1r ciclo Una bomba se encuentra en reposo sobre un piso horizontal sin rozamiento

[Templario777]

Hola,

una bomba se encuentra en reposo sobre un piso horizontal sin rozamiento (plano (i,k)).
La bomba explota en 3 trozos cuya relación entre masas es: m3 = 3m1 y m2 = 2m1. Luego de la explosión las velocidades de m1 y m2 son v1 = v0 ( i + 3/2 j + k/2) y v2 = v0 ( i + j – k), respectivamente, siendo v0= cte. La energía cinética total de las tres masas es igual a 8m1v02

¿Cuánto vale la componente vertical de la velocidad de la masa m3?

Yo lo que planteé fua la conservación del momento lineal en la dirección j (la vertical) y halle la componente vertical de la velocidad de la masa m3, el asunto es que no llego a ninguna respuesta que allí este.

¿El momento lineal no se conserva en la explosión?

SaluT!
T777

[GNzcuber]

Re: Una bomba se encuentra en reposo sobre un piso horizontal sin rozamiento

Hola Templario777,

Para que se conserve el momento lineal tiene que haber la condición que la resultante de las fuerzas externas sobre cada cuerpo sea nula. En este caso es difícil de considerar, ya que según el dibujo, todos salen lanzados hacia arriba ¿Por qué? Porque está la normal que impide que atraviesen el suelo, a menos que la fuerza con la que incidan sea superior a la que puede ofrecer el suelo.

Por otra parte podemos tomar la explosión como isotrópica (que se reparte de igual manera en el espacio) y decimos que la energía potencial de la bomba se dividió en dos energías iguales, la ofrecida al suelo y con la que se lanzaron cada uno de los trozos de la bomba.

Para que veas un poco más, si aplicamos la conservación del momento y sabemos que dos se han ido en el eje positivo de las y's, pues el tercer trozo necesariamente debería atravesar el suelo. Siguiendo a la figura no sucede así.

No sé cómo hacerlo, pero empecemos a dar ideas :P.

Lo primero saber la energía cinética de la tercera masa:

$$\dst K_1+K_2+K_3=K\Rightarrow K_3=K-K_1-K_2$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$$\dst K_3=\frac{3m_1\cdot v_3^2}{2}=\left(16-\frac{7}{2}-6\right)\frac{m_1\cdot v_0^2}{2}\Rightarrow v_3=\sqrt{\frac{13}{6}}\cdot v_0$$

Supongo que ya habrás llegado a esto, luego me quedo estancado.

[GNzcuber]

Re: Una bomba se encuentra en reposo sobre un piso horizontal sin rozamiento

A ver esto:

Tenemos lo siguiente:

$$\dst v_3=\sqrt{\frac{13}{6}}\cdot v_0\Rightarrow \quad \left(a\, \vec{i}\right)^2+\left(b\, \vec{j}\right)^2+\left(c\, \vec{k}\right)^2=\frac{13}{6}$$

Por otra parte, podemos aplicar la conservación del momento, o hacer un análisis de la velocidad del centro de masas en el plano x-z, ya que en este plano no actúa fuerza externa (el peso y la normal actúan perpendicularmente):

$$\dst \vec{v_{CM}}_{X-Z}=0=\frac{m_1\cdot \vec{v_1}+m_2\cdot \vec{v_2}+m_3\cdot \vec{v_3}}{m_1+m_2+m_3}=\frac{v_0}{6}\left(\vec{i}+\frac{1}{2}\vec{k}+2\vec{i}-2\vec{k}+3a\vec{i}+3b\vec{k}\right)$$

Ya que el centro de masas en el plano XZ no se mueve (estaba en reposo y no actuó ninguna fuerza externa con componente en este plano). Separamos componentes:

$$\dst \begin{aligned}a=-1\\b=\frac{1}{4}\end{aligned}$$

Con estos datos sustituimos en (1) y despejamos $\dst c\vec{k}$:

$$\dst c=\sqrt{\frac{13}{6} - 1 - \frac {1}{16}}\approx 1.05$$

Que está en medio de la d) y e) ¿No puedes escoger la $\dst \frac{ d)\, + e)}{2}$?

