Secundaria Cinemática (Problema exámen de admisión UNIV. Perú - 2010 I)

[fiebreazul]

Dos motociclistas que recorren una pista circular, se encuentran cada 20minutos cuando recorren en sentido contrario y cada 30 minutos cuando lo hacen en el mismo sentido ¿Cuánto tarda cada uno en dar toda la vuelta a la pista?

a) 24' y 90' b) 12' y 60' c) 24' y 140' d) 24' y 120' e) 18' y 80'


He intentado resolverlo con tiempo de encuentro y de alcance pero lo único a lo que he llegado es ha esto:

20min = $\frac{{d}_{c} }{{v}_{1 }+ {v}_{2 }}$

30min = $\frac{{d}_{c} }{{v}_{1} - {v}_{2 } }$

$20{v}_{1}$ + 20${v}_{2}$ = ${d}_{c }$
$30 {v}_{1} - 30{v}_{2}$ = ${d}_{c}$


$20{v}_{1}$ + 20${v}_{2}$ = $30 {v}_{1} - 30{v}_{2}$

$10 {v}_{1}$ = $50 {v}_{2}$

$\frac{{v}_{1 } }{{v}_{2 }} =\frac{5}{1}$


Y creo que los tiempos deben estar en la misma proporción( y si fuera así decirme también porqué)

Espero la ayuda correspondiente; y un cordial saludo a todos los usuarios del foro y en especial a los colaboradores. Gracias por el tiempo y espacio.

[Al2000]

Re: Cinemática (Problema exámen de admisión UNIV. Perú - 2010 I)

Un posible planteamiento es el siguiente:

- Mismas direcciones: $\theta_1 = \omega_1 t\,,\quad \theta_2 = \omega_2 t$. Se encuentran cuando $\theta_1 = \theta_2 + 2 \pi$. Entonces:

$$\omega _1 \Delta t_{md} = \omega _2 \Delta t_{md} + 2 \pi$$

- Direcciones opuestas: $\theta_1 = \omega_1 t\,,\quad \theta_2 = -\omega_2 t$. Se encuentran cuando $\theta_1 = \theta_2 + 2 \pi$. Entonces:

$$\omega _1 \Delta t_{do} = -\omega _2 \Delta t_{do} + 2 \pi$$

Resuelve las dos ecuaciones simultáneamente. Resulta mas sencillo si pones $\omega = 2 \pi f$ y determinas la frecuencia de cada uno. De allí obtienes los períodos. Yo obtuve la opción b).

Saludos,

Al

[Tasclew]

Re: Cinemática (Problema exámen de admisión UNIV. Perú - 2010 I)

Yo utilicé básicamente el mismo proceso que Al2000, pero me da la respuesta d).

Aquí dejo todo paso a paso:

Primero vemos que al ir en el sentido opuesto, una tendrá velocidad angular negativa y otra positiva. Entonces, si en el ángulo subcero coinciden, sólo tendremos que igualar en el tiempo de 20 minutos.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Vamos a escribir pues la primera ecuación, en la que el ángulo del primero coincidirá con el ángulod el segundo más 2pi.

$-2\pi {f}_{1}{t}_{1}+2\pi = 2\pi{f}_{2}{t}_{1}$

Sustituyendo queda:

$-2400\pi {f}_{1}+2\pi = 2400\pi{f}_{2}$

Ahora planteamos la segunda, en el ángulo del segundo será el mismo que el primero más dos pi.Se igualará en el tiempo de 30 minutos.

$2\pi {f}_{1}{t}_{2}+2\pi = 2\pi{f}_{2}{t}_{2}$

Sustituyendo:

$3600\pi {f}_{1}+2\pi = 3600\pi{f}_{2}$

Ahora dividimos la primera expresión entre la segunda y nos queda:

$\frac{-2400\pi {f}_{1}+2\pi}{3600\pi {f}_{1}+2\pi}=\frac{2}{3}$

Se resuelve y da ${f}_{1}=\frac{1}{7200}$.

Despejando, da ${f}_{2}=\frac{1}{1440}$.

Pasando de frecuencia a período, nos da el resultado d).

[Al2000]

Re: Cinemática (Problema exámen de admisión UNIV. Perú - 2010 I)

Concordamos, fue un error al escojer la letra del resultado.

Saludos,

Al