1r ciclo Centro de gravedad de un tubo.

[Joey]

¿Hasta que altura se debe verter hormigón en un tubo vertical de 2 metros de longitub, 0,5 metros de diámetro y 200 kg de masa para que el centro de gravedad del conjunto esté lo más bajo posible? Densidad del hormigon, 2400 Kg/m^3.

Para empezar no se ni calcular el centro de masa cuando el tubo está vacío. Si estuviera cerrado sería el centro geométrico, pero al estar abierto por un extremo no se...

[GNzcuber]

Re: Centro de gravedad de un tubo.

Hola Joey,

Ahora marcho y no te puedo ayudar, pero mira este hilo

[Al2000]

Re: Centro de gravedad de un tubo.

¿Hasta que altura se debe verter hormigón en un tubo vertical de 2 metros de longitub, 0,5 metros de diámetro y 200 kg de masa para que el centro de gravedad del conjunto esté lo más bajo posible? Densidad del hormigon, 2400 Kg/m^3.

Para empezar no se ni calcular el centro de masa cuando el tubo está vacío. Si estuviera cerrado sería el centro geométrico, pero al estar abierto por un extremo no se...

Cuando el tubo se encuentre lleno hasta una altura $h$, el centro de masa estará en la posición

$$y_\text{CM} = \frac {\lambda_\text {tubo} (L-h) \cdot \frac 1 2 (L+h) + (\lambda _\text {tubo}+\lambda _\text {hormigon}) h \cdot \frac 1 2 h}{\lambda_\text {tubo} (L-h) + (\lambda _\text {tubo}+\lambda _\text {hormigon}) h }$$

$$y_\text{CM} = \frac 1 2 \frac {\lambda_\text {tubo}\, L^2 + \lambda _\text {hormigon}\, h^2}{\lambda_\text {tubo}\, L + \lambda _\text {hormigon}\, h}$$

donde $L$ es la longitud del tubo, $\dst \lambda_\text {tubo} = M_\text {tubo}/L$ y $\dst \lambda _\text {hormigon}= \rho _\text {hormigon} \left(\frac \pi 4 D_\text {tubo}^2\right)$

Saludos,

Al

[Metaleer]

Re: Centro de gravedad de un tubo.

Para dar fundamento a la fórmula expuesta por Al2000, voy a explicar una forma de obtenerla.

En este problema se puede hacer uso del principio de superposición: cuando el tubo se encuentra lleno hasta una cierta altura $h$ de hormigón, podemos descomponer el sistema en tres partes: el tubo vacío, el tubo totalmente lleno, y menos la parte de arriba que se queda sin llenar. Es decir, hacemos uso de la definición de centro de masa (para sistemas discretos, ya que ya hemos obtenido los centros de masa de cada una de las tres partes, que a su vez son sistemas continuos de masa), y usamos una masa negativa donde resulte útil:

$$x_\text{g} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3} x_i m_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{3} m_i}$$

donde $x_1 = \frac{1}{2}H$, $x_2 = \frac{1}{2} h$, y $x_3 = \frac{1}{2} (H+h)$, con $h$ la altura llenada y $H$ la altura del tubo. Para las masas, tenemos que $m_1 = M$, $m_2 = \rho h \pi \frac{D^2}{4}$ y $m_3 = - \rho (H-h) \pi \frac{D^2}{4}$, donde $M$ es la masa del tubo (vacío), $\rho$ es la densidad del líquido que consideras, y $D$ es el diámetro del tubo. Juntándolo todo en (1), deberías obtener la expresión de Al2000 (o algo parecido, no lo he repasado). Como ves, esta expresión es una función de la altura $h$ de hormigón, $x_\text{g}(h)$. El Cálculo Diferencial te proporciona las herramientas necesarias para obtener el mínimo buscado: tienes que derivar una vez con respecto a $h$ e igualarla a cero, e intentar despejar el valor de $h_\text{min}$ buscado. Es aconsejable derivar una vez más para comprobar que se trata de un mínimo relativo de la función $x_\text{g}(h)$.

