Secundaria tiro parabolico (maximos y minimos)

[javier m]

si un proyectil se dispara desde 0 con una velocidad inicial de 10 m/s, sobre un plano inclinado que forma un angulo b=20° con la horizontal,su alcance sobre el plano lo calculamos con la expresion:

....2vo^2*cosa*sen(a-b)
r=-----------------------
............g*(cos b)^2

hallar el valor de a, que dará el maximo alcance.


se que hay que igualar a 0 la derivada y ahi buscar el angulo a,pero me atollo con los pasos

[Al2000]

Re: tiro parabolico (maximos y minimos)

Empujo un pasito a ver si puedes continuar o alguien mas te ayuda. A mi me ayudó mi computador

El alcance sobre el plano es

$$r = \frac {2 v_0^2 \cos a \, \mathrm {sen} \, (a-b)}{g \cos ^2 b}$$

La derivada respecto de $a$ es

$$\frac {dr}{da} = \frac {2 v_0^2}{g \cos ^2 b}\left[\cos a \cos (a-b) - \, \mathrm {sen} \, a \,\, \mathrm {sen} \, (a-b)\right]$$

Igualando a cero y resolviendo (eso te lo dejo a ti) obtienes

$$\tan a = \tan b + \sqrt {1 + \tan ^2 b} = \tan b + \sec b$$

Este problema está conectado con el que preguntó Templario777 en el hilo Un proyectil y su mínima energía para...

Saludos,

Al

[javier m]

Re: tiro parabolico (maximos y minimos)

$$\frac {dr}{da} = \frac {2 v_0^2}{g \cos ^2 b}\left[\cos a \cos (a-b) - \, \mathrm {sen} \, a \,\, \mathrm {sen} \, (a-b)\right]$$

Igualando a cero y resolviendo (eso te lo dejo a ti) obtienes

$$\tan a = \tan b + \sqrt {1 + \tan ^2 b} = \tan b + \sec b$$

no se como pasaste la primera a la segunda

[GNzcuber]

Re: tiro parabolico (maximos y minimos)

Pues yo tampoco sé cómo pasar a la segunda ni cómo se deduce la primera ecuación, la que se da en el enunciado.

Pero lo que está entre corchetes es una identidad trigonométrica que me suena mucho:

$$\dst \cos(x+y)=\cos(x)\cdot \cos(y)-\sin(x)\cdot \sin(y)$$

¡Saludos!

[javier m]

Re: tiro parabolico (maximos y minimos)

cuando dije la primera me referia a $/frac{dr}{da} = /frac{2v_0^2}{gcos^2 b}....etc$
y a la segunda me refereria a la de tana=...

la que yo doy, la da el problema.

lo que me interesa saber es como paso al2000 de la primera a la segunda

[javier m]

Re: tiro parabolico (maximos y minimos)

cuando dije la primera me referia a $/frac{dr}{da} = /frac{2v_0^2}{gcos^2 b}....etc$
y a la segunda me refereria a la de tana=...

la que yo doy, la da el problema.

lo que me interesa saber es como paso al2000 de la primera a la segunda

[GNzcuber]

Re: tiro parabolico (maximos y minimos)

Hola,

No creo que sea el paso que dices, pero ya te ha dicho y en la operación se ve que derivando respecto a "a". En la segunda parte, para pasar de la segunda a la tercera, es igualando a cero y resolviendo. Pero a mí no me sale.

$$\dst \frac {dr}{da} = \frac {2 v_0^2}{g \cos ^2 b}\left[\cos a \cos (a-b) - \mathrm {sen} a \mathrm {sen} (a-b)\right]=\frac{2v_0^2}{g\cos^2(b)}\cos(2a-b)0\Rightarrow \cos(2a-b)=0$$

$$\dst \cos(2a-b)=0\Rightarrow 2a-b=\frac{\pi}{2}+k\cdot \pi\,rad$$

$$\dst \left.\begin{aligned}2a-b=90+180k\\b=20\end{aligned}\right\}a=55+90k\Rightarrow a=55$$

No sé si estará bien...

[Editado]= He cogido la calculadora y sustituido b en el resultado de Al y también da 55º.

¡Saludos!

[javier m]

Re: tiro parabolico (maximos y minimos)

entro en un dilema y es:

¿que es mas probable, que un estudiante de fisica y de ingenieria se equivoquen o que lo haga un libro de matematicas ?

rebisé en el libro la respuesta y vi de hecho que es 30° y no 55°

[Al2000]

Re: tiro parabolico (maximos y minimos)

no se como pasaste la primera a la segunda

OK, detallo. Me disculpo pero las mas de las veces le dejo la carpintería al computador y yo me dedico al núcleo del problema.

Partiendo de que la primera expresión es válida (por cierto, yo la verifiqué y es correcta) el problema se reduce a derivar, igualar la derivada a cero y resolver la ecuación resultante. Estos son los pasos algo mas detallados.

