1r ciclo Considere una bola de billar de masa m y radio R inicialmente en reposo...

[Templario777]

Considere una bola de billar de masa m y radio R inicialmente en reposo sobre una mesa horizontal rugosa. En t = 0 se golpea a la bola con un taco en dirección paralela a la mesa a una altura h por encima de su centro de masa (ver figura). El impulso entregado a la bola es I = F∆t, siendo F el valor medio de la fuerza impulsiva en el tiempo ∆t que dura la interacción entre el taco y la bola (tiempo muy pequeño). Determinar el valor de h para que la bola comience a rodar sin deslizar inmediatamente después de ser golpeada con el taco.

Llego a obtener esta expresión que no sé si esta bien y no me doy cuenta como seguir:

$\displaystyle\[\frac{{5Ih}}<br /> {{2m{R^2}}} = \omega \]$

SaluT!
T777

[GNzcuber]

Re: Considere una bola de billar de masa m y radio R inicialmente en reposo...

Hola Templario777,

Recogiendo datos, el momento inercial de una bola respecto su centro de masas es $\dst I_{CM}=\frac{2}{5}MR^2$.

Para que ruede sin deslizar se debe cumplir la siguiente condición: $\dst a_{CM}=\alpha\cdot R$.

La fuerza que ejerce el taco la podemos descomponer en una radial, que será la que le dé el movimiento translacional y en una tangencial, que influirá en la rotación.

$$\dst \tau=R\cdot F\sin(\alpha)=R\cdot F\left(\frac{h}{R}\right)=h\cdot F=I\cdot \alpha$$

$$\dst h=\frac{I\cdot \alpha}{F}=\frac{2}{5}R$$

¡Saludos!

P.D.: No sé si está bien porque ahora no hay opciones .

[Templario777]

Re: Considere una bola de billar de masa m y radio R inicialmente en reposo...

Hola GN,

y cuánto vale F? No utilizas el Impulso?

[GNzcuber]

Re: Considere una bola de billar de masa m y radio R inicialmente en reposo...

Hola Templario777,

El impulso te lo han dado como un dato "extra", porque si no me lo hubiesen dado ya sabría que $\dst I=F\cdot \Delta t$. Es una fórmula al igual que $\dst F=m\cdot a$.

Concretamente el impulso se define como la variación de cantidad de movimiento, y si hay una variación es porque ha actuado una fuerza externa sobre ese sistema:

$$\dst \vec{I}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}{d}t=\int _{p_1}^{p_2}\frac{{d}\vec{p}}{{d}t}{d}t=\int_{p_1}^{p_2}{d}\vec{p}=\Delta \vec{p}$$

Por cierto, la $\dst I$ que utilizo es el momento de inercia.

Y si no ves el paso (2), por las dudas te lo explicito más:

$$\dst h=\frac{I\cdot \alpha}{F}=\frac{2MR(R\cdot \alpha)}{5F}=\frac{2MR\cdot a}{5F}=\frac{2MR}{5F}\left(\frac{F}{M}\right)=\frac{2}{5}R$$

¡Saludos!

[Metaleer]

Re: Considere una bola de billar de masa m y radio R inicialmente en reposo...

La segunda ley de Newton nos dice que

$$\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} \Rightarrow F dt = m dv$$

En el instante $t = 0^-$, se tiene que $v(0^-) = 0$, y en el instante $t = 0^+$ vale $v(0^+)$, por tanto la integración nos lleva a (la fuerza $F$ la suponemos constante ya que se trata del valor medio)

$$F \int_{0^-}^{0^+} dt = m\int_0^{v(0^+)} dv \Rightarrow \boxed{F \Delta t = m v(0^+)}$$

