Secundaria Sobre resortes serie y paralelo

[lindtaylor]

En el resorte en serie la ecuacion que a mi me queda es:

$F_r-mg=m\ddot{x}$

con $F_r$: fuerza de los resortes en serie.


Y en los resortes en paralelo es:

$2F_r-mg=m\ddot{x}$

Estoy bien o no? :s, luego con esas ecuaciones procederia a resolverlas ( si es que estan correctas) , aunque no se como resolver ecuaciones de la forma $A\ddot{x}+Bx=C$

saludos! 0.0

[GNzcuber]

Re: Sobre resortes serie y paralelo

Hola,

Bueno, para hacer saber la frecuencia de oscilación lo mejor que puedes hacer es encontrar el resorte equivalente, es decir la equivalencia entre $\dst k$,$\dst k_1$ y $\dst k_2$. Y es muy sencillo.

Para el cas que está en serie suponemos un resorte equivalente, es decir, con una k equivalente a las anteriores. Y por tanto tendremos $\dst F=k\cdot \Delta x$.

Ahora bien, sabemos que al colocar la masa, el sistema tendrá un peso, pero como los resortes no se sueltan significa que donde se unen el resorte de $\dst k_2$ ejerce una fuerza hacia abajo y el resorte superior ejerce la misma fuerza hacia arriba, estas fuerzas son iguales al peso de la masa, es decir $\dst F_1=F_2=P$. Entonces los resortes se estiran una distancia que lógicamente debe ser la suma de las longitudes que se alargan en cada resorte $\dst \Delta x=\Delta x_1 + \Delta x_2$.

$$\dst \left.\begin{aligned}F=k_{eq}\cdot\Delta x\\F_1=k_1\Delta x_1\rightarrow \Delta x_1=\frac{F_1}{k_1}\\F_2=k_2\Delta x_2\rightarrow \Delta x_2=\frac{F_2}{k_2}\\\Delta x=\Delta x_1+\Delta x_2\end{aligned}\right\}\ \Rightarrow \left.\begin{aligned}\frac{F}{k}=\frac{F_1}{k_1}+\frac{F_2}{k_2}\\F=F_1=F_2\end{aligned}\right\}\ \frac1{k}=\frac1{k_1}+\frac1{k_2}$$

Luego, sabes $\dst \omega=\sqrt{\frac{k_{eq}}{m}}$

Cuando, están en paralelo, el razonamiento es análogo, lo haré igualmente para que quede todo junto.

Ahora la fuerza que ejercen los resortes no es la misma, y su suma es el peso de la masa, pero sí se desplazan por igual:

$\dst \left.\begin{aligned}F=k_{eq}\cdot \Delta x\\F_1=k_1\Delta x_1\\F_2=k_2\Delta x_2\\F=F_1+F_2\end{aligned}\right\}\ \Rightarrow\left.\begin{aligned}k_{eq}\Delta x=k_1\Delta x_1+k_2\Delta x_2\\ \Delta x=\Delta x_1=\Delta x_2\end{aligned}\right\}\ k_{eq}=k_1+k_2$

Y nuevamente la frecuencia propia del sistema lo sacas con la equación anterior.

¡Saludos!

[Entro]

Re: Sobre resortes serie y paralelo

Me ha hecho gracia ver este hilo porque yo siempre tenía problemas para acordarme de como se componían resortes para encontrar la constante elástica equivalente en serie o en paralelo. Hasta que me dí cuenta de un truco.

En general la gente tiene bastante claro como calcular resistencias electricas en serie o en paralelo, igual que capacidades equivalentes de condensadores en serie o paralelo (basicamente van al reves, suma o suma de inversos según como toque)

Resistencia --- serie ---- suma
Resistencia --- paralelo --- suma de inversos

Capacidad --- serie ---- suma de inversos
Capacidad --- paralelo ---- suma

¿Y la constante elástica?

Pues basta pensar los siguiente:

Resistencia ---- disipa energía
Condensador --- acumula energía

Muelle ---- acumula energía así que su comportamiento es similar al del condensador.

