Olimpiada Propuesto, sobre planos inclinados y resortes

[angel relativamente]

Bueno copio el enunciado de la olimpiada local de física, Málaga:

Un cuerpo de 400g se deja caer desde lo alto dee un plano inclinado 45º y con un coeficiente de rozamiento por deslizamiento de 0,15. El cuerpo se encuentra a una distancia de 200cm, medidos sobre el plano, de un resorte ideal de constante elástica 250N/m. Después de rebotar en el resorte, el cuerpo vuelve a subir por el plano. Calcule:
a) La máxima compresión del muelle
b)La posición medida sobre el plano, del punto más alto que alcanza el cuerpo respecto la posición inicial.
Dato: $g=9,8m/s^2$

Quien se aburra o esté practicando para las olimpiadas que se ponga a hacerlo
Yo lo voy a intentar ahora
Saludos!

[GNzcuber]

Re: Propuesto, sobre planos inclinados y resortes

El mejor camino es por energías:

Considerando que la fuerza de rozamiento depende sólo de la acción normal del plano inclinado debido al peso del cuerpo, tenemos que el cuerpo se encuentra a una altura h respecto la posición mínima que alcanzará, siendo x_r la compresión del resorte y x la distancia que recorre en el plano inclinado $\dst h=(x+x_r)\sin(\alpha)$.

Su energía potencial, respecto al punto elegido (posición mínima que alcanzará): $\dst U_g=mgh$

La energía potencial máxima del muelle, que corresponde a la máxima compresión: $\dst U_r=\frac{kx_r^2}{2}$

La energía perdida por rozamiento: $\dst W=\mu mg\cos(\alpha)(x+x_r)$.

$$\dst U_g=W+U_r$$

$$\dst mg(x+x_r)\sin(\alpha)=\mu mg\cos(\alpha)(x+x_r)+\frac{kx_r^2}{2}$$

$$\dst \frac{kx_r^2}{2}+mg(\mu\cos(\alpha)-\sin(\alpha))x_r+mg(\mu\cos(\alpha)-\sin(\alpha))x=0$$

$$\dst x_r=\frac{mg(\sin(\alpha)-\mu\cos(\alpha))\pm\sqrt{(mg(\sin(\alpha)-\mu\cos(\alpha)))^2-2k(mg(\mu\cos(\alpha)-\sin(\alpha)))}}{k}$$

Pondré el resultado sólamente porque la fórmula entera no cabe, y es sólo una .

$$\dst x_r\approx 0.15m$$

Para saber la posición más alta será cuando la energía potencial del resorte se convierta nuevamente en energía potencial gravitatoria habiendo disipado energía por rozamiento:

$$\dst U_r=W+U_g$$

$$\dst \frac{kx_r^2}{2}=\mu mg\cos(\alpha)(x_r+x_g)+mg(x_r+x_g)\sin(\alpha)$$

$$\dst x_g=\frac{kx_r^2-2mgx_r(\mu\cos(\alpha)+\sin(\alpha))}{2mg(\mu\cos(\alpha)+\sin(\alpha))}$$

Ahora pondré sólo el resultado porque me da palo escribir una fórmula .

$$\dst x_g\approx 0.76m$$

El enunciado nos dice que lo comparemos en el plano con respecto la posición inicial $\dst x_0=2.00m$, por lo tanto x_g respecto x_0 es -1.24m.

¡Saludos!