Muelle

[Xel]

Re: Muelle

jajajaja ... se ve que os ha gustado el chisme ...

... weno, he visto que volví a meter otro error de cálculo donde puse $\sqrt{3}$, que resulta ser $\sqrt{5}$ ... están muy interesantes y acertados esos análisis numéricos y gráficos, pero no se si sería ese el objetivo para el exámen de Joey.

Un saludo.

[Jose D. Escobedo]

Re: Muelle

La ecuacion diferencial que encontre despues aplicar los momentos de fuerza o torques fue:

$\dst 6 \frac{L}{g} \ddot \phi= -\cos \phi -4 \sin \phi + 4 \frac{k}{\delta g} ( 1-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5+4 \cos \phi}} ) \sin \phi$...(1)
que integrando y aplicando las condiciones iniciales me dio lo siguiente:

$\dst 3\frac{L}{g} \dot \phi^2 = 1-\sin \phi + 4 \cos \phi -4 \frac{k}{\delta g} \cos \phi + 2\sqrt{5} \frac{k}{\delta g} \sqrt{5+4 \cos \phi} - 10 \frac{k}{\delta g}$...(2)

una vez estando en "phase space" (representada por la ecuacion #2) busque los valores de las familias $\dst \frac{k}{\delta g}$ (con ayuda de mi calculadora) para las cuales era $\dot \phi =0$ para la cual $k$ es minima para el primer cuadrante.
Finalmente, para probar si esto era cierto aplique las condiciones de contorno $\ddot \phi =0$ en ecuacion (1) para minimos y maximos y $\dot \phi =0$ en ecuacion (2) para forzar el detenimiento del "chisme" y de ahi los valores salen, y parece ser que la raiz de $\phi$ es trascendental, por eso se encuentra con metodos numericos.

Nota: $\phi$ es tomada de manera formal con la horizontal y no con la vertical.

[Joey]

Re: Muelle

jajajaja ... se ve que os ha gustado el chisme ...

... weno, he visto que volví a meter otro error de cálculo donde puse $\sqrt{3}$, que resulta ser $\sqrt{5}$ ... están muy interesantes y acertados esos análisis numéricos y gráficos, pero no se si sería ese el objetivo para el exámen de Joey.

Un saludo.

Yo tampoco lo creo.
Aún sigo liado intentando sacar el problema por mi cuenta y con distintos planteamientos.
Estoy intentando sacarlo con conservación de energía pero solo con esta ecuación me parece que me faltan datos por lo que aplico también una suma de momentos para sacar la aceleración la velocidad y demás.
He calculado el centro de masa del angular y su inercia en A. Intento sumar los momentos del peso y el muelle en A, que puedo ya que es un ponto fijo, para sacar la aceleración. Pero no consigo sacar una expresión de la distancia de las rectas soportes de estas fuerzas al punto.

[Xel]

Re: Muelle

weno, yo lo hice así:

Datos:
$m_{AB} = 3L$
$m_{AC} = 6L$
La longitud del muelle sin estirar es $L\sqrt{5}$.
Usando Steiner saco los momentos de inercia de las barras respecto del punto A:

$\dst I_{AB}^A = \overline {I}_{AB} + m_{AB}\cdot \left[\frac{L}{2}\right]^2 = \frac{1}{12}m_{AB}L^2 + m_{AB}\cdot \left[\frac{L}{2}\right]^2= \frac{1}{3}m_{AB}L^2$
$\dst I_{AC}^A = \overline {I}_{AC} + m_{AC}\cdot L^2 = \frac{1}{12}m_{AC}(2L)^2 + m_{AC}\cdot L^2= \frac{4}{3}m_{AC}L^2$


*POSICIÓN DE MÁXIMO DESPLAZAMIENTO:
Aquí la posición es como una L boca abajo y con el muelle estirado.
Y la energía potencial es cero a la altura del punto A.

$T_1 = 0$

$V_1 =\frac{1}{2}Kx^2 - m_{AC}gL = \frac{1}{2}K(3L-L\sqrt{5})^2 - m_{AC}gL$

*POSICIÓN DE MÁXIMA VELOCIDAD:
Esta es la posición del dibujo, donde el muelle no está ni estirado ni comprimido, así que x = 0.
Y la energía potencial es cero a la altura del punto A.