Este argumento funciona siempre y está justificado por una hermosa simetría de comportamiento de los sistemas bajo consideraciones energéticas. Me parece una regla muy buena para acodarte rápidamente (solo es para eso, lo bueno es derivarlo) y es extrapolable a todo tipo de sistemas que se puedan poner en serie o paralelo.

Es una chorrada, pero cuando me dí cuenta de eso me gustó mucho, y de hecho cuando tengo que explicar esto de serie y paralelo siempre cuento esta tontería (pero es muy útil )

[lindtaylor]

Re: Sobre resortes serie y paralelo

Hola,

Bueno, para hacer saber la frecuencia de oscilación lo mejor que puedes hacer es encontrar el resorte equivalente, es decir la equivalencia entre $\dst k$,$\dst k_1$ y $\dst k_2$. Y es muy sencillo.

Para el cas que está en serie suponemos un resorte equivalente, es decir, con una k equivalente a las anteriores. Y por tanto tendremos $\dst F=k\cdot \Delta x$.

Ahora bien, sabemos que al colocar la masa, el sistema tendrá un peso, pero como los resortes no se sueltan significa que donde se unen el resorte de $\dst k_2$ ejerce una fuerza hacia abajo y el resorte superior ejerce la misma fuerza hacia arriba, estas fuerzas son iguales al peso de la masa, es decir $\dst F_1=F_2=P$. Entonces los resortes se estiran una distancia que lógicamente debe ser la suma de las longitudes que se alargan en cada resorte $\dst \Delta x=\Delta x_1 + \Delta x_2$.

$$\dst \left.\begin{aligned}F=k_{eq}\cdot\Delta x\\F_1=k_1\Delta x_1\rightarrow \Delta x_1=\frac{F_1}{k_1}\\F_2=k_2\Delta x_2\rightarrow \Delta x_2=\frac{F_2}{k_2}\\\Delta x=\Delta x_1+\Delta x_2\end{aligned}\right\}\ \Rightarrow \left.\begin{aligned}\frac{F}{k}=\frac{F_1}{k_1}+\frac{F_2}{k_2}\\F=F_1=F_2\end{aligned}\right\}\ \frac1{k}=\frac1{k_1}+\frac1{k_2}$$

Luego, sabes $\dst \omega=\sqrt{\frac{k_{eq}}{m}}$

Cuando, están en paralelo, el razonamiento es análogo, lo haré igualmente para que quede todo junto.

Ahora la fuerza que ejercen los resortes no es la misma, y su suma es el peso de la masa, pero sí se desplazan por igual:

$\dst \left.\begin{aligned}F=k_{eq}\cdot \Delta x\\F_1=k_1\Delta x_1\\F_2=k_2\Delta x_2\\F=F_1+F_2\end{aligned}\right\}\ \Rightarrow\left.\begin{aligned}k_{eq}\Delta x=k_1\Delta x_1+k_2\Delta x_2\\ \Delta x=\Delta x_1=\Delta x_2\end{aligned}\right\}\ k_{eq}=k_1+k_2$

Y nuevamente la frecuencia propia del sistema lo sacas con la equación anterior.

¡Saludos!

GRacias ! lo he entendido a la perfeccion, pero supongamos que yo quisiera la ecuacion del oscilador armonico, entonces yo tendria en el caso de los resortes en serie que:

$m\ddot{x}=k_{eq}x-mg<br />$
y entonces no se como podria "eliminar" el mg para dejar esta ecuacion en la forma del oscilador armonico.

Esto me surgio al ver esta pagina http://laplace.us.es/wiki/index.php/...de_dos_muelles

en la parte 3 sale.

Donde sale como se deja en la forma de la ecuacion del oscilador armonico, para resortes en paralelo, pero en serie no se como se podria hacer.

saludos!

