1r ciclo Muelle

[Joey]

Un angular rígido formado por dos barras de longitudes $L$ y $2L$ y masa por unidad de longitud 3kg/m, está unido a un muelle sin deformar y se mantiene inmovilizado en la posición de la figura. Determinar el intervalo de valores de las constante $K$ del muelle, para que la barra $AB$ no alcance la posición horizontal una vez liberado el angular.

[Joey]

Re: Muelle

¿No tiene solución? xD

[Xel]

Re: Muelle

wenas ... se puede hacer por conservación de energía ... ¿tienes el resultado a mano?, me da $k \geqslant \frac{6Lg}{3-\sqrt{3}}$

[carmelo]

Re: Muelle

Hola:
Yo he estado viendo este ejercicio, pero no he tenido la suerte que tienes tu de encontrar una solución asi. Por ahora me tengo que conformar con una estimación numérica del valor límite de k, ya que no he encontrado una solución analítica para este ejercicio.
Yo obtengo $k\geqslant k_0$ donde $k_0\approx 246,5 N/m$. El ángulo máximo que puede llegar el sistema es de $\approx 77$° medidos desde la vertical, ya que si supera este valor critico, indefectiblemente "seguira de largo" y pasara por una posición horizontal de la barra AB.

Estaría bueno que otro forista pueda aportar algo para confirmar o refutar este valor. Si alguien está interesado le puedo dar mas detalles de como a sido el procedimiento.

Saludos
Carmelo

[GNzcuber]

Re: Muelle

... Si alguien está interesado le puedo dar mas detalles de como a sido el procedimiento.
...

Yo siempre estaré interesado en aprender .

Desgraciadamente no puedo aportar nada aquí :'(.

¡Saludos!

[Jose D. Escobedo]

Re: Muelle

A mi salio una horrenda ecuacion diferencial que aproxime con mi calculadora y si me sale como lo que respondio Carmelo, me resulto que:$k_{min}\approx 246.31617...$ y un angulo con la vertical $\theta \approx77.179 ...$

[Joey]

Re: Muelle

Lo que os digo, en mi escuela los profesores de física son unos flipados. No se como esperan que un alumno de primero resuelva esto y encima en un exámen donde casi no tienes tiempo para pensar.

¿La ecuación no será armónica por casualidad no?

[Xel]

Re: Muelle

Lo he corregido y me sale esto: $\dst K\geqslant \frac{15Lg}{3-\sqrt{3}}$

Ese chisme tiene un movimiento de oscilación según las condiciones que se plantean, y eso he considerado, que en esa posición del dibujo su velocidad es la máxima y luego alcanza una posición máxima en la que la barra AB está horizontal, que será el limite hasta donde el muelle lo permita girar.

He empleado el método de consevación de energías, que es el más conveniente.

Datos:
$m_{AB} = 3L$
$m_{AC} = 6L$
La longitud del muelle sin estirar es $L\sqrt{3}$.
Usando Steiner saco los momentos de inercia de las barras respecto del punto A:

$\dst I_{AB}^A = \frac{1}{3}m_{AB}L^2$
$\dst I_{AC}^A = \frac{4}{3}m_{AC}L^2$


*POSICIÓN DE MÁXIMO DESPLAZAMIENTO:
Aquí la posición es como una L boca abajo y con el muelle estirado.

$T_1 = 0$

$V_1 =\frac{1}{2}Kx - m_{AC}gL = \frac{1}{2}K(3L-L\sqrt{3}) - m_{AC}gL$

*POSICIÓN DE MÁXIMA VELOCIDAD:
Esta es la posición del dibujo.

$T_2 = \frac{1}{2}I_{AB}^A \dot \theta_{max}^2 + \frac{1}{2}I_{AC}^A \dot \theta_{max}^2$

$V_2 = \frac{1}{2}K\cdot x + m_{AB}g\frac{L}{2} + m_{AC}g\cdot 0 = 0 +m_{AB}g\frac{L}{2} + 0$

Como se conserva la energía, se debe cumplir:

$T_1 + V_1 = T_2 + V_2$

En los M.A.S. la velocidad máxima es la amplitud por la frecuencia natural (o impulso creo que lo llaman por ahí):

$\dot \theta_{max} = \omega_n \cdot \theta_m$

En nuestro caso la amplitud es 90º: $\theta_m = \frac{\pi}{2} rad$

Así que resolviendo la ecuación de conservación obtengo el valor del impulso o frecuencia natural:

$\omega_n = \dst \sqrt{\frac{KL(3-\sqrt{3})-15L^2g }{9L^3\frac{\pi^2}{4}}}$

Así que para que se cumpla la raíz lo del numerador tiene que ser positivo:

$KL(3-\sqrt{3})-15L^2g \geqslant 0$

$\dst K\geqslant \frac{15Lg}{3-\sqrt{3}}$

[Joey]

Re: Muelle

Vale, la cosa es que no veía bien el sentido de giro. Lo pensaba para el otro lado y me volvía loco.