La segunda ley de Newton para la dinámica de la rotación es

$$\mathbf{M} = \frac{d\mathbf{L}}{dt} \Rightarrow M dt = I d \omega$$

pero $M = h F$ en este caso, e integrando entre los límites de antes, con $\omega(0^-) = 0$

$$hF \int_{0^-}^{0^+} dt = I \int_0^{\omega(0^+)}d \omega \Rightarrow \boxed{hF \Delta t = I \omega(0^+)}$$

La condición de que ruede sin deslizar desde el primer instante es que

$$\boxed{v(0^+) = \omega(0^+) R}$$

Combinando las dos ecuaciones obtenidas anteriormente con (5), tenemos

$$\frac{F \Delta t}{m} = \frac{h F \Delta t}{I} R$$

que con $\displaystyle I = \frac{2}{5}mR^2$, nos permite obtener el valor de $h$

$$\boxed{h = \frac{2}{5}R}$$

que no es sino el resultado obtenido por GNzcuber.

Saludos.

[Templario777]

Re: Considere una bola de billar de masa m y radio R inicialmente en reposo...

Hola Metaleer y GNzcuber,

me ha quedado más claro que antes, el problemilla lo tengo en que uds. han considerado solo la componente tangencial del impulso, la cual afectaría solamente a la rotación, pero que sucede con la componente radial del impulso, no afecta en nada a la rotación?

Me explayo un poco más... La componente radial no genera una torca por lo tanto no afecta a la rotación, pero quiero decir, esa componente radial de la fuerza del impulso, la podemos descomponer nuevamente en 2 vectores, uno perpendicular al piso y otro paralelo, el 1ro. "presionaría" a la esfera contra el piso con lo cuál aumentaría la F roz... y el 2do. aceleraria el centro de masas de la esfera por lo tanto este último afectaría (bajo la condición de que no exista deslizamiento) a la velocidad angular, asunto que uds. no han considerado en los cálculos y no logro darme cuenta por qué.

Nota: La respuesta correcta al valor de h es la que uds. han descubierto.

SaluT!
T777

[Metaleer]

Re: Considere una bola de billar de masa m y radio R inicialmente en reposo...

Hola Metaleer y GNzcuber,

me ha quedado más claro que antes, el problemilla lo tengo en que uds. han considerado solo la componente tangencial del impulso, la cual afectaría solamente a la rotación, pero que sucede con la componente radial del impulso, no afecta en nada a la rotación?

Me explayo un poco más... La componente radial no genera una torca por lo tanto no afecta a la rotación, pero quiero decir, esa componente radial de la fuerza del impulso, la podemos descomponer nuevamente en 2 vectores, uno perpendicular al piso y otro paralelo, el 1ro. "presionaría" a la esfera contra el piso con lo cuál aumentaría la F roz... y el 2do. aceleraria el centro de masas de la esfera por lo tanto este último afectaría (bajo la condición de que no exista deslizamiento) a la velocidad angular, asunto que uds. no han considerado en los cálculos y no logro darme cuenta por qué.

Nota: La respuesta correcta al valor de h es la que uds. han descubierto.

SaluT!
T777

No entiendo, el impulso es $\displaystyle\mathbf{I} = \int_{0^-}^{0^+} \mathbf{F} dt = \int_{0^-}^{0^+} (F \boldsymbol i + 0 \boldsymbol j + 0 \boldsymbol k) = F \boldsymbol i \int_{0^-}^{0^+} dt$. Sólo tiene componente en dirección del eje de las $X$.

Por otra parte, para el momento que genera la fuerza responsable de este impulso, tienes que caer en la cuenta de que puedes tomar momentos desde el centro de la esfera deslizando el vector $F$ hasta que coincida su punto de aplicación con la perpendicular a la línea de acción de esta fuerza. Mira este enlace, ahí explica que para el módulo del momento no es necesario hacer el producto vectorial y luego mirar el seno y usar identidades trigonométricas ni nada de eso, sólo tienes que mirar la distancia entre el punto y la línea de acción.

Saludos.

