizar la integral y multiplicar por dos me da que $I_{total}=\frac{Ma^2b^2}{3(a^2+b^2)}$

cuando creo que me deberia dar justo la mitad. alguien sabe donde esta el error?

muchas gracias!

[Al2000]

Re: Momento inercia placa rectangular

Bueno pues tengo que calcular el momento de inercia de una placa rectangular de masa M y de lados a y b respecto a una diagonal.

Lo que yo he hecho ha sido dividir la placa en los dos triangulos que deja esa diagonal para calcular el momento de inercia del triangulo y multiplicar por dos.

La base de ese triangulo y su altura me han dado

$B=\sqrt{a^2+b^2}$ y $H=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$

luego he integrado el momento de inercia como sigue:

$I_{triangulo}=\int{h^2dm}=\int{h^2\frac{MBdh}{2ab}$

sin embargo al realizar la integral y multiplicar por dos me da que $I_{total}=\frac{Ma^2b^2}{3(a^2+b^2)}$

cuando creo que me deberia dar justo la mitad. alguien sabe donde esta el error?

muchas gracias!

La integral $\dst \int h^2\, dm$ solo tiene sentido si $dm$ es una partícula y (en este caso) la integral es doble. Sin embargo puedes resolver una integral sencilla usando algo parecido a lo que planteaste si divides el triángulo en bandas horizontales (paralelas a la base) de altura infinitesimal $dh$ y sumas los momentos de inercia de estos rectángulos de ancho variable respecto a un eje externo que dista una distancia $h$. Tanto en el primer caso como en el segundo deberás determinar la densidad de masa para obtener el diferencial de masa a partir del diferencial de área que consideres.

Pienso para mi que lo mas sencillo sería plantear la integral doble.

Saludos,

Al

[gunbladecat]

Re: Momento inercia placa rectangular

y para la integral doble, tenemos que la densidad de masa es $\frac{M}{ab}$ pero que diferencial de superficie cogemos? $\dd c \dd h$ e integramos c de B a 0 y h de 0 a H?

entonces la integral quedaria $\int_B^0\int_0^H h^2 \frac{M}{ab}\dd c \dd h$?

muchas gracias.

[Al2000]

Re: Momento inercia placa rectangular

y para la integral doble, tenemos que la densidad de masa es $\frac{M}{ab}$ pero que diferencial de superficie cogemos? $\dd c \dd h$ e integramos c de B a 0 y h de 0 a H?

entonces la integral quedaria $\int_B^0\int_0^H h^2 \frac{M}{ab}\dd c \dd h$?
...

Puede hacerse de varias maneras. Te pongo dos, la mas directa primero, la mas simple después.

Considera el triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la recta $\dst (p,0) - (0,q)$. El momento de inercia respecto al eje $x$ sería

$\dst I = \int y^2\,dm = \sigma \int_0^p \int _0^{\dst p-\frac p q y} y^2 dx\,dy = \sigma \int_0^p y^2 \left(p - \frac p q y \right)\,dy = \sigma \left(\frac {p q^3} 3 - \frac {p q^3} 4\right ) = \frac {\sigma p q^3}{12}$

$\dst I = \frac 1 2 \sigma p q \cdot \frac {q^2} 6 = \boxed {\frac 1 6 m q^2}$

De este resultado no es difícil generalizar a un triángulo de cualquier forma que el momento de inercia respecto a la base es $I = \frac 1 6 m h^2$ siendo $h$ la altura del triángulo.

Un cálculo mas simple puede hacerse si se parte de un rectángulo

$\dst I = \int y^2\,dm = \sigma \int_0^p \int _0^q y^2 dx\,dy = \sigma \left(\frac {p q^3} 3\right ) = \frac 1 3 m q^2$

y se usan argumentos de simetría para justificar que el momento de inercia de la mitad en diagonal es la mitad del valor conseguido.

Saludos,

Al

[gunbladecat]

Re: Momento inercia placa rectangular

Bueno me quedo con la primera opción, me gusta más. Solo un par de cositas:

1) El hecho de que podamos generalizar a cualquier triángulo es porque solo nos interesa la distancia de cada elemento de masa al eje de revolución, no? quiero decir que no importa en que punto del eje x (en nuestro caso) se encuentra sino solo su distancia en y?

2) creo que en la integral doble el límite superior de la primera es q en vez de p, supongo que sera un error de tipeo ya que luego trabajas con él considerando que es q...

3) entonces si unimos dos triángulos iguales por la base de forma que quede un rectángulo, el momento de inercia de ese rectángulo por la diagonal (que corresponde a la base del triángulo inicial) es justo el doble que el del triángulo, es decir,$I=\frac{1}{3}mh^2$, no?


muchas gracias!!

[Al2000]

Re: Momento inercia placa rectangular

...
1) El hecho de que podamos generalizar a cualquier triángulo es porque solo nos interesa la distancia de cada elemento de masa al eje de revolución, no? quiero decir que no importa en que punto del eje x (en nuestro caso) se encuentra sino solo su distancia en y?
...

Supongo que podría ponerse en esos términos.

...
2) creo que en la integral doble el límite superior de la primera es q en vez de p, supongo que sera un error de tipeo ya que luego trabajas con él considerando que es q...

Correcto, es un error debido a que yo usé otras variables y las cambié al momento de poner el mensaje.

...
3) entonces si unimos dos triángulos iguales por la base de forma que quede un rectángulo, el momento de inercia de ese rectángulo por la diagonal (que corresponde a la base del triángulo inicial) es justo el doble que el del triángulo, es decir,$I=\frac{1}{3}mh^2$, no?
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Correcto, sería justo lo opuesto a lo que te dije como segunda opción.

Saludos,

Al

[dany_nash]

Re: Momento inercia placa rectangular

Para que se pueda aprender un pco m'as de momentos de inercia este link en mis tiempo que estudiaba momentos de inercia me aclaro bastante algunos conceptos, lo dejo de todas formas, no estaria malo echarle un vistazo xD http://www.uclm.es/profesorado/ajbar..._inercia07.pdf

[carmelo]

Re: Momento inercia placa rectangular

Hola:
Considera el triángulo de la figura.

Relaciones preeliminares:
Diagonal: $d=\sqrt{a^2+b^2}$
Altura: $h=\displaystyle\frac{ab}{d}$
Recta r1:$y=\displaystyle\frac{a}{b}x$
Recta r2:$y=d-\displaystyle\frac{b}{a}x$
Con lo que el momento de inercia del triángulo respecto al eje $y$ sería:
$I=\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{ab}{d}}\displaystyle\int_{\displaystyle\frac{a}{b}x}^{\displaystyle{d-\frac{b}{a}x}}}{x^2 \sigma dy dx}$ donde $\sigma$ es la densidad superficial de masa.
Resolviendo la integral (No es demasiado complicado) se obtiene:
$I_{\triangle}=\displaystyle\frac{\sigma}{12} \displaystyle\frac{a^3b^3}{a^2+b^2}$ y el momento de inercia del rectangulo es el doble como ya se ha dicho.
O sea
$I=\displaystyle\frac{\sigma}{6} \displaystyle\frac{a^3b^3}{a^2+b^2}=\displaystyle\frac{M}{6}\displaystyle\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}$

Saludos
Carmelo