1r ciclo Una bolita de masa m unida a un resorte...

[Templario777]

Hola,

una bolita de masa m unida a un resorte de constante elástica k realiza oscilaciones armónicas de amplitud A sobre una superficie horizontal sin rozamiento. A la distancia A/2 de la posición de equilibrio se coloca una plancha de acero de gran masa perpendicular a la dirección de oscilación (eje x), contra la cual la bolita choca. El choque de la bolita con la plancha es perfectamente elástico, y de duración despreciable. Hallar el período de las oscilaciones en este caso.

El problema me sale pero de forma "re" manual, es decir, calculo el tiempo que le lleva ir y volver desde la posición de equilibrio hasta el extremo derecho, luego el tiempo que le lleva ir hasta chocar con la placa y por último lo que queda usando una aceleración promedio, pero no he podido llegar a obtener una expresión tan bonita como la que aquí nos proponen, así que hay algo que no logro ver con la suficiente claridad.

SaluT777!

[Al2000]

Re: Una bolita de masa m unida a un resorte...

La respuesta que consigo es la c). Te detallo como...

Primero hay que reconocer que dadas las condiciones del problema (plancha de gran masa, choque perfectamente elástico y duración despreciable del choque) la dinámica del movimiento es solamente afectada en el hecho que que la bolita se devuelve de su movimiento hacia la derecha mas pronto que si completara la oscilación. De resto, su energia, velocidad, etc, luego del choque serán las mismas que si hubiese completado el ciclo y se devolviese normalmente.

El período de oscilación de un MAS es $\dst T = 2 \pi \sqrt {\frac m k}$. Entonces el nuevo período modificado será medio período normal (la oscilación hacia la izquierda) mas dos veces el tiempo que tarde en recorrer la mitad de la amplitud hacia la derecha. Si la posición está dada por

$$x = A \, \mathrm {sen} \, (\omega t)$$

entonces el tiempo empleado en recorrer media amplitud será

$$\frac A 2 = A \, \mathrm {sen} \, (\omega \Delta t) \quad \Rightarrow \quad \Delta t = \frac \pi {6 \omega} = \frac \pi 6 \sqrt {\frac m k}$$

Entonces el nuevo período es

$$T' = \frac T 2 + 2 \Delta t \quad \Rightarrow \quad \boxed {T' = \frac {4 \pi} 3 \sqrt {\frac m k}}$$

Saludos,

Al

[Templario777]

Re: Una bolita de masa m unida a un resorte...

Brillante Al, como siempre.

Al menos me quedo contento porque hice lo mismo que tú Al, salvo un detalle no tan menor, el cual se me escapo (al trabajar en radianes) que el ángulo al ser de 30°, en radianes equivale a [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ... Para salvar la honrilla como alguien que conozco.

Abrazo.
T777

[Metaleer]

Re: Una bolita de masa m unida a un resorte...

Una cosa, Templario777, debes corregir el enunciado - en el dibujo pone $A/2$ y en el enunciado textual pone $A/b$.

[Templario777]

Re: Una bolita de masa m unida a un resorte...

Buena observación, al parecer todos nos hemos dado cuenta de ese error, igualmente lo acabo de corregir en la parte escrita por si acaso alguien viene luego.

Hilo cerrado.

SaluT!
T777