Olimpiada Propuesto, cajas y planos inclinados

[angel relativamente]

Este me pareció muy bonito:

Un hombre da un empujón a una caja de 4 kg. Como consecuencia, la misma se desplaza con una velocidad inicial de 6 m/s por el plano horizontal. Luego comienza a subir por un plano inclinado 30 grados. Hay rozamiento entre el cuerpo y la superficie del plano inclinado. Por esta causa el cuerpo se detiene a una altura de 1.5 m en vez de detenerse más
arriba. a) Calcular la fuerza de rozamiento que actua sobre el cuerpo, suponiendo que es constante. b) ¿Cuál será la velocidad
del cuerpo al pie del plano inclinado cuando retorna?

Mis respuestas son:
a)4,4 N
b)4,77 m/s

Espero que coincidan con las suyas.

Saludos!

[Al2000]

Re: Propuesto, cajas y planos inclinados

[angel relativamente]

Re: Propuesto, cajas y planos inclinados

Voy a exponer mis cálculos del apartado a):

PLANTEAMIENTO 1:

Por energías:

$$\displaystyle E_{c0}= \frac{1}{2}m{v_0}^2$$

$$\displaystyle E_{pg}=mgh$$

La energía potencial gravitatoria que tenga en el punto más alto será igual a la energía cinética que tenía en el punto más bajo menos la energía que ha perdido en la subida debido a la fuerza de rozamiento.

$$\displaystyle E_{c0}-E_{roz}=E_{pg}$$

La energía que ha perdido debido a la fuerza de rozamiento será

$$\displaystyle E_{roz}=F_{roz}\cdot \Delta X$$

El desplazamiento ($\Delta X$) ha sido:

$$\displaystyle \Delta X= \frac{h}{\sin(\alpha)}$$

Por tanto:

$$\displaystyle \frac{1}{2}m{v_0}^2- F_{roz}\cdot\frac{h}{\sin(\alpha)}=mgh$$

$$\displaystyle F_{roz}=\frac{\sin(\alpha)\cdot m \cdot \left({\frac{1}{2}{v_0}^2-gh}\right)}{h} = 4,4\;N$$

PLANTEAMIENTO 2:

Por cinemática:

$$\displaystyle x_f=V_0t + \frac{1}{2}at^2$$

$$\displaystyle v_f=v_0 + at$$

Despejo $at$ en la segunda ecuación y lo sustituyo en la primera:

$$\displaystyle at=-v_0\;\;\; ;\;\;\; x_f=V_0t - \frac{1}{2}v_0t=\frac{1}{2}v_0t$$

Sabemos que $\displaystyle x_f=\frac{h}{\sin(\alpha)}$ , por tanto:

$$\displaystyle \frac{h}{\sin(\alpha)}=\frac{1}{2}v_0t\;\;\; ;\;\;\; t=\frac{2h}{v_0\cdot \sin(\alpha)}$$

Sustituyo (11)-b) en (10)-a) y me queda que:

$$\displaystyle a=\frac{-v_0}{t}=\frac{-{v_0}^2\cdot \sin(\alpha)}{2h}$$

Por tanto la fuerza con la que se frena será:

$$\displaystyle F_{fren}=\frac{-m{v_0}^2\cdot \sin(\alpha)}{2h}$$

Se está frenando debido a dos fuerzas,la que le hace su peso (que no es su peso total porque está en un plano inclinado) y la fuerza de rozamiento, es decir:

$$\displaystyle F_{roz}=F_{fren}-P=\frac{-m{v_0}^2\cdot \sin(\alpha)}{2h} - mg\cdot\sin(\alpha)=m\left({\frac{(2hg-{v_0}^2)\cdot \sin(\alpha)}{2h}}\right)=-4,4\; N$$

Espero no haber cometido dos errores

Saludos!

[GNzcuber]

Re: Propuesto, cajas y planos inclinados

Hola Angel,

Nunca me había planteado este tipo de ejercicios por cinemática, pero es bueno también hacerlo.

Yo veo un error en (14), creo que deberia ser así:

$$\dst F_{roz}=F_{fren}-P_{x}=-\frac{mv_0^2\sin(\alpha)}{2h}-mg\sin(\alpha)=-m\left[\frac{(2hg+v_0^2)\sin(\alpha)}{2h}\right]=-43.6N$$

No digo que el resultado sea correcto, pero el paso del tercer miembro al cuarto en las igualdades, fíjate que ambos términos tienen el mismo signo. Pero te da espectacularmente igual al resultado con energías, así que no sé dónde está el error.

[arreldepi]

Re: Propuesto, cajas y planos inclinados

GNzcuber, diría que has confundido la fuerza de frenado con la de rozamiento

Tenemos que

$$F_{\text{fren}} = -f-mg\sin\alpha$$

Así que

$$f = -F_{\text{fren}} - mg\sin\alpha = -\left(-m\frac{v_0^2\sin\alpha}{2h}\right) - mg\sin\alpha = m\sin\alpha\left[\frac{v_0^2}{2h}-g\right] = 4,4 \text{N}$$

Saludos.

PD: Supongo que es porque a angel se le ha olvidado copiar el signo.