A parte que no estoy muy seguro que mis razonamientos sean completamente válidos.

[lucass]

Re: Una bomba se encuentra en reposo sobre un piso horizontal sin rozamiento

Buenas. El problema es medio tramposo, pero se puede razonar. La conservación del momento lineal será válida sólo en los ejes horizontales (del suelo, i y k) ya que en esas direcciones se cumple que no hay fuerzas externas. Como la bomba inicialmente está en reposo tenés $P_x=0$ y $P_z=0$.
El problema está en el eje vertical, por lo que ya dijo GNzcuber, el suelo limita el movimiento de los trozos. Sin embargo ojo, el momento lineal total se conserva en las tres componentes (ya que vale $\dst \sum \vec F_{ext}= \vec 0$) y si dos trozos salen "hacia arriba" el tercero, inmediatamente después de la explosión, será lanzado "hacia abajo" con una rapidez tal que valga la conservación de P. Pero eso vale sólo para el instante inmediatamente posterior a la explosión. Luego el tercer trozo se encontrará con el suelo y su movimiento ya no satisfará la conservación de P (en el eje vertical). Éste movimiento es el que se analiza en este problema.
Por tanto uno debe plantear la conservación del P en los ejes x y z (los del suelo en el dibujo). Esto proporciona las componentes x y z del vector $\dst \vec v_3$. Se obtienen $\dst v_{3x}= -v_0$ y $\dst v_{3z}= \frac {v_0}{2}$.
Luego queda la incógnita todavía de $\dst v_{3y}$ que se encuentra sabiendo la energía cinética de los tres trozos. Esto da como resultado $\dst v_{3y}= \sqrt {\frac {11}{12}} v_0$ que coincide aproximadamente con la opción d).
Cualquier cosa corrijan.
Saludos

[GNzcuber]

Re: Una bomba se encuentra en reposo sobre un piso horizontal sin rozamiento

Hola lucass,

Mira la componente z de $\dst v_3$, a mí esta me dio 1/4 e hicimos lo mismo. Creo que sólo por esto nos da diferente.

¡Saludos!

[lucass]

Re: Una bomba se encuentra en reposo sobre un piso horizontal sin rozamiento

Hola lucass,

Mira la componente z de $\dst v_3$, a mí esta me dio 1/4 e hicimos lo mismo. Creo que sólo por esto nos da diferente.

Cierto. Da distinto porque sumaste mal me parece. Fijate que en k tenés $\frac 1 2 - 2 + 3b = 0$ Esto implica b=1/2.
Un detalle adicional: arriba de todo llamaste b al factor en la dirección de j. Y después usaste b para la dirección k. Esto no cambia el análisis, por supuesto, pero si lo cambiás tu desarrollo queda más preciso, así con lo prolijo queda bien redondeado!!.
Saludos

[GNzcuber]

Re: Una bomba se encuentra en reposo sobre un piso horizontal sin rozamiento

Cierto. Da distinto porque sumaste mal me parece. Fijate que en k tenés $\frac 1 2 - 2 + 3b = 0$ Esto implica b=1/2.
Un detalle adicional: arriba de todo llamaste b al factor en la dirección de j. Y después usaste b para la dirección k. Esto no cambia el análisis, por supuesto, pero si lo cambiás tu desarrollo queda más preciso, así con lo prolijo queda bien redondeado!!.
Saludos

Es cierto, mira que lo acabo de hacer y dio nuevamente lo mismo , voy a tener que practicar las sumas D.

Muchas gracias, tampoco me había dado cuenta que usé en dos ocasiones distintos parámetros representados por la misma letra, y mira que tengo letras para elegir :P.

¡Saludos!