1r ciclo movimiento relativo

[gaussiano]

Os propongo un problema que al principio me parecio facil, pero no obtengo el resultado tras muchos intentos y no se cual es mi error. Dice asi:
un camion de bomberos sube con v cte de 45 km/h por una pendiente de 12º; lleva montada una manguera a 2,3 m del suelo y a 1 m por detras del frontal del camion. Lanza un chorro de agua a 8m/s de velocidad inicial (respecto a la manguera) y con un angulo de 18º respecto al camion. Calcula la distancia a la que cae el chorro. El resultado del libro es de aprox. 5,6 m
Yo he calculado primero la aceleracion del sistema, tomando como ejes de coordenadas los siguientes: eje X, paralelo a la pendiente y en sentido positivo del movimiento, y el eje Y, perpendicular a este. De esta forma, la aceleracion de la gravedad, g, que es la unica que existe, quedaria asi:
$g= - g cos 12º \hat{\imath}- g sen 12º \hat{\jmath}$
Integro y obtengo v en funcion de t, tomando como vo la de la manguera y sumandole en el eje x la del camion:
$vo(agua)= (8 cos 18º+ 12,5)\hat{\imath}+ 8 sen 18º \hat{\jmath}$
Y luego, integro nuevamente, para obtener el vector de posicion r(t) teniendo encuenta ro, claro.
Igualo la componente vertical y a cero y obtengo el tiempo en caer del agua, pero me sale un valor demasiado alto, de casi 3 segundos y medio. Y no veo donde me equivoco.

[GNzcuber]

Re: movimiento relativo

Hola gaussiano,

Un es un ejercicio interesante, aunque se haya resuelto uno parecido que te puede servir como guía. De todas formas lo intentaré hacer para ver si he aprendido .

Primero hallar la velocidad en las componentes horizontal y vertical respecto a alguien que esté fuera del declive. Éstas resultan de la suma de las componentes en cada eje tanto del agua respecto al camión como el camión respecto al suelo.

$$\dst \left.\begin{aligned}\bold{v_y}=\bold{v_{agua/camion,y}}+\bold{v_{camion/suelo,y}}-\bold{g}\, t=\left(v_1\, \sin(\alpha)+v_0\, \sin(\theta)-gt\right)\vec{j}\\ \bold{v_x}=\bold{v_{agua/camion,x}}+\bold{v_{camion/suelo,x}}=\left(v_1\, \cos(\alpha)+v_0\, \cos(\theta)\right)\vec{i}\end{aligned}\right\}$$

Las ecuaciones de movimiento:

$$\dst \left.\begin{aligned}y=y_{agua/camion}+y_{camion/suelo}=y_1+y_0+\left(v_1\sin(\alpha)+v_0\sin(\theta)\right)t-\frac{1}{2}gt^2\\ x=x_{agua/camion}+x_{camion/suelo}=x_1+x_0+\left(v_1\cos(\alpha)+v_0\cos(\theta)\right)t\end{aligned}\right\}$$

Creo que el sistema (1) no lo usaré para nada. En (2), para hallar la trayectoria que describe una molécula de agua despejamos la t y sustituimos en la otra ecuación del sistema, está claro que lo más fácil es cuando tienes un MRU.

$$\dst y=y_1+y_0+(x-x_1-x_0)\frac{v_1\sin(\alpha)+v_0\sin(\theta)}{v_1\cos(\alpha)+v_0\cos(\theta)}-\frac{g(x-x_1-x_0)^2}{2[v_1\cos(\alpha)+v_0\cos(\theta)]^2}$$

Esto es la ecuación de una parábola, para saber dónde cae el chorro de agua es la intersección de ésta trayectoria y el declive ($\dst y=x\cdot \tan(\theta)$):

Para empezar a simplificar algo los cálculos tomaremos como x = 0 ($\dst x_1+x_0=0$) la posición en x en la cual el camión de bombero lanza el chorro de agua, y la posición del camión en vertical también como cero ($\dst y_0=0$):

$$\dst \frac{g}{2[v_1\cos(\alpha)+v_0\cos(\theta)]^2}x^2+\left(\tan(\theta)-\frac{v_1\sin(\alpha)+v_0\sin(\theta)}{v_1\cos(\alpha)+v_0\cos(\theta)}\right)x-y_1=0$$

Despejamos x:

[tex=*]\displaystyle x=\frac{\frac{v_1\sin(\alpha)+v_0\sin(\theta)}{v_1\cos(\alpha)+v_0\cos(\theta)}-\tan(\theta)\pm\frac{\sqrt{\left(\tan(\theta)[v_1\cos(\alpha)+v_0\cos(\theta)]-v_1\sin(\alpha)-v_0\sin(\theta)\right)^2+2gy_1}}{v_1\cos(\alpha)+v_0\cos(\theta)}}{g/[v_1\cos(\alpha)+v_0\cos(\theta)]}[tex]