[Templario777]

Re: Considere una bola de billar de masa m y radio R inicialmente en reposo...

Lo que digo, es que el vector F se puede descomponer en 2 vectores, uno en la dirección radial y el otro en la dirección tangencial, no? Bien, el tangencial es el que produce la rotación, pero el radial que efectos genera?

[Metaleer]

Re: Considere una bola de billar de masa m y radio R inicialmente en reposo...

Lo que digo, es que el vector F se puede descomponer en 2 vectores, uno en la dirección radial y el otro en la dirección tangencial, no? Bien, el tangencial es el que produce la rotación, pero el radial que efectos genera?

El asunto es que no es necesario considerar dos componentes y ver qué efecto produce cada componente en el movimiento de la esfera, sólo tienes que obtener el módulo del momento (y colocar el signo adecuado, desde lugo) con respecto al centro de la esfera, y para eso basta con efectuar el producto $Fh$, razonando como antes, es decir, tratando la fuerza como un vector deslizante.

Por otra parte, si quieres razonarlo de esta manera, sale lo mismo; la componente radial no da momento ya que $\sin(180^\circ) = 0$. Para la componente tangencial, $\mathbf{r}$ (es decir, el vector de módulo $R$ que parte del centro y acaba en el punto de aplicación de $F$) y la componente tangencial forman $90^\circ$, y además puedes deducir por trigonometría que la fuerza tangencial es $\displaystyle F_t = \frac{Fh}{R}$, al final tienes que

$$M = F_t \cdot R \cdot \sin(90^\circ) = \frac{Fh}{R} \cdot R \cdot 1 = F h$$

Saludos.

[Templario777]

Re: Considere una bola de billar de masa m y radio R inicialmente en reposo...

Si eso lo tengo claro, sigues sin responder a mi pregunta Metaleer, cuando puedas detente a pensarla y me contestas, ¿qué efectos en el movimiento de la esfera genera la componente radial de la fuerza del impulso?

Por ejemplo si a esta misma esfera le hacemos un impulso en $h = 0$, sabemos que la esfera no rotara porque no hay torque, pero la esfera sí se tendrá que deslizar a menos que su Fuerza de rozamiento asi lo impida, acá me equivoco ¿no? La propia Fuerza de rozamiento es la que genera el torque para que rote.

Volviendo a nuestro problema, la componente radial de la fuerza del impulso generaría una traslación de la esfera pero en tus cálculos no hay nada de esto, acá esta mi problemilla Metaleer.

Saludos,
T777

[GNzcuber]

Re: Considere una bola de billar de masa m y radio R inicialmente en reposo...

Hola Templario777,

La componente radial es la que provoca la translación, y un aumento en la normal, ésto es lo que hace saltar a las bolas cuando no se les pega por abajo. La componente radial se divide nuevamente en una paralela a la superficie por la cual se deslizará/rodará la bola y otra que es el aumento de la normal.

Metaleer está teniendo en cuenta ésto, fíjate la ecuación (1) y (2), vemos que hay un cambio en el momento lineal, ésto se debe a la velocidad de translación. También puede deberse a la rotación, está claro. Pero fíjate que lo que hace es decir que todo el impulso se invierte en la variación de momento lineal, es decir, en la velocidad de translación.
Luego, como el golpe no es en dirección del centro de masas, habrá un momento cinético, recordando la definición: $\dst \tau=r\cdot F\cdot \sin(\theta)=I\cdot \alpha$, se puede decir que la fuerza F aplicada a una distancia h del centro de masas hace que éste sistema gire sobre su centro con una aceleración angular alfa, mientras que la bola opone una resistencia de I a adquirir el movimiento de rotación.

No sé si ha quedado más claro... si es que lo he dicho bien .

¡Saludos!

[Metaleer]

Re: Considere una bola de billar de masa m y radio R inicialmente en reposo...

