1r ciclo Un objeto cuelga de un resorte...

[Templario777]

Hola amig@s,

un objeto de masa m = 100 g cuelga de un resorte de constante elástica k = 10 N/m y longitud natural lo = 20 cm, cuyo otro extremo está fijo al techo. El objeto se lanza desde una distancia del techo L = 35 cm con una velocidad inicial vo = 10 cm/s dirigida hacia arriba. Determine el valor del modulo v de la velocidad del objeto T/5 segundos después de
que es lanzado, siendo T el período del movimiento oscilatorio.

La verdad que intenté un par de veces y no me sale. Tengo dudas de cómo es la ecuación que describe este movimiento y también de como hallar la amplitud. Me surge también la duda de sí oscila entorno al punto de equilibrio a la misma distancia de éste, hacia arriba y hacia abajo, y dudo porque como aparece la fuerza gravitatoria...

Bueno, espero alguien me ayude a aclarar estas dudas.

Saludos,
T777

[GNzcuber]

Re: Un objeto cuelga de un resorte...

Hola Templario777,

Respecto a tus preguntas, siempre oscilará respecto un punto que se encuentre entre la distancia media de las dos amplitudes, la fuerza gravitatoria hace que el punto de equilibrio no esté en el extremo donde se consideraba la longitud natural. Es decir, el punto de equilibrio estará desplazado.

Al colocarle la masa m el muelle se estirará hasta que la fuerza de recuperación iguale el peso de la masa (tomando como positivo el sentido hacia abajo):

$$\dst k\cdot x_0=m\cdot g$$

Donde $\dst x_0$ es la longitud que se ha estirado el muelle desde su longitud natura. Olvidándonos del hecho que alguien lo haya lanzado con una velocidad inicial, lo estudiaremos a partir de un simple desplazamiento de su posición de equilibrio. Este desplazamiento desde su longitud natural será $\dst x=x_0+x'$, donde x' es el desplazamiento a partir de la nueva posición de equlibirio:

$$\dst F=m\cdot g- k\cdot x=m\cdot g-k\cdot (x'+x_0)=-k\cdot x'$$

Puedes ver que actúa normalmente, sólo que su posición de equilibrio está, como había dicho antes, desplazada.

Respecto al problema: Se ha estirado el muelle 35cm desde el techo, es decir (35-20)cm=15cm desde su posición original, sin embargo esta no es su amplitud porque no estamos teniendo en cuenta el desplazamiento de la posición de equilibrio debido al peso de la masa.
La nueva posición de equilibrio será $\dst l_0'=l_0+y_0=l_0+\frac{mg}{k}=0.2m+\frac{0.1kg9.81ms^{-2}}{10Nm^{-1}}=0.2981m\approx 0.30m$

Como la energía mecánica se conserva, no hay fuerzas no conservativas, podemos asegurar que la energía potencial del muelle sumada a la energía cinética siempre se mantiene constante. Si supiéramos su energía potencial máxima sabríamos su amplitud, pero lo que tenemos es que al haber desplazado la masa una distancia L del techo, ésta ha almacenado una energía $\dst U_0=\frac{k(L-l_0')^2}{2}=\frac{10Nm^{-1}\left[(0.35-0.30)m\right]^2}{2}=1.225\cdot 10^{-2}J$.

Esta energía potencial se transformará en energía cinética en pasar por la posición de equilibrio dándonos una velocidad que compuesta con la que se le ha agregado (la velocidad inicial con la que fue lanzada) nos dará la energía cinética máxima, que es igual a la energía potencial máxima.
Podría hacer eso, pero creo que es más fácil, ya que tenemos la velocidad en un punto donde sabemos la energía potencial, hacer:

$$\dst E=U_0+K_0=\frac{k(L-l_0')^2}{2}+\frac{mv_0^2}{2}=\frac{kA^2}{2}=U_{maxima}$$

$$\dst A=\sqrt{(L-l_0')^2+\frac{mv_0^2}{k}}=\sqrt{(0.35-0.30)^2+\frac{0.1(0.1)^2}{10}}=0.05099m\approx 0.051m$$

Sin embargo este dato no es necesario para calcular el período de oscilación, ya que un muelle con una masa tiene una frecuencia propia:

$$\dst \omega=\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{k}{m}}\Rightarrow T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{0.1}{10}}\approx 0.63s$$

En $\dst \frac{T}{5}=0.126s$ tendremos que ver el tiempo que tarda en llegar a la posición de equilibrio, si es que llega, y calcular la velocidad en la segunda parte del tiempo.