$T_2 = \frac{1}{2}I_{AB}^A \dot \theta_{max}^2 + \frac{1}{2}I_{AC}^A \dot \theta_{max}^2$

$V_2 = \frac{1}{2}K\cdot x^2 + m_{AB}g\frac{L}{2} + m_{AC}g\cdot 0 = 0 +m_{AB}g\frac{L}{2} + 0$

Como se conserva la energía, se debe cumplir:

$T_1 + V_1 = T_2 + V_2$

$\dst \frac{1}{2}K(3L-L\sqrt{5})^2 - m_{AC}gL = \frac{1}{2}I_{AB}^A \dot \theta_{max}^2 + \frac{1}{2}I_{AC}^A \dot \theta_{max}^2 + m_{AB}g\frac{L}{2}$

$\dst \frac{1}{2}KL^2(3-\sqrt{5})^2 - 6L^2g = \frac{1}{2}\frac{1}{3}3L^3 \dot \theta_{max}^2 + \frac{1}{2}\frac{4}{3}6L^3 \dot \theta_{max}^2 + \frac{3}{2}L^2g$

$\dst KL^2(3-\sqrt{5})^2 - 12L^2g = L^3 \dot \theta_{max}^2 + 8L^3 \dot \theta_{max}^2 + 3L^2g$

$\dot \theta_{max} = \omega_n \cdot \theta_m$

$\dst K(3-\sqrt{5})^2 - 15g = 9L \cdot \dot \omega_n^2 \cdot \theta_m^2$

$\dst \theta_m = \frac{\pi}{2} rad$

$\dst \omega_n = \dst \sqrt{\frac{K(3-\sqrt{5})^2-15g }{9L\frac{\pi^2}{4}}}$

$K(3-\sqrt{5})^2-15g \geqslant 0$

$\dst K\geqslant \frac{15g}{(3-\sqrt{5})^2} = 252,145 \frac{N}{m}$

Si $\dst K = 252,145 \frac{N}{m}$ la barra AB podrá estar horizontal, así que tendrá que ser mayor de ese valor para que no sea así.


... La verdad es que parece que tendría más sentido si K quedara en función de L ... .. aunque claro, la longitud del muelle también variará con L.

[Jose D. Escobedo]

Re: Muelle

Lo siento Xel, pero cuando el brazo pequeño esta horizontal, existe momento de fuerza que lo hace inestable.

Estas haciendo lo mismo que si yo hago $\dot \phi =0$ cuando $\phi = 0$ grados de la ecuacion que representa el "phase space" de este problema que encontre anteriormente en el post #17

$\dst 3\frac{L}{g} \dot \phi^2 = 1-\sin \phi + 4 \cos \phi -4 \frac{k}{\delta g} \cos \phi + 2\sqrt{5} \frac{k}{\delta g} \sqrt{5+4 \cos \phi} - 10 \frac{k}{\delta g}$...(2)

$\Rightarrow$

$\dst 0=1+4 -4\frac{k}{\delta g}+6\sqrt{5} \frac{k}{\delta g} -10 \frac{k}{\delta g} \Rightarrow$

$\dst \frac{k}{\delta g}(14-6\sqrt{5})=5 \Rightarrow$

$\dst k=\frac{5 \delta g}{(14-6\sqrt{5})} =\frac{15 g}{14-6\sqrt{5}}$

Si desarrollas $(3-\sqrt{5})^2= 9-6\sqrt{5} +5 =14 -6\sqrt{5}$

Si se usa un $k$ con ese valor esto se para antes de los $\approx 77$ grados antes mencionados.

Saludos

Jose

[Xel]

Re: Muelle

vaya, tiene muy buena pinta tu método, Jose, pero hay alguna parte que no entiendo y me gustaría poder verlo mejor ... cuando aplicas el análisis dinámico de fuerzas, ¿podrías explicar el desarrollo desde el principio para ver mejor de dónde obtienes cada parte de la ecuación diferencial? ... ¿qué es esa expresión del "phase space" ? ... y qué es $\delta$ en tus ecuaciones?

... y esa fuerza que dices que lo hace inestable, cuando el brazo pequeño esta horizontal, qué fuerza es? ... en esa posición de máximo desplazamiento, supuse que la velocidad es cero porque llega a pararse, por eso la energía cinética ahí es cero $(T_1)$, no?

...