Gracias!

[Xel]

Re: Muelle

ya, el enunciado también despista un poco al decir que lo mantiene inmovilizado en esa posición, cuando resulta que es la posición de máxima velocidad. Y pensaba que sólo giraba 90º.

... el movimiento hace que la barra larga AC vaya de arriba a abajo recorriendo 180º, y haciendo que el muelle se estire y se comprima.

[Xel]

Re: Muelle

sorry chicos ... me he dado cuenta de que la energía potencial elástica del muelle la he expresado mal ... se me ha pasado elevar x al cuadrado .. por suerte x vale cero en la posición de máxima velocidad, pero hay que corregirlo en la posición de máximo desplazamiento, que gracias a dios no hay que hacer apenas cambios en las operaciones ...

.. así que el resultado queda así: $\dst K \geqslant \frac {15g}{(3-\sqrt{3})^2 }$

[Al2000]

Re: Muelle

...
Yo obtengo $k\geqslant k_0$ donde $k_0\approx 246,5 N/m$. El ángulo máximo que puede llegar el sistema es de $\approx 77$° medidos desde la vertical, ya que si supera este valor critico, indefectiblemente "seguira de largo" y pasara por una posición horizontal de la barra AB.
...

A mi salio una horrenda ecuacion diferencial que aproxime con mi calculadora y si me sale como lo que respondio Carmelo, me resulto que:$k_{min}\approx 246.31617...$ y un angulo con la vertical $\theta \approx77.179 ...$

Bueno, sólo quería unirme al club...

Lo que yo hice fue determinar la energía potencial del "chisme" ese obteniendo:

$$U( \theta) = \frac 1 2\, L^2\,\left[k\left(\sqrt{5 + 4 \, \mathrm {sen} \, \theta } - \sqrt 5 \right)^2 + \lambda g \,(\cos \theta - 4 \, \mathrm {sen} \, \theta -1)\right]$$

donde $\theta$ es el ángulo girado en sentido horario a partir de la posición mostrada en el mensaje inicial y considerando que el chisme tiene energía cero en esa posición. El primer término dentro del corchete sería la energía potencial elástica y el segundo término la energía potencial gravitacional.

Una grafiquita para ver si iba en el buen camino, hecha poniendo $L = 10 \,\mathrm{cm}$, resultó así



Entonces resolví numéricamente la ecuación de la energía buscando el valor de $k$ que hiciese que la energía potencial justo llegase a cero nuevamente. El valor que conseguí fue $k = 246.4994 \,\mathrm{N/m}$ para un ángulo de 77.19°.

Saludos,

Al

[carmelo]

Re: Muelle

Hola:

Aca detallo un poco más mi planteamiento, que es un poco mas de lo que ya se habló.

Inicialmente el resorte se encuntra sin deformar de modo que la energía potencial elástica es cero al igual que su energía cinetica ya que el sistema está inmóvil.

Ahora tomemos como cero de la enrgía potencal el punto A (eje de giro del sistema).
Con lo que la energía inicial es:

$U_0=U_{pg}+U_{pe}+Ec=\frac 12\lambda L^2g$

Ahora vamos a calcular la energía para un desplazamiento angular de $\theta$
Adjunto un esquema para comprender mejor.

Calculemos primero la longitud natural del resorte.

$l_0^2=(2L)^2+L^2=5L^2\Rightarrow l_0=L\sqrt5$

La longitud del resorte para un ángulo $\theta$ se calcula como:

$l^2=(2L+L\sin\theta)^2+(L\cos\theta)^2=L^2(5+4\sin\theta)\Rightarrow l=L\sqrt{5+4\sin\theta}$

Ahora podemos calcular la energía total para el desplazamiento $\theta$

$U(\theta)=\frac12 \lambda L^2 g\cos\theta-2\lambda L^2g\sin\theta+\frac12 kL^2(\sqrt{5+4\sin\theta}-\sqrt{5})^2+Ec$

Por conservación de la energía:
$U(\theta)=U_0$
de donde
1) $\frac 12\lambda L^2g=\frac12 \lambda L^2 g\cos\theta-2\lambda L^2g\sin\theta+\frac12 kL^2(\sqrt{5+4\sin\theta}-\sqrt{5})^2+Ec$

Aca conviene hacer algunas consideraciónes.
El ángulo máximo no es 90. Esta es una posición en la cual no existe equilibrio, como se puede ver facilmente si se analiza los torque sobre A, el segmento AB no lo realiza, y el resorte tampoco (si bien la fuerza elástica es máxima, hay que tener en cuenta la dirección. Por lo tanto el único que ejerce un momento sobre A es el segmento AC, y por lo tanto la barra se seguíra desplazando en giro horario.