[Al2000]

Re: Sobre resortes serie y paralelo

...
Este argumento funciona siempre y está justificado por una hermosa simetría de comportamiento de los sistemas bajo consideraciones energéticas. Me parece una regla muy buena para acodarte rápidamente (solo es para eso, lo bueno es derivarlo) y es extrapolable a todo tipo de sistemas que se puedan poner en serie o paralelo.

Es una chorrada, pero cuando me dí cuenta de eso me gustó mucho, y de hecho cuando tengo que explicar esto de serie y paralelo siempre cuento esta tontería (pero es muy útil )

Me hiciste recordar una tira cómica de Olafo. Olafo está con su fiel ayudante Chiripa tomando sendas cervezas en la taberna cuando pasa un monje que le da un afectuoso consejo mientras se aleja, y se sucede este diálogo:

- Monje: ¡Moderación, amigo Olafo!
- Chiripa: ¿Es buena la moderación, Olafo?
- Olafo: Si no te extralimitas...

Tu útil truco para recordar depende de una decisión mas o menos arbitraria de como hemos definido las constantes de proporcionalidad que usamos. De esa manera si alguien trabaja con conductancias en lugar de resistencias conseguirá que las fórmulas son exactamente las opuestas. La combinación de inductancias, aún siendo dispositivos que almacenan energía, sigue las mismas reglas que la resistencia.

Saludos,

Al

[Entro]

Re: Sobre resortes serie y paralelo

No estoy de acuerdo en eso de las constantes, la razón es más fundamental. Por ejemplo, siguiendo tu comentario de las inductancias... las inductancias es cierto que "almacenan energía2, pero de hecho no la almacenan sino que la ceden al campo magnético que generan... es decir en cierto sentido la están "disipando". Y para verlo más claro, la inductancia en realidad entra en un circuito como una impedancia y cualquier impedancia sigue que en serie se suman y en paralelo se suman los inversos... Así que por el momento me quedo con que "el truco" es bastante general y refleja un comportamiento fundamental en relación al comportamiento energético.

[Nachop]

Re: Sobre resortes serie y paralelo

GRacias ! lo he entendido a la perfeccion, pero supongamos que yo quisiera la ecuacion del oscilador armonico, entonces yo tendria en el caso de los resortes en serie que:

$m\ddot{x}=k_{eq}x-mg<br />$
y entonces no se como podria "eliminar" el mg para dejar esta ecuacion en la forma del oscilador armonico.

Un truco muy utilizado es hacer un cambio de variables, nota que tu ecuación es de la forma

$\[<br /> \ddot x + ax = c \Leftrightarrow \ddot x + a\left( {x - \frac{c}<br /> {a}} \right) = 0<br /> \]<br />$, entonces haciendo $\[<br /> z = x - \frac{c}<br /> {a} \Rightarrow \ddot z = \ddot x \Rightarrow \ddot z + az = 0<br /> \]<br />$

[Xel]

Re: Sobre resortes serie y paralelo

... y entonces no se como podria "eliminar" el mg para dejar esta ecuacion en la forma del oscilador armonico.

Wenas ... mg es igual a la fuerza resultante elástica de el/los muelles/s cuando está en equilibrio estático, o sea, cuando la masa está quieta sin oscilar. Siendo $\delta_s_t$ la deformación del muelle tras colocarle la masa, y considerando el eje positivo hacia abajo, tenemos:

$W - K_e_q\delta_s_t = 0$

$mg = K\delta_s_t$

Después, cuando la masa está oscilando, hay que tener encuenta que su desplazamiento lleva consigo ese $\delta_s_t$, con lo que la ecuación del M.A.S. se obtiene de su análisis dinámico, así:

$W - K_e_q(\delta_s_t + x) = ma$

$mg - K\delta_s_t - Kx = ma$

$- Kx = ma$

$a + \frac{k}{m}x = 0$

La aceleración también debe tener el mismo convenio de signos que el eje x (positivo hacia abajo en este caso).

