1r ciclo Un carretel cilíndrico se encuentra unido mediante una cuerda ideal a una masa...

[Templario777]

Un carretel cilíndrico se encuentra unido mediante una cuerda ideal a una masa m
como muestra la figura. El radio del cilindro interno es la mitad del radio externo R. El carretel tiene una masa M = 3/2 m y un momento de inercia I = 9MR2/4 en relación a su
eje de simetría. Halle la aceleración del centro de masa del carretel si éste rueda sin deslizar sobre el piso entorno al cilindro de menor radio.

Lo que hice fue tomar el punto de contacto instantáneo como centro de rotación y modifique así el momento de inercia, pero no llego a ninguna respuesta, ¿qué hago mal al razonar esto?

SaluT777!

[GNzcuber]

Re: Un carretel cilíndrico se encuentra unido mediante una cuerda ideal a una masa...

Hola,

A ver si esta vez puedo ayudar :P.

A mí también se me ocurrió de esa manera, así que vamos a ver si mis cálculos coinciden con los tuyos. Yo de estos ejercicos no he hecho :'(.

El nuevo eje de simetría, pero instantáneo será (por el teorema de Steiner) :

$$\dst I=I_{CM}+M\cdot k^2=\frac{9MR^2}{4}+M\left(\frac{R}{2}\right)^2=\frac 5 2 MR^2$$

Al cilindro se le aplica una fuerza tangencial que genera el movimiento dinámico:

$$\dst \left.\begin{aligned}\tau=\frac{3R}{2}F=I\cdot \alpha\\ F=m\cdot g\end{aligned}\right\}\alpha=\frac{3R\cdot m\cdot g}{2I}=\frac{3mg}{5MR}$$

Sustituyendo la relación entre las masas:

$$\dst \alpha= \frac{2g}{5R}$$

Como rueda sin deslizar podemos hallar su aceleración tangencial a una distancia R/2, ya que la aceleración angular es la misma para cualquier punto.

$$\dst a=\frac{1}{2}R\cdot \alpha=\frac{1}{5}g=0.2g$$

Puedes observar que a mi tampoco me ha dado nada parecido. Bueno, se acerca bastante a la b), pero no he hecho aproximaciones, me debería dar en todo caso igual.

[Al2000]

Re: Un carretel cilíndrico se encuentra unido mediante una cuerda ideal a una masa...

Hay dos puntos que creo están incorrectos en tu planteamiento, pero no llego a una de las soluciones ofrecidas, así que probablemente estoy haciendo algo mal. Lo que creo que está mal es que la fuerza que ejerce la cuerda no es $F = m g$ sino mas bien $F = m(g-a_1)$, llamando $a_1$ la aceleración de la masa $m$. Lo otro es que la aceleración del centro de masa del cilindro debe ser la mitad de la aceleración de cuerpo que cae, ya que gira con un radio la mitad de la parte que suelta la cuerda. Hice estas correcciones y obtuve (2/11) g, lo cual no cuadra con ninguna de las respuestas. Revisaré a ver si consigo donde me equivoco.

Saludos,

Al

[GNzcuber]

Re: Un carretel cilíndrico se encuentra unido mediante una cuerda ideal a una masa...

Muchas gracias Al, ahora mismo no puede clicar el botón de "Gracias" porque no me aparece, pero ya lo haré .

La aceleración que denotas como $\dst a_1$ no debe ser necesariamente el doble de la del centro de masas del cilindro, ya que el radio instantáneo es de $\dst \frac{3R}{2}$ y la aceleración del centro de masas sería de $\dst \frac{R}{2}\alpha$, ya que se mueve por una recta paralela a esta distancia del carril.

$$\dst \left.\begin{aligned}\tau=\frac{3}{2}R\cdot F=I\cdot \alpha\\F=m(g-a_1)\\a_1=\frac{3}{2}R\cdot \alpha\end{aligned}\right\}I\cdot \alpha=\frac{3R}{2}m\left(g-\frac{3R}{2}\alpha\right)=\frac{3R}{2}mg-\frac{3R^2}{2}M\alpha=$$

$$\dst \alpha\left(4MR^2\right)=MRg\Rightarrow \alpha=\frac{g}{4R}$$

Ahora lo que decía antes, que el centro de masas se mueve en una recta que paralela al riel.

$$\dst a_{CM}=\frac{R}{2}\alpha=\frac{g}{8}=0.125g$$

Que corresponde con la d).

¡Yuju! .

¡Saludos!

[Al2000]

Re: Un carretel cilíndrico se encuentra unido mediante una cuerda ideal a una masa...

Muchas gracias Al, ahora mismo no puede clicar el botón de "Gracias" porque no me aparece, pero ya lo haré .
...

Olvídalo, mejor te doy las gracias yo a ti

Saludos,

Al

PD. Un comentario adicional (tratando de salvar la honrilla). Cuando determiné la relación de las aceleraciones, mi análisis, incorrecto por incompleto, fue que al girar un cierto ángulo $\theta$ el cilindro libera una cantidad de cuerda $R \theta$ mientras que avanza solamente $\frac R 2 \theta$. Entonces concluí que la aceleración del cuerpo era el doble que la del centro de masa del cilindro.

El error fue pasar por alto que la distancia que se mueve el cuerpo suspendido es la longitud de la cuerda liberada mas la distancia que avanza el cilindro, es decir, $R \theta + \frac R 2 \theta = \frac 3 2 R \theta$. Entonces lo correcto hubiese sido decir que la aceleración del cuerpo suspendido es el triple que la aceleración del centro de masa del cilindro. Por supuesto que esa es la relación que tu usaste.

[Templario777]

Re: Un carretel cilíndrico se encuentra unido mediante una cuerda ideal a una masa...

Hola GN y Al,

no me doy cuenta por qué $F = m(g-a_1)$, yo consideraba $F = m g$ que esta mal pero no sé por qué.

T777

[Al2000]

Re: Un carretel cilíndrico se encuentra unido mediante una cuerda ideal a una masa...

...
no me doy cuenta por qué $F = m(g-a_1)$, yo consideraba $F = m g$ que esta mal pero no sé por qué.
...

El cuerpo que cuelga no está estático. La sumatoria de fuerzas (tensión menos peso) será igual a masa x aceleración.

Saludos,

Al