[tex=*]\displaystyle x=\frac{v_1\sin(\alpha)+v_0\sin(\theta)-[v_1\cos(\alpha)+v_0\cos(\theta)]\tan(\theta)\pm\sqrt{\left(\tan(\theta)[v_1\cos(\alpha)+v_0\cos(\theta)]-v_1\sin(\alpha)-v_0\sin(\theta)\right)^2+2gy_1}}{g}[tex]

Por último para saber lo que ha recorrido, tenemos:

$$\dst r=\sqrt{x^2+y^2}=x\sqrt{1+\tan^2(\theta)}=x\cdot \sec(\theta)$$

Sustituyendo x:

[tex=*]\displaystyle r=\frac{v_1\sin(\alpha)+v_0\sin(\theta)-[v_1\cos(\alpha)+v_0\cos(\theta)]\tan(\theta)\pm\sqrt{\left(\tan(\theta)[v_1\cos(\alpha)+v_0\cos(\theta)]-v_1\sin(\alpha)-v_0\sin(\theta)\right)^2+2gy_1}}{g\cos(\theta)}[tex]

Algún error debo tener, aunque no lo veo, sustituyendo datos me da apróximadamente 0.8m.

Por cierto, las fórmulas que aparecen en código, no acaban correctamente ([tex] sin barra), porque son muy largas y sale error, es para que las puedas poner en otro editor que acepte mayor rango de imagen.

Ahora a dormir :P.

¡Saludos!

[gaussiano]

Re: movimiento relativo

tu idea de la interseccion es buena pero sigo pensando que es un poco mas engorrosa (lo del error en el resultado no se por que, porque no he visto fallo en tu desarrollo). Echale un vistazo a mi planteamiento (que es mas simple) a ver si a ti se te ocurre donde meto la pata, ya que no nos acercamos al resultado. El ejemplo que me pones de otro hilo es parecido, pero sin movimiento relativo de uno frente a otro. ¿Podria ser que la velocidad del chorro, que dice estar referida a la manguera, fuese en realidad 12,5-8= 4,5 m/s? Lo voy a probar, a ver

[GNzcuber]

Re: movimiento relativo

Hola nuevamente,

Si descompones la aceleración gravitatoria en un eje perpendicular a la superficie del plano inclinado y otra paralela su aceleración debería ser:

$$\dst \bold{g}=-g\cdot \sin(\theta)\, \hat{i}-g\cdot \cos(\theta)\, \hat{j}$$

La ecuación de la velocidad no te ha quedado en función del tiempo y según lo que propones debería variar en ambas direcciones. Aunque supongo que luego lo tienes en cuenta :P.

No sé si has tenido en cuenta que el agua se dispara a 2.3 m por encima de la superficie del plano inclinado (perpendicular a éste).

En mi planteamiento también hay errores, debido a que uso de referencia el suelo (no del plano inclinado), entonces la altura a la que se encuentra la manguera no es $\dst h=y_1$, sinó $\dst h=y_1\cdot \cos(\theta)$. Y además que estuve usando dos movimientos en diferentes direcciones como si estuvieran en la misma. Todas las componentes que separo con alfa, se refieren al movimiento en x e y con respecto al plano inclinado y no con respecto el suelo, para ello debería tomar la suma de los ángulos alfa y teta.

Sustituyendo los resultados en mi nueva fórmula me da 1.04 m, así que aún hay algún error que cometo...

La nueva fórmula:

[tex]\displaystyle r=\frac{v_1\sin(\alpha+\theta)+v_0\sin(\theta)-[v_1\cos(\alpha+\theta)+v_0\cos(\theta)]\tan(\theta)\pm\sqrt{\left(\tan(\theta)[v_1\cos(\alpha+\theta)+v_0\cos(\theta)]-v_1\sin(\alpha+\theta)-v_0\sin(\theta)\right)^2+2gy_1\cos(\theta)}}{g\cos(\theta)}[tex]

Espero que alguien más pueda ayudar.

¡Saludos!

[gaussiano]

Re: movimiento relativo

sí, tienes razon, me equivoco al descomponer g pero aun asi, nada, no llego al resultado. ¿Crees que si pongo la vo del agua en relacion al camion, es decir, a la componente horizontal original, 8 cos 18º o al reves, le quito los 12,5 m/s del camion, tendria sentido? Espero que alguien nos ilumine,jeje

[gaussiano]

Re: movimiento relativo

ya está, GNzcuber, no me salian los 5,6 m malditos de distancia del chorro al frontal del camion porque lo he tratado todo este tiempo en estatico, como si el camion no prosiguiera su marcha, y en 0,997 s que, despues de tu correccion en la descomposicion de g, que tarda el chorro en caer, y calcular el valor de la componente horizontal, hay que descontar los casi 12,5 m que anda el camion y el metro de atraso que tiene en su salida, y ahora sí que sale. Gracias de nuevo por tu aportacion.

[GNzcuber]

Re: movimiento relativo

Ahora falta saber mi error :P.

Me alegro que ya lo hayas sacado, la próxima debemos tener más cuidado .