Olimpiada Propuesto, disparo

[angel relativamente]

Otro de olimpiada:

Una bala es disparada verticalmente hacia arriba. Si el ruido de la explosión y la bala llegan simultáneamente a la altura máxima H alcanzada por la bala, halle la velocidad inicial de la bala (llame v0 a la velocidad del sonido).

Saludos!

[angel relativamente]

Re: Propuesto, disparo

Lo planteé mediante energías, aunque no usé para nada la velocidad del sonido... por tanto pienso que esta mal. ¿Puede ser la velocidad inicial de la bala $\sqrt{2gH}$ ?

Saludos!

[Stormkalt]

Re: Propuesto, disparo

Hola Ángel.

Sí, esa es la expresión para la velocidad inicial. Pero me parece que el problema exige un valor numérico en la respuesta. Sabiendo que la velocidad del sonido es 340 m/s en condiciones estándar.


Edito: En realidad la respuesta debe quedar en función de $v_0$, que es a lo que llama velocidad del sonido.

¡Saludos!

[GNzcuber]

Re: Propuesto, disparo

Hola,

La altura máxima que alcanzará la bala será:

$$\dst \left.\begin{aligned}H=v_0'\cdot \Delta t-\frac1{2}g(\Delta t)^2\\H=v_0\cdot \Delta t\end{aligned}\right\} v'_0=v_0+\frac1{2}g\Delta t$$

El tiempo que tardará la bala, y por tanto el sonido, en llegar a esa altura será:

$$\dst v_f'=v_0'-g\Delta t, v_f'=0\Rightarrow \Delta t=\frac{v_0'}{g}$$

$$\dst v'_0=v_0+\frac{1}{2}v_0'\Rightarrow v'_0=2v_0$$

No lo he hecho por energías, pero creo que este camino es más sencillo, contrariamente a lo que estamos habituados. Pero tampoco creo que se alargue más.

¡Saludos!

[angel relativamente]

Re: Propuesto, disparo

pero, si la bala saliese a 341m/s, se encontrarian a cierta altura H al cabo de un rato (corto).
Sin embargo, si la bala saliese a 680m/s tambien se encontrarian al cabo de un rato a cierta altura H. ¿No necesitariamos un valor de H para determinarlo?

Saludos!

[Stormkalt]

Re: Propuesto, disparo

pero, si la bala saliese a 341m/s, se encontrarian a cierta altura H al cabo de un rato (corto).
Sin embargo, si la bala saliese a 680m/s tambien se encontrarian al cabo de un rato a cierta altura H. ¿No necesitariamos un valor de H para determinarlo?
Saludos!

No, el resultado es único. Existe una única altura, además de la altura cero, en la cual se "encuentran" el sonido y la bala. Si el proyectil tuviese la velocidad del sonido (341 m/s, por ejemplo), partirían juntos pero en el acto la bala comenzaría a frenarse y ya no podría alcanzar al sonido en ninguna altura.

[angel relativamente]

Re: Propuesto, disparo

pero 341 es mayor que la velocidad del sonido. Es decir, el sonido y la bala salen juntos. La bala le adelanta, pero enseguida se frena y el sonido la alcanza. Así se habran encontrado a una altura H.
Si sale a 640, pasara lo mismo. Salen a la vez, la bala le adelanta, y al cabo de un tiempo el sonido la alcanza a una altura H. La diferencia esque con la primera velocidad de la bala la altura H sera pequeña y con la segunda velocidad inicial la altura sera granse, así que si no nos dan la altura no podemos dar un valor para la velocidad inicial. Espero haberme explicado, corregidme si me equivoco.

Saludos!

RECTIFICACIÓN: Creo que ya vi el error de mi planteamiento. El problema dice "a la altura máxima H alcanzada por la bala", es decir, cuando la bala tiene una velocidad de 0. No había reparado en eso. Saludos.

[Al2000]

Re: Propuesto, disparo

Es un problema que se puede visualizar geométricamente. No es muy dificil demostrar que una parábola que pasa por el origen y que tiene su máximo (vértice) en $H$ tiene una pendiente en el origen que es el doble de la pendiente de la recta que une el origen con el vértice de la parábola.

Puesto en términos del movimiento de la bala, no cuesta mucho demostrar que la posición y velocidad de la bala disparada con velocidad $v_0$ y que alcanza una altura máxima $H$ es

$$y_b = v_0\,t-\frac {v_0^2}{4H}\,t^2\,,\quad v_b = v_0 - \frac {v_0^2}{2 H}\,t$$

con un tiempo máximo de $\dst t_m = \frac {2 H} {v_0}$. Entonces la pendiente de la recta que une el origen con el punto $\dst (H,t_m)$ es

$$v_s = \frac H {t_m} = \frac H {2H/v_0} = \frac {v_0} 2$$

Saludos,

Al

PD. Por favor nota que me salí del contexto del problema y que en estos comentarios $v_0$ es la velocidad inicial de la bala...