El cálculo del centro de gravedad del tubo abierto no es difícil. Tenemos la definición de centro de masa para sistemas continuos de masa:

$$x_\text{vacio} = \frac{\displaystyle\int_{\text{tubo}} x dm}{\displaystyle\int_{\text{tubo}} dm}$$

El elemento diferencial de masa, $dm$, no es sino $dm = \sigma dA = \sigma 2 \pi r dx$, donde $r$ es el radio del tubo y $\sigma$ es la densidad superficial de masa, supuesta homogénea. Por tanto:

$$x_\text{vacio} = \frac{\displaystyle\int_{\text{tubo}} x dm}{\displaystyle\int_{\text{tubo}} dm} = \frac{\displaystyle\int_0^H x \sigma 2 \pi r dx}{\displaystyle\int_0^H \sigma 2 \pi r dx}= \frac{\displaystyle\int_0^H x dx}{\displaystyle\int_0^H dx} = \frac{1}{2}H$$

Antes de despedirme, sólo me gustaría agregar un comentario más. Si consideramos la suma $\displaystyle\sum_{i=1}^{3} m_i$, desarrollándola obtenemos $\displaystyle\sum_{i=1}^{3} m_i = M + 2 h \rho \pi \frac{D^2}{4} - H \rho \pi \frac{D^2}{4}$, es decir, la masa del tubo vacío más dos veces la masa del hormigón menos la masa del tubo supuesto lleno del todo; como ves, tiene su lógica, con esta superposición también obtenemos nuestro sistema.

Saludos.

[Joey]

Re: Centro de gravedad de un tubo.

Yo estaba suponiendo que el tubo está cerrado por un extremo, y abierto por el otro. Por eso no sabía como sacarle el centro de masa. ¿Como sería?

[Al2000]

Re: Centro de gravedad de un tubo.

Para hacer lo que te estás imaginando necesitarías conocer el espesor de la pared del tubo para poder determinar la masa del disco que cerraría un extremo. También habría que especificar si el diámetro dado es el diámetro interno o el externo. Nota que en la solución que escribimos Metaleer y yo hemos considerado el diámetro dado como el diámetro interno para determinar el volumen de hormigón. Como no tienes la información del espesor de la pared del tubo debes asumir que el hormigón "no se sale" por abajo, porque el tubo este apoyado en el suelo, por ejemplo.

Saludos,

Al

PD. Por cierto, mi razonamiento fue ligeramente diferente al de Metaleer. Mi superposición fue el pedazo de tubo vacío (L-h) + el pedazo de tubo lleno (h) + el hormigón (h). Cada quien se rasca a su modo...

PD2. Mirando el problema mas tarde me pregunté a mi mismo ¿por que diablos no superpuse simplemente el tubo vacío completo con el segmento de hormigón?, que es precisamente la segunda fórmula luego de simplificar la primera. Bueno, pues no se la respuesta, ya no recuerdo mi esquema mental en ese momento. Mi consuelo es que Metaleer de fue por un camino todavía mas largo

[Metaleer]

Re: Centro de gravedad de un tubo.

Yo estaba suponiendo que el tubo está cerrado por un extremo, y abierto por el otro. Por eso no sabía como sacarle el centro de masa. ¿Como sería?

Es lo que te dice el compañero Al2000, debes suponer que el tubo tiene un espesor infinitesimal (observa que en la integración del tubo vacío he supuesto una densidad de masa superficial, y no volumétrica - no hay datos de radio interno o externo), y además que está abierto por ambos extremos (apoyado por debajo, por ejemplo, sobre el suelo para que no salga hormigón), ya que el enunciado no te dice nada sobre una posible tapadera, sólo que lo consideres como un cilindro.

Saludos.

[Joey]

Re: Centro de gravedad de un tubo.

Y este es uno de lo motivos por los que no apruebo física. Porque aunque sepa mucho, siempre complico los problemas más de lo que en realidad son.

[Metaleer]

Re: Centro de gravedad de un tubo.

Y este es uno de lo motivos por los que no apruebo física. Porque aunque sepa mucho, siempre complico los problemas más de lo que en realidad son.

Es que es lo que tienen los problemas académicos, a veces para no complicar las matemáticas necesarias y/o para obtener resultados no de gran precisión, sino resultados que den expresiones de orden de magnitud, o simplemente para demostrarle al profesor que un alumno comprende una ley física y sabe aplicarla, aunque la situación física presentada dista algo de la realidad, se ponen estos problemas. Por eso un buen físico debe saber qué aproximaciones e idealizaciones hay que realizar para obtener buenos resultados analíticos, cometiendo un error despreciable.

Ya lo dice alguien que conozco, la Física es la ciencia de las aproximaciones...

[Metaleer]

Re: Centro de gravedad de un tubo.

PD2. Mirando el problema mas tarde me pregunté a mi mismo ¿por que diablos no superpuse simplemente el tubo vacío completo con el segmento de hormigón?, que es precisamente la segunda fórmula luego de simplificar la primera. Bueno, pues no se la respuesta, ya no recuerdo mi esquema mental en ese momento. Mi consuelo es que Metaleer de fue por un camino todavía mas largo

Lo que pasa es que hay 20.000 superposiciones posibles, yo lo hice de la primera forma que se me ocurrió. Total, la expresión debe salir exactamente la misma.