1r ciclo Movimiento parabolico

[gaussiano]

Mirad, tengo una duda sobre un problema que no me deja en paz; os pondria un dibujo pero tengo el escanner en cama. En principio, no parece dificil. Se trata de una bola que se deja caer desde una altura de 14m y ponemos en marcha el crono; To segundos mas tarde, se lanza horizontalmente otra bola con una velocidad vo desde un edificio de altura 8m y situado 3m a la izquierda de la vertical de la primera bola. Yo cojo un mismo SR para las 2 bolas y obtengo los vectores de posicion de cada uno, llamando t al tiempo para la 1ª bola y t-to para la 2ª, ya que sale mas tarde. No conozco ni vo ni to. Y me dicen que chocan en un punto indeterminado situado bajo la vertical de la 1ª bola.
Me piden cual es la vo minima para que ocurra el choque.
Yo he igualado los vectores de posicion, componente a componente, y obtengo 2 ecuaciones con 3 incognitas: vo, t y to. Como dicen que vo es minima, he hecho nulo el discriminante de la ecuacion de 2º grado que sale al igualar las componentes verticales, obteniendo un t=1,106 s que supongo es el tiempo en chocar (sigo sin saber ni vo ni to). El resultado ha de ser vo= 2,35 m/s
¿Como lo veis? ¿He razonado bien o estoy perdido? gracias

[GNzcuber]

Re: Movimiento parabolico

Hola gaussiano, yo no lo veo mal, prefiero que alguien con más experiencia y sabiduría (respecto al tema) te lo respondiera bien.

Yo este problema lo hubiera hecho sin vectores de otro modo:

Una bola se deja caer desde $\dst y_0$ en $\dst t_0$ e intersecta con otra en $\dst t$, después de haber caído una distancia $\dst y$.
Otra bola se lanza desde $\dst y_1$ a una distancia $\dst d$ con respecto a la vertical de la primera, con una velocidad horizontal $\dst v_0=v_x$ de la primera un tiempo $\dst t_1$ después de haber dejado caer la primera.

La segunda bola para intersectar la primera recorre la distancia $\dst d=v_0\cdot t_i$, mientras que la bola uno ha caído $\dst y=y_0+v_{0(1)}\cdot (t_i+t_1)-\frac{1}{2}g(t_i+t_1)^2$, la bola dos ha caído $\dst y=y_1+v_{0y(2)}\cdot t_i-\frac{1}{2}gt_i^2$.

Las bolas intersectan en el mismo lugar a la vez:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Y como necesitamos la velocidad con la que es lanzada la segunda bola:

$$\dst v_0=\frac{d}{t_i}=\frac{2\cdot d\cdot g\cdot t_1}{y_0-y_1-2\cdot g\cdot t_1^2}$$

Para que la función velocidad sea mínima, la derivamos respecto el tiempo y la igualamos a cero, nos debería dar un número de t_1 luego buscamos su segunda derivada en t_1.

$$\dst v'_0=\frac{2dg(y_0-y_1-2gt_1^2)+4gt_1(2dgt_1)}{(y_0-y_1-2gt_1^2)^2}=0\Rightarrow y_0-y_1+2gt_1^2=0\Rightarrow t_1=\pm\sqrt{\frac{y_1-y_0}{2g}}$$

La segunda derivada es:

$$\dst v''_0=\frac{8dg^2t_1(y_0-y_1-2gt_1^2)^2+8gt_1(y_0-y_1-2gt_1^2)[2dg(y_0-y_1+2gt_1^2)]}{(y_0-y_1-2gt_1^2)^4}$$

$$\dst v''_0=8dg^2t_1\frac{(y_0-y_1-2gt_1^2)+(y_0-y_1+2gt_1^2)}{(y_0-y_1-2gt_1^2)^3}=16dg^2t_1\frac{y_0-y_1}{(y_0-y_1-2gt_1^2)^3}$$

Sustituyendo cada uno de los valores anteriores que hemos obtenido:

$$\dst v''_0(+)=16dg^2\sqrt{\frac{y_1-y_0}{2g}}\frac{2g(y_0-y_1)}{[2g(y_0-y_1)-2g(y_1-y_0)]^3}=\frac{d}{2(y_0-y_1)^2}\sqrt{\frac{y_1-y_0}{2g}}$$

$$\dst v''_0(+)=-v''_0(-)$$

Uf, no sabía que me saldría tan largo . Y encima incorrecto, porque $\dst y_0>y_1$. ^2.

De momento lo dejo y ya veré mis errores, si es que alguien no los ve antes.