Dada

$$r = \frac {2 v_0^2 \cos a \,\, \mathrm {sen} \, (a-b)}{g \cos ^2 b}$$

la derivada respecto de $a$ es

$$\frac {dr}{da} = \frac {2 v_0^2}{g \cos ^2 b}\left[-\, \mathrm {sen} \, a \,\, \mathrm {sen} \, (a-b) + \cos a \cos (a-b)\right]$$

Para que esta derivada se anule, el término entre corchetes debe ser cero

$$\, \mathrm {sen} \, a \, \mathrm {sen} \, (a-b) = \cos a \cos (a-b)$$

$$\tan a = \frac 1 {\tan (a-b)}$$

Aquí podemos hacer uso de la identidad trigonométrica

$$\tan (A \pm B) = \frac {\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$$

para escribir

$$\tan a = \frac {1 + \tan a \tan b}{\tan a - \tan b}$$

que podemos reacomodar

$$\tan ^2 a - 2 \tan b \tan a - 1 = 0$$

cuya solución es

$$\tan a = \frac {2 \tan b \pm \sqrt {4 \tan ^2 b + 4}}2$$

Escogiendo sólo la solución positiva

$$\boxed {\tan a = \tan b + \sqrt {1 + \tan ^2 b}}$$

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: tiro parabolico (maximos y minimos)

Pues yo tampoco sé cómo pasar a la segunda ni cómo se deduce la primera ecuación, la que se da en el enunciado.
...

Te diré que es un tanto engorroso llegar a esa expresión. Partiendo de las ecuaciones de movimiento del proyectil

$$x = (v_0 \cos a) t \,,\quad y = (v_0 \, \mathrm {sen} \, a) t - \frac 1 2 g t^2$$

elimina $t$

$$y = (\tan a) x - \frac g {2 v_0^2 \cos ^2 a} x^2$$

intersecta esta parábola con la recta $y = (\tan b) x$ que describe la rampa

$$(\tan b) x = (\tan a) x - \frac g {2 v_0^2 \cos ^2 a} x^2$$

despeja $x$

$$\frac g {2 v_0^2 \cos ^2 a} x^2 + (\tan b - \tan a) x = 0$$

Descartando la solución $x=0$, queda

$$x = \frac {2 v_0^2 \cos ^2 a} g (\tan a - \tan b)$$

Ahora podemos hallar el alcance $\dst r = \sqrt {x^2+y^2}$

$$r = \sqrt {x^2+y^2}= \sqrt {x^2 + (\tan^2 b) x^2} = x \sqrt {1+\tan ^2 b}$$

O sea

$$r = \frac {2 v_0^2 \cos ^2 a} g (\tan a - \tan b) \sqrt {1+\tan ^2 b}$$

con un poquito de manilupación se tiene

$$r = \frac {2 v_0^2 \cos ^2 a} g \left (\frac {\, \mathrm {sen} \, a}{\cos a} - \frac {\, \mathrm {sen} \, b}{\cos b} \right ) \frac 1 {\cos b}$$

$$r = \frac {2 v_0^2 \cos ^2 a} g \left (\frac {\, \mathrm {sen} \, a \cos b - \cos a \, \mathrm {sen} \, b}{\cos a \cos b} \right ) \frac 1 {\cos b}$$

Finalmente

$$\boxed {r = \frac {2 v_0^2 \cos a \,\, \mathrm {sen} \, (a-b)} {g \cos ^2 b}}$$

- ¡Puff! ¡Una cerveza vestida de novia, plis!

- Tome

- ¡Gracias!

Saludos,

Al

[javier m]

Re: tiro parabolico (maximos y minimos)

el libro dice que es 30,parece que se equivocó el libro

[Al2000]

Re: tiro parabolico (maximos y minimos)

Una aclaratoria... me he dado cuenta a posteriori que la fórmula suministrada en el problema no se corresponde con el dibujo. El ángulo $a$ se mide desde la horizontal, no desde la rampa. Supongo que es un errorcito en la elaboración del gráfico.

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: tiro parabolico (maximos y minimos)

...

$$\dst \cos(2a-b)=0\Rightarrow 2a-b=\frac{\pi}{2}+k\cdot \pi\,rad$$

...

Estaba aburrido releyendo algunos hilos y de repente me percato que la respuesta que tu obtuviste es mucho mas útil que la que obtuve yo, que la obtuve claramente influido por el problema similar que había planteado Templario777 en el hilo Un proyectil y su mínima energía para...

Déjame ponerla en limpio porque te embasuraste al meter en la solución los $k \pi \,\mathrm{rad}$ (nota que dada la situación física de lanzar un proyectil, el ángulo con el suelo está restringido a $[0,\pi/2]$)

$$2 a - b = \frac \pi 2 \quad \Rightarrow \quad \boxed {a = \frac \pi 4 + \frac b 2}$$

la cual está en perfecta armonía con aquello que aprendimos de que el alcance máximo de un proyectil (superficie horizontal) es $\pi /4$.

Saludos,

Al

[Danrim]

Re: tiro parabolico (maximos y minimos)

Amigo como es que llegaste a esta formula:

....2vo^2*cosa*sen(a-b)
r=-----------------------
............g*(cos b)^2


no logro comprenderla......

[Al2000]

Re: tiro parabolico (maximos y minimos)

Supongo que la pregunta es para javier m, que fue quien propuso la pregunta original. Imagino que la pregunta original proviene de algún libro como problema para hallar el ángulo "a". En el mensaje #10 está deducida esa ecuación.

Saludos,

Al