Si eso lo tengo claro, sigues sin responder a mi pregunta Metaleer, cuando puedas detente a pensarla y me contestas, ¿qué efectos en el movimiento de la esfera genera la componente radial de la fuerza del impulso?

Por ejemplo si a esta misma esfera le hacemos un impulso en $h = 0$, sabemos que la esfera no rotara porque no hay torque, pero la esfera sí se tendrá que deslizar a menos que su Fuerza de rozamiento asi lo impida.

Volviendo a nuestro problema, la componente radial de la fuerza del impulso generaría una traslación de la esfera pero en tus cálculos no hay nada de esto, acá esta mi problemilla Metaleer.

Saludos,
T777

En nuestro problema, sólo nos interesa qué ocurre justo antes de darle con el taco a la bola, ($t = 0^-$), es decir, cuando la fuerza todavía no ha actuado y todas las magnitudes cinemáticas son nulas, y justo después del impacto ($t = 0^+$), cuando la fuerza ya ha dejado de actuar y las magnitudes cinemáticas ya han pasado a tener un valor instantáneo, pero no obstante, la bola todavía no se ha movido. Aquí lo interesante es darse cuenta qué ocurre justo antes y justo después del impacto, y poder escribir la condición de rodar sin deslizar para poder despejar la altura. Esto es así porque el tiempo $\Delta t$ es un tiempo muy pequeño tal y como te dicen en el enunciado. Reitero, en todos los instantes de tiempo que consideramos, es decir, $0^- \leq t \leq 0^+$, no hay traslación. Otra cosa totalmente diferente es qué ocurre después de $t=0^+$, pero en nuestro problema eso no nos importa.

Veamos el caso $h = 0$ que propones.

Utilizando las mismas ecuaciones que antes vemos que

$$mv(0^+) = F \Delta t \Rightarrow \boxed{v(0^+) = \frac{F \Delta t}{m}}$$

$$I\omega(0^+) = 0 \Rightarrow \boxed{\omega(0^+) = 0}$$

donde he puesto recuadros porque son condiciones iniciales que hacen falta. Una vez que el taco retrocede y la fuerza ya ha sido comunicada, hay que tirar de la segunda ley de Newton, tanto para el centro de masa, y también para el movimiento de rotación, es decir

$$\mathbf{F} = m \mathbf{a}_\text{cm}$$

$$M = I \alpha$$

La normal, como siempre, se compensa con la fuerza gravitatoria, y así $F_r = \mu N = \mu mg$. En el eje $X$ sólo actúa esta fuerza de rozamiento, y por tanto:

$$ma_\text{cm} = - \mu mg \Rightarrow a_\text{cm} = - \mu g$$

Recordando que $\displaystyle a_\text{cm} = \frac{d v_\text{cm}}{dt}$, separando variables e integrando:

$$v_\text{cm}(t) = v(0^+) - \mu g t = \frac{F \Delta t}{m} - \mu g t$$

Haciendo algo parecido con la segunda ley de Newton para la dinámica de la rotación llegas a

$$\omega(t) = \omega(0^+) + \frac{\mu m gR}{I}t = \frac{\mu m gR}{I}t$$

Te dejo como ejercicio decir cuándo la bola empieza a rodar sin deslizar.

Y estas son las ecuaciones temporales de las magnitudes cinemáticas una vez que la pelota ya ha recibido ese impulso inicial. Lo que quiero que veas con todo esto es que en nuestro problema, piden que trabajemos de forma implícita con las condiciones iniciales, y que no con las ecuaciones instantáneas de las magnitudes cinemáticas o dinámicas; todo el análisis es para ese primer instante justo antes de que la pelota sienta ese impulso, y justo después, y en todo este tiempo infinitesimal la pelota todavía no se ha movido, por tanto no tiene sentido plantear eso que pides. Eso sí, ahora tienes las condiciones iniciales y puedes ver cómo evolucionan las magnitudes cinemáticas como función del tiempo.

Saludos.