Se llama frecuencia natural a $w_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = (\frac{rad}{s})$

La solución general de esa ecuación diferencial que define el M.A.S. de la partícula se puede expresar de dos formas, una como la suma de sus soluciones particulares multiplicadas por sus coeficientes, y otra, en función del producto de su amplitud por el seno de un ángulo igual a $w_nt + \phi$

(1) $x(t) = C_1sen w_nt + C_2cos w_nt$

(2) $x(t) = X_msen(w_nt + \phi)$

Se suele usar ésta última expresión para resolver los problemas de vibraciones libres no amortiguadas. Derivando sacamos su velocidad y su aceleración:

$v(t) = X_mw_ncos(w_nt + \phi)$

$a(t) = -X_mw_n^2sen(w_nt + \phi)$

Cuyos valores máximos se darán cuando el seno y el coseno valgan 1.

$\phi$ es el ángulo de fase.

El periodo es $T = \frac{2\pi}{w_n} = (s)$

La frecuencia es $f = \frac{1}{T} = \frac{w_n}{2\pi} = (\frac{ciclos}{s}) = Hz$

Un saludo.

[lindtaylor]

Re: Sobre resortes serie y paralelo

He entendido todo lo que me han dicho, pero ahora me obsecione con resolver el ejercicio mediante energia X D, pero solo he resuelto el de los resortes en paralelo, que muestro a continuacion como lo hize. ( con todas las ayudas que me han dado X D)

$cte$: energia inicial, cuando el sistema resortes-masa esta en equilibrio.

$x$: desplazamiento de los resortes como de la masa $m$.

$\frac{m \dot{x}}{2}+ \frac{k_1 x^2}{2} + \frac{k_2 x^2}{2}-mgx= constante$

derivo
$m \ddot {x} \dot{x}+k_1x \dot {x}+k_2x \dot {x}-mg\dot {x}=0$

$m\ddot{x}+(k_1+k_2)x-mg=0$

hago el cambio de variable mencionado en un post arriba y obtengo

$\ddot{x}+(k_1+k_2)x=0$


Pero el de los resortes en serie ni idea como hacerlo con energias, osea nose como dejar todo en parametros del desplazamiento de la masa $m$, y poder dejarlo analogo como el procedimiento que menciono arriba. Una obs, no quiero hacer el ejercicio de los resortes en serie sacando primero el $k_{eq}$, si no que mi idea es llegar a la ecuacion del oscilador de una sola vez.

saludos, y si alguien se anima a hacerlo, gracias de antemano. yo ya llevo un dia entero y mas y no lo logro hacer T.T

[ser humano]

Re: Sobre resortes serie y paralelo

Hola.
Para resolver a travez de energias la situacion de los resorters en serie te conviene tener en cuenta el hecho de que en la mecanica newtoniana rige el principio de superposicion, en particular esto es valido para las fuerzas. Entonces si $f_1$,$f_2$ corresponden a las fuerzas ejercidas por los resorters de $k_1$ y $k_2$ respectivamente, la fuerza realizada por ellos sera:

$F= f_1 + f_2 = -k_1x - k_2 x= - (k_1 + k_2) x$

Entonces la ecuacion de la energia potencial para ambos (juntos) sera:

$E_p=\int_{x_1}^{x_2} F dx= \int_{x_1}^{x_2} [-(k_1 + k_2) x ]dx= -(k_1 + k_2) \int_{x_1}^{x_2} x dx = -\dfrac {(k_1 + k_2) ({x_2}^2 - {x_1}^2)}{2}$

Y si consideras el cero de energia potencial a la posicion de equilibrio (y la posicion la medis desde alli):

$E_p = -\dfrac {(k_1 + k_2){x}^2}{2}$

(notar que $x_2$ al ser cualquiera medida desde la posicion de equilibrio simplemente se nota $x$).

Creo que teniendo en cuenta eso no vas a tener mayores complicaciones.

Saludos

Edito:

No se si es lo que vos buscabas, porque no comprendo a que te referis con "de una sola vez". Yo no noto otra forma de trabajar con la energia poerncial elastica sin saber cual es su expresion.