Si escribimos la ecuación que describe este movimiento tendremos: $\dst y=A\sin\left(\omega t+\phi\right)$

Donde $\dst \phi$ es un desfase que lo podemos hallar por la relación $\dst \frac{\phi}{2\pi}=\frac{y_0}{4A}\Rightarrow\phi=\frac{y_0\pi}{2A}=\frac{0.05\cdot \pi}{2\cdot 0.051}\approx 1.54 rad$
Y $\dst \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{10}{0.1}}=10rad\cdot s^{-1}$:

$$\dst y=0.051m\sin\left(10t-1.54\right)$$

Derivando (5):

$$\dst v_y=0.51ms^{-1}\cos\left(10t-1.54\right)$$

Con esto podemos buscar el valor de la velocidad en dicho punto:

$$\dst v_5=0.51\cos\left(\frac{2\pi}{T}\frac{T}{5}-\frac{50\pi}{102}\right)=0.51\cos\left(\frac{204-250}{510}\pi\right)\approx 0.49ms^{-1}$$

Por lo tanto yo contestaría la (...), porque nos pide el módulo de la velocidad en dicho punto.

¡Saludos!

[Al2000]

Re: Un objeto cuelga de un resorte...

Mis cuentas dan v = 0.5248 m/s. Como Templario777 debe saber la respuesta correcta me reservo copiar el análisis, posiblemente equivocado...

Saludos,

Al

PD. Anexo mis cálculos

[Xel]

Re: Un objeto cuelga de un resorte...

wenas ... es un problema de vibración libre no amortiguada, cuya ecuación del M.A.S. (movimiento armónico simple) es $\ddot x + \omega_n^2x = 0$, y la solución de esta ecuación diferencial es $x(t) = X_m sen(\omega_nt + \phi)$.

El valor de la frecuencia natural es $\omega_n^2 = \frac{k}{m}$

Derivando x(t) podremos tener 2 ecuaciones con dos incógnitas ($X_m \ y \ \phi$) si conocemos x(t) y v(t) para t=0s:

$x(t) = X_m sen(\omega_nt + \phi)$
$v(t) = X_m \omega_n cos(\omega_nt + \phi)$

nos dan la velocidad inicial v(0) = 0,1 m/s ... pero la posición hay que determinarla teniendo en cuenta que en la posición de equilibrio (cuando está quieto) la masa desplaza el muelle un valor [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .
Con lo que la posición respecto al punto de quilibrio será x(0) = 0,35-(0,2 + 0,0981) = 0,0519 m.

$0,0519 = X_m sen(0 + \phi)$
$0,1 = X_m \omega_n cos(0 + \phi)$

$\phi = 79,094$
$X_m = 0,05285$


Ahora podemos determinar la velocidad, pero hay que tener en cuenta que en t=0 la velocidad apuntaba hacia arriba, lo cual significa que la masa, cuya posición a lo largo del tiempo viene dada por la exuación x(t), ha recorrido anteriormente un tramo hacia abajo, lo que implica un desfase de -90 grados.

$v(t) = X_m \omega_n cos(\omega_nt + \phi - 90)$

$T = \frac{2\pi}{\omega_n} = 0,2\pi$

$t = \frac{T}{5}$

$v(t) = 0,5285 cos(0,4\pi + 79,094 - 90) = 0,521 \frac{m}{s}$

... por lo que yo escogería la opción d) ... cosa que no coincide con lo que ha obtenido GNzcuber ... (... ya estoy dudando ... )

[GNzcuber]

Re: Un objeto cuelga de un resorte...

Hola a todos,

He visto que he tenido un error en el ángulo de desfase, aunque lo he corregido no me ha dado, seguiré viendo dónde hay más errores. Y si os da un resultado diferente al mío, no hay que preocuparse, siempre es buena señal .

[Xel]

Re: Un objeto cuelga de un resorte...

jejeje ... pues yo también me he encontrado un lapsus interruptus ... ...

weno, la cosa es que me he fijado que no tenía que hacer ningún desfase de 90 grados, si no que simplemente tenía que pasar de grados a radianes el valor del desfase $\phi$ ...

$v(t) = 0,5285 cos(0,4\pi + 79.094 \frac{\pi}{180}) = 0,52794 \frac{m}{s}$

... cosas de la entropía de la vida ...

un saludo.

[Templario777]

Re: Un objeto cuelga de un resorte...

Hola Al2000, Xel, GNzcuber,

yo hice un planteamiento muy similar al tuyo GNzcuber y no llegué a ningún resultado correcto. Por otra parte, me pareció bien sencillo el razonamiento de Al2000 el cual lo llevó a la respuesta d) al igual que Xel, y que por cierto es la correcta!!!

Aunque me surge la duda de cuál solución es más precisa que la otra... en fin.

Muchas gracias por responder!!!

SaluT777!