Otras carreras Problemas de equilibrio

[fede0163]

Hola, tengo los siguientes ejercicios:

1) Un automóvil de 1500 kg tiene una base en las ruedas (la distancia entre los ejes) de 3.0 m. El centro de masa del automóvil está sobre la línea central en un punto a 1.2 m detrás del eje frontal. Encuentre la fuerza ejercida por el suelo sobre cada rueda.

2)La barra de la figura de masa M y longitud L se sostiene del techo mediante dos resortes de constante elástica k1 y k2 y longitudes naturales nulas. Se sabe que la barra se mantiene horizontal y en equilibrio cuando una persona de masa m se para a una distancia d = L/3 medida desde el resorte de constante elástica k1. Para que esto sea posible, ¿cual es la relación entre las constantes elásticas de los resortes?

Las opciones son:

1)$\dst \frac{k_1}{k_2}=1$
2)$\dst \frac{k_1}{k_2}= \frac{4m + 3M}{2m + 3M}$
3)$\dst \frac{k_1}{k_2}= \frac{1}{3}$
4)$\dst \frac{k_1}{k_2}= \frac{3m + 4M}{3m + 2M}$
5)$\dst \frac{k_1}{k_2}= \frac{2}{3}$



Desde ya muchas gracias.

[GNzcuber]

Re: Problemas de equilibrio

Hola fede,

1) El peso del automóvil es de $\dst P_{auto}=m_{auto}\cdot g$, las cuatro ruedas tienen que soportar todo ese peso, las dos delanteras soportaran la misma fracción y las traseras las misma fracción entre sí también.

Conocemos la posición del centro de masas medido desde el eje delantero así que (para simplificar cálculos pensemos en un eje coordenado unidimensional en el que el origen se encuentra en el eje delantero):

$$\dst x_{CM}=\frac{2x_0\cdot m_A+2d\cdot m_C}{m_{auto}}=\frac{2\cdot 0\cdot m_A+2\cdot 3m\cdot m_C}{1500kg}=1.2m$$

Despejamos:

$$\dst m_C=\frac{1.2m\cdot 1500kg}{6m}=300kg$$

$$\dst m_A=m_{auto}-m_C=1500kg -300kg=1200kg$$

Perdón, creo que no he explicado la notación, he tomado A como el eje delantero y C como el trasero.

2) Los resortes en paralelo se alargan lo mismo en este caso, así que:

$$\dst \left.\begin{aligned}F_{k1}=k_1\cdot \Delta y=a(m+M)\cdot g\\F_{k2}=k_2\cdot \Delta y=(1-a)(m+M)\cdot g\end{aligned}\right\}\frac{a(m+M)}{k_1}=\frac{(1-a)(m+M)}{k_2}\rightarrow \frac{k_1}{k_2}=\frac{a}{1-a}$$

Donde a, es la fracción de peso que le corresponde, ¿De dónde se saca esa proporción? Nuevamente del centro de masas, ahora desconocido:

$$\dst x_{CM}=\frac{d\cdot m+(L/2)\cdot M}{m+M}$$

a, está relacionado con la distancia al centro de masas (podría haberse hecho por equilibrio de torques respecto el centro de masas):

$$\dst a=\frac{L-x_{CM}}{L}$$

En fin:

$$\dst \frac{k_1}{k_2}=\frac{L-x_{CM}}{x_{CM}}=\frac{2L(m+M)-2dm-LM}{2dm+LM}=\frac{2m(L-d)+LM}{2dm+LM}$$

Mmm... me parece que no hay final feliz :P.

Un momento voy a intentarlo de otra forma, mientras tanto lo dejo por si ves un error.

[lucass]

Re: Problemas de equilibrio

te falta hacer d = L/3 !!

[GNzcuber]

Re: Problemas de equilibrio

Gracias a lucass podré continuar con mi objetivo . Aunque otro objetivo que tendré presente será leer las veces que haga falta los enunciados :P.

De la ecuación (7):

$$\dst \frac{k_1}{k_2}=\frac{2m\left(L-\frac{L}{3}\right)+LM}{2\frac{L}{3}m+LM}=\frac{4m+3M}{2m+3M}$$

Que coincido con la b).

¡Saludos!