Si existirá un punto donde la curva de energía potencial tendrá un máximo relativo (Conviene analizar el gráfico que realizó Al y ver que pasa para distintos valores de k). Si ese valor de energía es menor que la energía potencial inicial, quiere decir que debemos de tener algo de Ec y por lo tanto vamos a superar esa barrera de potencial. (Como simplificación tomen un carrito de montaña rusa en el que el rozamiento con las vias y el aire es despreciable). Si es el valor critico $K_0$ va a ocurrir que alcanza ese valor y se va a quedar en ese punto (equilibrio metaestable) y si ocurre que el valor de energía potencial para el cual se da el máximo es mayor que la inicial, significa que nunca podremos alcanzarlo a no ser por ejemplo que le otorguemos un empujon al sistema al comenzar el movimiento. En este último caso va a quedar oscilando confinado en una region entre el momento inicial y un ángulo que no va a ser el valor crítico (va a ser menor). Qué quede oscilando no significa tampoco que lo haga con un movimiento armónico simple como se dijo en algún mensaje anterior.
Ahora, basta de palabreria y vamos a tirar números:

El procedimiento siguiente es jugar con la ecuación (1). Como se dijo anteriormente el valor de $k$ se obtiene cuando la energía potencial es igual a la energía total del sistema (o que la Ec es cero). Aplicando esto a la ecuación 1 se obtiene:

$\frac12L^2[\lambda g(\cos\theta-4\sin\theta-1)+k(\sqrt{5+4\sin\theta}-\sqrt5)^2]=0$ (2)
Esta relación nos da pares de valores $(\theta,k)$, ahora nosotros queremos encontrar el valor de k mínimo. Despejando k se obtiene

$k=\lambda g \dst\frac{(1+4\sin\theta-\cos\theta)}{(\sqrt{5+4\sin\theta}-\sqrt5)^2}$

Ahora sólo hay que calcular el valor minimo mediante métodos numéricos, adjunto esquema.


Saludos
Carmelo

[Al2000]

Re: Muelle

...

Si existirá un punto donde la curva de energía potencial tendrá un máximo relativo (Conviene analizar el gráfico que realizó Al y ver que pasa para distintos valores de k). Si ese valor de energía es menor que la energía potencial inicial, quiere decir que debemos de tener algo de Ec y por lo tanto vamos a superar esa barrera de potencial. (Como simplificación tomen un carrito de montaña rusa en el que el rozamiento con las vias y el aire es despreciable).

...

A mi me causó extrañeza la referencia a un rango de valores de $k$ en el enunciado del problema pero si se considera en forma un poco mas general que el angular se libera (v=0) a cierto ángulo, entonces la energía inicial del conjunto es algo menor que tal como lo hemos analizado. Correspondería a trazar una línea horizontal en el gráfico que incluí en algun valor negativo correspondiente al ángulo inicial. Entonces la respuesta daría un valor algo menor para $k$. Pero existe un cierto límite, que lo miré y lo calculé pero no lo incluí en la figura, en el cual para un cierto valor de $k$ ya la curva de energía potencial no muestra ningún máximo, y por tanto para cualquier ángulo inicial el chisme ese siempre girará mas allá de los 90°. Ese valor de $k$ anda rondando los 170 N/m.

Saludos,

Al

[carmelo]

Re: Muelle

Hola:
Yo llegué a un valor similar analizando los torques debidos al peso de las barras y a la fuerza elástica. Hice una gráfica de ambos torques y me fijaba en que puntos de intersección habia entre ambas curvas. LLegué a que había podía existir 2 puntos de corte en el intervalo $[0,\frac{\pi}{2}]$ y había un valor de k aproxmadamente a ese valor que mencionas (no lo recuerdo, ya que hice borrón y cuenta nueva) en el cual las dos curvas eran tangentes. No seguí en esa dirección porque había algo que no me cerraba.
Veré si lo retomo en algún momento.

Saludos
Carmelo