[lucass]

Re: Movimiento parabolico

Buenas.
El problema planteado tiene mucha trampa, mucha palabrería que confunde, cuando en realidad la respuesta es relativamente sencilla.
Como la segunda piedra se lanza horizontalmente desde una altura de 8m, el tiempo que tarda en caer al suelo se puede determinar.
Este tiempo es la clave; puesto que para que se produzca la colisión, el proyectil deberá recorrer los 3m horizontalmente, como máximo, en ese tiempo.
Esto impone una velocidad mínima de lanzamiento, que cuando se calcula resulta ser 2.347 m/s.
Luego resta razonar: si el proyectil se lanza con una velocidad inferior a esa, el proyectil impactará con el suelo antes de alcanzar la trayectoria de la primer bola, y claramente no habrá colisión (se descarta, por supuesto, la posibilidad de choques luego de rebotes con el suelo y esas cosas)
Si se lanza con una velocidad mayor, podrá haber colisión o no, pero no importa, porque esta velocidad ya será mayor a la anterior, y lo que preguntan es la velocidad mínima.
Conclusión: la velocidad mínima con que se puede lanzar es 2.347 m/s.
Luego, y quizá esto es lo que más confunde, si hay choque o no dependerá de $t_0$. Claramente si $t_0$ es tal que cuando se lanza la segunda bola la primera ya se encontraba por debajo de los 8m de altura, nunca habrá colisión, sin importar la velocidad con que se lance la segunda bola. Pero el enunciado no especifica $t_0$, con lo cual uno asume que $t_0$ tiene un valor "apropiado" como para poder satisfacer las condiciones del problema.
Para distintos valores de $t_0$ apropiados, habrá valores de $v_0$ que producen colisión a distintas alturas, pero el menor valor de $v_0$ vendrá dado por la condición de que el impacto con la otra bola se produzca al mismo tiempo que el impacto con el suelo (que está determinado y no depende de $v_0$ ni $t_0$)
Bueno, eso es lo que yo razoné.
Saludos

[lucass]

Re: Movimiento parabolico

otra cosa: el tiempo adecuado $t_0$ necesario para que se produzca el impacto con la condición de velocidad mínima de lanzamiento horizontal, se puede calcular. Yo diría que lo calcules, así el análisis es más completo.
saludos

[Al2000]

Re: Movimiento parabolico

Yo no lo razoné tan directo pero no tengo nada que objetar a tus conclusiones. Mi planteamiento fue resolver simultáneamente las coordenadas de los dos cuerpos

$$x_1 = 0\,,\quad y_1 = H_1 - \frac 1 2 g t^2$$

$$x_2 = x_0 + v_0 \left(t-t_0\right)\,,\quad y_2 = H_2 - \frac 1 2 g \left(t - t_0\right)^2$$

obteniendo que la velocidad inicial debe ser

$$v_0 = \frac {g x_0 t_0}{H_2-H_1+ \frac 1 2 g t_0^2}$$

Esta ecuación por si misma no dice mucho respecto al valor de $v_0$ y la gráfica muestra como la velocidad se va a infinito para cierto valor de $t_0$ que anula el denominador, de modo que es necesario analizar los límites de $t_0$.

Estamos claros en que $t_0$ no puede ser mayor que el tiempo que tarde el primer cuerpo en caer desde $H_1$ hasta $H_2$, o el segundo cuerpo caerá por detrás del primero sin opción a alcanzarlo nunca. Es decir

$$t_{0 \text {, max}} = \sqrt {2 \frac {H_1-H_2} g}$$

Pero $t_0$ tampoco puede ser muy pequeño o las trayectorias no se interceptarían antes de chocar con el suelo

$$t_{0 \text {, min}} = \sqrt {\frac {2 H_1}g} - \sqrt {\frac {2 H_2}g}$$

En este rango de valores de $t_0$ el valor de $v_0$ crece monótonamente desde su mínimo valor cuando los cuerpos se encuentran simultáneamente en el suelo ($\dst t_{0 \text {, min}}$) hasta infinito cuando el segundo cuerpo se dispara al momento de pasar el primero a su altura ($\dst t_{0 \text {, max}}$).

Interesante el problemita, se las trae...

Saludos,

Al

[Afisionado]

Re: Movimiento parabolico

Hola.
Lo he mirado muy por encima y quizá me equivoque pero creo que estás cometiendo un error con el tiempo del segundo cuerpo ya que si se lanza despues no es $t - t_0$ sino $t + t_0$. Ejemplo: uno se lanza en el segundo 0 y el otro 2 segundos despues; es decir, en 0+2 seg. De ahí que salgan un resultados tan raros. A veces pasan estas cosas.
Saludos.

[Al2000]

Re: Movimiento parabolico

No hay error. Míralo así: si tu estableces tu origen de los tiempos en el instante en el cual sueltas el primer cuerpo, al segundo cuerpo aún le faltan 2 segundos para ser lanzado. Para t=0, el inicio de movimiento del primer cuerpo, las ecuaciones de movimiento del segundo cuerpo tienen una coordenada temporal de -2 segundos, es decir, el cuerpo aún no ha empezado su movimiento. No es sino hasta que t = 2 s que el segundo cuerpo empieza su movimiento, con su propio tiempo en 0 s.

Saludos,

Al

[Afisionado]

Re: Movimiento parabolico

Error mío. Por lo demás, parece que tus cálculos y razonamiento son acertados; la velocidad mínima depende del valor de t0 que debe estar entre unos márgenes.
Saludos.

No hay error. Míralo así: si tu estableces tu origen de los tiempos en el instante en el cual sueltas el primer cuerpo, al segundo cuerpo aún le faltan 2 segundos para ser lanzado. Para t=0, el inicio de movimiento del primer cuerpo, las ecuaciones de movimiento del segundo cuerpo tienen una coordenada temporal de -2 segundos, es decir, el cuerpo aún no ha empezado su movimiento. No es sino hasta que t = 2 s que el segundo cuerpo empieza su movimiento, con su propio tiempo en 0 s.

Saludos,

Al