1r ciclo Una masa de valor 2M atada a una cuerda pasa por una polea...

[Templario777]

En la figura se muestra una masa de valor 2M atada a una cuerda, inextensible y sin masa, que pasa por una polea con masa M y radio R. El otro extremo de la cuerda se ata al eje de un cilindro que tiene radio 2R y masa 3M. El cilindro está apoyado en una cuña de ángulo θ fija al suelo. Entre el cilindro y la cuña existe un coeficiente de rozamiento µs que asegura
la rodadura sin deslizar y, durante el movimiento, la cuerda no desliza sobre la polea. En estas condiciones, encuentre la aceleración de la masa 2M.

La verdad que no me doy cuenta donde cometo el error, asì que les pongo mi planteo para que vean:

Sobre 1: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Sobre 2: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Sobre 3: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

donde [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y utilizo las relaciones siguientes para despejar [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] :

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

No estoy siendo capaz de llegar a alguna respuesta.

SaluT!
T777

[GNzcuber]

Re: Una masa de valor 2M atada a una cuerda pasa por una polea...

Hola Templario777,

Yo también lo plantearé, en principio no veo ningún error, tengo mis dudas sobre la última relación.

Sobre el primer cuerpo (tomando como positivo el sentido "hacia abajo"):

$$\dst 2Mg-T_1=2Ma_{1}$$

Para que la cuerda no deslice sobre el riel de la polea:

$$\dst T_1R-T_2R=I_{1}\alpha_{1}$$

Sobre el segundo cuerpo:

$$\dst T_2-3Mg\sin(\theta)-F_{roz}=T_2-3Mg\left(\sin(\theta)-\mu_s\cdot \cos(\theta)\right)=3Ma_2$$

Como la cuerda es inextensible tenemos las siguientes ligaduras:
- Cuerda inextensible: $\dst a_1=a_2$
- La cuerda no desliza sobre la polea: $\dst a_1=R\cdot \alpha_1$
- El segundo cuerpo rueda: $\dst a_2=2R\cdot\alpha_2$
- Veo que de aquí sacas la relación: $\dst \alpha_1=2\alpha_2$

Despejamos $\dst T_1$ de la ecuación (1) y $\dst T_2$ de la ecuación (3) y las sustituimos en (2):

$$\dst \left.\begin{aligned}T_1=2M(g-a)\\T_2=3M\left[a+g(\sin(\theta)-\mu_s\cdot \cos(\theta))\right]\\I_1\cdot \alpha=R(T_1-T_2)\\I_1=\frac{MR^2}{2}\end{aligned}\right\}\frac{a}{2}=2(g-a)+3[g(\mu_s\cdot \cos(\theta)-\sin(\theta))-a]$$

Despejando $\dst a$:

$$\dst 11a=2g[2+3(\mu_s\cdot\cos(\theta)-\sin(\theta))]$$

Como el segundo cuerpo, el que sube por el plano inclinado, rueda sin deslizar:

$$\dst \left.\begin{aligned}\tau=I_2\cdot \alpha_2\\ \tau=2RF_{roz}=6R\mu_s\cdot Mg\cos(\theta)\\ I_2=\frac{3M(2R)^2}{2}\\ \alpha_2=\frac{\alpha_1}{2}\end{aligned}\right\}6\mu_s\cdot RMg\cos(\theta)=3MR^2\alpha_1\rightarrow a=2g\mu_s\cos(\theta)$$

Sustituyendo en (2'):

$$\dst 11a=4g-6g\sin(\theta)+3a\Rightarrow a=\frac{1}{4}g(2-3\sin(\theta))$$

Demonios... conclusión: Todas las opciones son erróneas .

Bueno, ahora debo marchar, a la vuelta revisaré los cálculos.

¡Saludos!

[Editado]= Ya he visto un error, ahora mi solución corresponde con la d), bueno, no exactamente, lo que veo es que la aceleración en vez de cogerse en un sentido la hemos cogido del sentido opuesto.

¡Saludos!

[carmelo]

Re: Una masa de valor 2M atada a una cuerda pasa por una polea...

Hola a todos:
Por lo que estuve viendo la opción correcta es la (b) Si a alguien le interesa luego les paso los cálculos. Tomando como sentido positivo de la aceleración cuando la masa 2M asciende y la masa 3M desciende a lo largo del plano inclinado. Si se supone el sentido contrario se obtiene el signo opuesto obviamente.

Saludos
Carmelo

[Templario777]

Re: Una masa de valor 2M atada a una cuerda pasa por una polea...

Vengan esos cálculos Carmelo, yo sigo haciendo lo mismo sin ver mi error. Efectivamente la respuesta correcta es la b).

SaluT!
T777

[carmelo]

Re: Una masa de valor 2M atada a una cuerda pasa por una polea...

Hola:
Hola a todos, aca, van los cálculos.
Primero que nada yo considero que la masa 2M asciende y por lo tanto la masa 3M desciende a lo largo del plano inclinado. Si se considera un sentido inverso, se va a obtener el mismo valor de la aceleración pero con signo contrario.

Para la masa 2M se tiene:
$T_1-2Mg=2Ma$ de donde $T_1=2Mg+2Ma$ (1)
Para la polea:
$(T_2-T_1)R=\frac12MR^2\alpha_1=\frac12MR^2\displaystyle\frac{a}{R}$ (2)
combinando estas expresiones se tiene:
$T_2=2Mg+2Ma+\frac52Ma$
Para la masa 3M sobre el plano inclinado se tiene:
$3Mg\sin\theta-3Mg\cos \theta\mu_s-T_2=3Ma$
$3Mg\sin\theta-3Mg\cos \theta\mu_s-2Mg=\frac{11}{2}Ma$ (3)
Para el movimiento de rotación de la masa 3M se tiene:
$3Mg\cos\theta\mu_s2R=\frac123M(2R)^2\alpha_2=\frac123M(2R)^2\displaystyle\frac{a}{2R}$ lo cual después de reordenado queda
$3Mg\cos\theta\mu_s=\frac32Ma$ (4)
Sustituyendo en (3) se obtiene:
$3Mg\sin\theta-\frac32Ma-2Mg=\frac{11}{2}Ma$ desarrollando
$3Mg\sin\theta-2Mg=\frac{14}{2}Ma$
$3g\sin\theta-2g=7a$ de donde se obtiene
$a=\displaystyle\frac{g}{7}(3\sin\theta-2)$

Saludos
Carmelo