[Jose D. Escobedo]

Re: Muelle

La constante de integracion es la Energia, el momento angular no se conserva por eso la posicion a la que te refieres no es estable. No me referi a una fuerza en la postura que dije que era inestable, me estoy refiriendo al "momento de fuerza" a lo que se le llama "torque" y es precisamente que por eso no es estable por que el momento de fuerza no se conserva.
O sea, matematicamente en esa posicion $\dst \vec{r} \times m\vec{ g} = \frac{L}{2} \hat{i} \times \delta L g(- \vec{j}) \neq 0$ los otros torques si son cero, pero no el del barzo, palanca, barra o como se le quiera llamar que es al que me refiero.

Si aplico la leyes de fisica y decido utilizar torques $\Rightarrow \sum \vec{r_i} \times \vec{F_i} = I \ddot \phi \hat{z}$ por que no se conserva (que fue lo que hice), si se conservara $\Rightarrow \sum \vec{r_i} \times \vec{p_i} = C$, pero no lo es.

Como la constante de integracion es la energia, tambien se puede aplicar la conservacion de la energia.

Energia total del sistema al empezar el movimiento es:$\dst E=m\frac{L}{2} g=\frac{\delta L^2 g}{2}$ donde $\delta$ es la densidad lineal.

Energia total del sistema en cualquier angulo es: $\dst E_1= m\frac{L}{2}g \sin \phi + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} m L^2) \dot \phi^2$ para la barra 1
$\dst E_2= (2m) L g \sin(\phi -\frac{\pi}{2}) +\frac{1}{2}(\frac{1}{3} (2m)(2L)^2) (\frac{d}{dt} (\phi -\frac{\pi}{2}))^2$ para la barra 2
$\dst E_3= \frac{1}{2} k (L \sqrt{5+4\cos \phi} - L\sqrt{5})^2$ para el resorte $\Rightarrow$

$E=E_1+E_2+ E_3$ y tambien $m = \delta L$

De lo anterior obtendras la ecuacion a la que me refiero.
Phase space en este caso lo exprese como $\dot \phi^2$ vs $\phi$ en vez de $\dot \phi$ vs $\phi$ aunque en general es esto:

http://en.wikipedia.org/wiki/Phase_space_method

Es recomendable hacer esto para estudiar el movimiento y ver todos los puntos maximos, minimos, y demas puntos extraños

nota:$\phi$ es convencional con la horizontal.

Saludos

Jose

[Xel]

Re: Muelle

vaya, está muy bien la explicación, gracias ... creo que ya lo entendí mejor

Así que como no se conserva el momento angular, tampoco se conserva el momento de fuerza, por lo que la suma de los torques los igualas a $I\ddot\phi$ para obtener la ecuación diferencial, y cuyas constantes de integración tienen algo que ver con la energía, por lo que se puede aplicar conservación de ésta. Luego usas la posición inicial y otra según el ángulo para las expresiones de energía, obteniendo así una ecuación que te relaciona esas dos magnitudes $\phi \,y\, \ddot\phi$ ... y luego aplicas eso de "phase space" que es algo de un espacio de configuración para analizar "todas las posibles posiciones instantáneas de un sistema mecánico" de N grados de libertad ... vaya ... pues si que está interesante, pero la verdad es que me pierdo con eso del "phase space" ... pero weno, está bien tener esa idea más o menos.

Un saludo.

[Jose D. Escobedo]

Re: Muelle

La constante de integracion es la Energia, el momento angular no se conserva por eso la posicion a la que te refieres no es estable. No me referi a una fuerza en la postura que dije que era inestable, me estoy refiriendo al "momento de fuerza" a lo que se le llama "torque" y es precisamente que por eso no es estable por que el momento de fuerza no se conserva.
O sea, matematicamente en esa posicion $\dst \vec{r} \times m\vec{ g} = \frac{L}{2} \hat{i} \times \delta L g(- \vec{j}) \neq 0$ los otros torques si son cero, pero no el del barzo, palanca, barra o como se le quiera llamar que es al que me refiero.

Xel, cometi un pequeño error aqui queria decir esto: el momento angular no se conserva, y el momento de fuerza es $\neq 0$ en la posicion horizontal del brazo pequeño ( en vez de decir que el momento de fuerza no se conserva queria hacer incapie en que el momento angular no se conserva)

Sorry my mistake

saludos

Jose

[Xel]

Re: Muelle

si, ya te había entendido, ya repasé la olvidada relación entre el par (o torque) y el momento angular, cuya derivada respecto al tiempo es dicho par, y esa derivada distinta de cero indica que el momento angular L no es constante, así que no se conserva.

... luego lo del "phase space" para mi es de otra galaxia ...

Un saludo.