Otras carreras rotación del cuerpo rigido

[aniela]

tengo un problema con este ejercicio

En la figura se muestran dos cilindros homogéneos de radio R y masa M. El cilindro de arriba, sostenido por un eje horizontal a través de su centro, rota libremente. Se enrosca una cuerda y se deja caer el cilindro inferior. La cuerda no desliza respecto de los cilindros.
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Daniela/CONFIG%7E1/Temp/moz-screenshot-1.png[/IMG]
calcular la aceleración del centro de masa del cilindro inferior.

yo lo resolví solo mirando al cilindro inferior, es decir plantié su ecuación de newton, luego el torque que realiza la tensión, luego como el cilindro inferior rota puedo usar la relacion de que la aceleracion angular por el radio va a ser igual a la aceleración del centro de masa y ya, pero no deberia tener en cuenta algún tipo de ralación con el movimiento del cilindro superior? siento que me estoy olvidando de algún vínvulo importante.
si me pueden ayudar se los agradezco

[Metaleer]

Re: rotación del cuerpo rigido

Hola, aniela.

El asunto es el siguiente:

donde he representado las fuerzas que nos interesan para el análisis dinámico. El cilindro de arriba sólo puede girar, por tanto, aplicando la segunda ley de Newton para la Dinámica de la Rotación (a lo mejor lo has visto con el nombre de Ecuación Cardinal):

$RT = I \alpha_1,$

y como el de abajo puede girar y trasladarse, se tiene que

$-RT = I \alpha_2,$
$Mg - T = M a_2.$

Combinando las dos primeras ecuaciones, se ve que $\alpha_1 = -\alpha_2$, y por tanto giran en sentidos opuestos. Vamos a denotar por $\alpha$ el valor absoluto común.

Por otra parte, la aceleración $a_2$ del cilindro inferior se debe a que cae este cilindro, y que la cuerda se desenrolla del cilindro superior:

$a_2 = \alpha R + \alpha R = 2 \alpha R,$

donde el primer sumando es porque el cilindro desciende sin deslizar, y el segundo sumando es porque es la aceleración que tiene la cuerda (recuerda que el valor absoluto de ambas aceleraciones angulares coinciden).

Como $\displaystyle I_\text{cilindro} = \frac{1}{2}M R^2$, tenemos

$\displaystyle T = \frac{1}{2}M R \alpha,$

y podemos sustituir en $Mg - T = M a_2$ los valores de $a_2$ y de $T$ para poder despejar $\alpha$, es decir,

$\displaystyle Mg - \frac{1}{2}M R \alpha = M 2 \alpha R \Rightarrow \alpha = \frac{2 g}{5 R},$

y ya podemos calcular la aceleración pedida:

$\displaystyle \boxed{a_2} = 2 \alpha R = 2 \frac{2 g}{5 R} R = \boxed{\frac{4}{5}g .}$

Saludos.