Olimpiada Propuesto, Gravitación

[Cris]

¿A qué distancia sobre la superficie terrestre es la aceleración debida a la gravedad 0.980 $\mathbr{\frac {m} {s^2}}$ , si en la superficie tiene una magnitud de 9.80 $&& \mathbr{\frac {m} {s^2}}$

Este ejercicio no lo he tomado de alguna olimpiada en especial, pero me ha resultado algo interesante.

Saludos

[angel relativamente]

Re: Propuesto, Gravitación

Para resolverlo, ¿se necesitan los datos del radio de la Tierra y la masa de la misma o he de resolverlo sin dichos datos?
Saludos Cris!

[Al2000]

Re: Propuesto, Gravitación

Necesitas el radio, unos 6370 km.

Saludos,

Al

[[Beto]]

Re: Propuesto, Gravitación

Para resolverlo, ¿se necesitan los datos del radio de la Tierra y la masa de la misma o he de resolverlo sin dichos datos?
Saludos Cris!

Piensalo de este modo, tienes dos ecuaciones y en ellas no conones el radio del planeta, la masa, tampoco la altura, entonces vienen siendo tres incógnitas que son más que el número de ecuaciones, por tanto haría falta algún dato más, ya sea el radio o la masa del planeta.

[angel relativamente]

Re: Propuesto, Gravitación

Ya lo saqué con el radio

Allá va mi planteamiento (Los valores conocidos son: $R_t$ , $G$ , $g_1$ y $g_2$ )

$$\displaystyle g_1= G\cdot \frac{M_t}{{R_t}^2}$$

$$\displaystyle g_2=G\cdot \frac{M_t}{(R_t + h)^2}$$

Por tanto:

$$\displaystyle M_t=\frac{g_1 \cdot {R_t}^2}{G}$$

Sustituyo eso en la ecuación de abajo, y tras resolver la ecuación de 2º Grado, me sale que:

$$\displaystyle h=1,377\cdot 10^7\; m$$

Comprobación:

$$\displaystyle g_2=\frac{G\cdot M_t}{(R_t + h)^2}=\frac{g_1\cdot {R_t}^2}{(R_t + h)^2}=\frac{9,8\cdot (6,37\cdot 10^6)^2}{(6,37\cdot 10^6 + 1,377\cdot 10^7)^2}=0,98\; m/s^2}$$

Saludos y muchas gracias a todos!

[GNzcuber]

Re: Propuesto, Gravitación

Sea $\dst \Delta=-G\cdot M_{Tierra}$ tenemos que su campo gravitatorio es:

$$\dst g=\frac{\Delta}{r^2}$$

Pero nosotros queremos saber la distancia para que el campo gravitatorio sea una décima parte:

$$\dst \frac{g}{10}=\frac{\Delta}{r_g^2}\Rightarrow g=\frac{10\Delta}{r_g^2}=\frac{\Delta}{\frac{r_g^2}{10}}=\frac{\Delta}{\left(\frac{r_g}{\sqrt{10}}\right)^2}$$

$$\dst r=\frac{r_g}{\sqrt{10}}\Rightarrow r_g=\sqrt{10}r$$

¡Saludos!

[Ulises7]

Re: Propuesto, Gravitación

Sea $\dst \Delta=-G\cdot M_{Tierra}$ tenemos que su campo gravitatorio es:

$$\dst g=\frac{\Delta}{r^2}$$

Pero nosotros queremos saber la distancia para que el campo gravitatorio sea una décima parte:

$$\dst \frac{g}{10}=\frac{\Delta}{r_g^2}\Rightarrow g=\frac{10\Delta}{r_g^2}=\frac{\Delta}{\frac{r_g^2}{10}}=\frac{\Delta}{\left(\frac{r_g}{\sqrt{10}}\right)^2}$$

$$\dst r=\frac{r_g}{\sqrt{10}}\Rightarrow r_g=\sqrt{10}r$$

¡Saludos!

Pero aún no estaría, la altura se hallaria así:

$$h = r_g - r = \sqrt{10}r - r = r ( \sqrt{10} - 1 )$$

saludos

[Cris]

Re: Propuesto, Gravitación

Que bien! ya lo han resuelto...

Saludos.

[angel relativamente]

Re: Propuesto, Gravitación

Pero aún no estaría, la altura se hallaria así:

$$h = r_g - r = \sqrt{10}r - r = r ( \sqrt{10} - 1 )$$

saludos

Pues este método es bastante más simple que el mío, ya que a mí se me quedaba esta ecuación (pondré a, b y c entre paréntesis para ordenarla un poco):

$$\displaystyle (g_2)h^2+(2g_2 R_t)h+({R_t}^2(1-g_1))=0$$

Y la verdad despejar h ahí no era nada cómodo (más bien no era nada elegante, como se suele decir por aquí)

Muchas gracias a todos!!