1r ciclo Un proyectil y su mínima energía para...

[Templario777]

Hola amig@s,

un proyectil va a ser lanzado desde el suelo hasta una altura h que se encuentra una distancia d enfrente de él. Para invertir la menor energía posible, el ángulo de lanzamiento θ debe cumplir:

Di con la a) pero no es la correcta, y la verdad no me sale.

Saludos,
T777

[Al2000]

Re: Un proyectil y su mínima energía para...

Por descarte de los casos extremos d=0 y h=0 se puede determinar que la única solución factible entre las listadas es la e). Para llegar a ese resultado puedes hacer lo siguiente:

Escribe la ecuación de la trayectoria eliminando $t$ de las ecuaciones de movimiento

$$y = (\tan \theta) x - \frac g {2 v_0^2 \cos ^2 \theta } x^2$$

Obliga a que la parábola pase por el punto $(d,h)$

$$h = (\tan \theta) d - \frac g {2 v_0^2 \cos ^2 \theta } d^2$$

Esta expresión te relaciona la velocidad inicial con el ángulo de disparo de modo que el proyectil alcance el punto $(d,h)$. Despeja $\dst v_0^2$

$$v_0^2 = \frac {g d^2}{2 (d \tan \theta - h) \cos ^2 \theta }$$

La mínima energía será la correspondiente al mínimo de $v_0^2$. Deriva respecto de $\theta$, iguala a cero y resuelve la expresión. Te debo esos pasos, yo los hice con el computador y verifiqué que el resultado es la opción e).

Saludos,

Al

[Templario777]

Re: Un proyectil y su mínima energía para...

Al, no entiendo eso que piensas para descartar algunas opciones por los casos extremos, ¿puedes explicarte un poco más?

Luego, la respuesta correcta es la que tu propusiste. Nunca fallas Master!!!

Saludos,
T777

[Al2000]

Re: Un proyectil y su mínima energía para...

Al, no entiendo eso que piensas para descartar algunas opciones por los casos extremos, ¿puedes explicarte un poco más?
...

No hay problema. Fíjate primero que los casos d -> 0 y h = 0 son perfectamente válidos. En el primero estás disparando directamente hacia arriba y el segundo es el caso usual del movimiento parabólico.

Para d -> 0 la fórmula debe predecir que $\theta = \pi /2$. Eso no se cumple con la fórmula b) así que la descartamos (esta misma fórmula da una raíz imaginaria si h es grande y eso no puede ser).

Para h = 0 las expresiones a), c) y d) fallan porque predicen un ángulo 0 o $\pi /2$, lo cual está claramente errado. Además sabemos que el alcance máximo se obtiene cuando $\theta = \pi /4$, que sería lo mas lejos que puedes llegar usando una cierta velocidad inicial (energía).

Entonces solo queda la última opción. Yo pensé todo esto cuando publicaste el mensaje pero no veía, al principio, como llegar a e) y por eso no había respondido. Después se me prendió el bombillo...

Saludos,

Al

[Templario777]

Re: Un proyectil y su mínima energía para...

Al, pero para h = 0 en a), c) y d) se predice que el ángulo será 0, lo cuál estaría bien (a no ser por la no existenci en c) sino existe F rozamiento en el piso, ¿no? Así con esto no las podríamos descartar...

[Al2000]

Re: Un proyectil y su mínima energía para...

Al, pero para h = 0 en a), c) y d) se predice que el ángulo será 0, lo cuál estaría bien (a no ser por la no existenci en c) sino existe F rozamiento en el piso, ¿no? Así con esto no las podríamos descartar...

No, no puede ser. Tendrías que hacer un disparo razante al suelo con velocidad infinita (para que no decaiga la trayectoria). Obviamente cualquier lanzamiento parabólico común y corriente requeriría menos energía.

Saludos,

Al

PD. Y recuerda que estamos hablando del lanzamiento de un proyectil, no se vale hacer trampas y deslizarlo por el suelo (entonces las ecuaciones de movimiento serían completamente diferentes)