Otras carreras Un problema de persecución.

[Alhazred]

Hola he tratado de resolver este ejercicio desde hace varios días:

Daniel y el león. El desafortunado Daniel (D) es puesto dentro de una arena circular con un león (L), el radio de la arena es [FONT=Book Antiqua]a[/FONT]. Inicialmente el león está en el centro O de la arena mientras Daniel está en el perímetro. La estrategia de Daniel es correr a su máxima velocidad [FONT=Book Antiqua]u[/FONT] alrededor del perímetro. El león reponde corriendo a su máxima rapidez [FONT=Book Antiqua]U[/FONT] de tal forma que permanece (moviéndose) sobre el radio OD. Demuestre que [FONT=Book Antiqua]r[/FONT], la distancia de L desde O, satisface la ecuación diferencial

$\dst \dot{r}^2=\frac{u^2}{a^2}\left(\frac{U^2 a^2}{u^2}-r^2 \right).$

Encuentre r como una función de t. Si $\dst U\geqslant u$, demuestre que Daniel será atrapado y en cuánto tiempo.
Demuestre que la trayectoria tomada por el león es un arco de círculo.

Bueno esto es lo que he podido resolver aunque tengo mis reservas en cuánto a la física del problema:

En coordenadas polares tenemos que:

$\dst \vec{u}=a\hat{\theta } \to$ la velocidad de Daniel

$\dst \vec{U}=\dot{r}\hat{r}+\left(r\dot{\theta}\right)\hat{\theta} \to$ la velocidad del león.

Entonces:

$\dst u=a\dot{\theta}$; $\dst \dot{\theta}=\frac{u}{a}$;

$\dst \dot{\theta}^2=\frac{u^2}{a^2}$;

$\dst \dot{r}^2=U^2-r^2\frac{u^2}{a^2}$

[arreldepi]

Re: Un problema de persecución.

Hola, en polares la velocidad de Daniel es

$$\vec u = a\dot\theta \hat u_{\theta}$$

y la del leon es

$$\vec U = \dot r\hat u_r +r\dot\theta\hat u_{\theta},$$

como tú dices.

Trabajando en módulos tenemos que

$$u=a\dot\theta \quad\to\quad\dot\theta = \frac{u}{a}$$

y, por parte del león

$$U^2 = \dot r^2 + r^2\dot\theta^2$$

Algo que debe mantenerse igual para ambos es $\dot\theta$, así que, para igualarlo elevamos (3) al cuadrado

$$\dot\theta^2 = \frac{u^2}{a^2},$$

sustituimos $\dot\theta^2$ en (4) y nos queda que

$$U^2 = \dot r^2 + r^2\cdot\left(\frac{u^2}{a^2}\right)$$

Ahora, si despejamos $\dot r^2$ nos queda que

$$\dot r^2 = U^2 - r^2\cdot\left(\frac{u^2}{a^2}\right) \quad\to\quad\boxed{\dot r^2 = \frac{u^2}{a^2}\left(\frac{U^2a^2}{u^2}-r^2\right)}$$

Ahora, para expresar $r(t)$ tenemos que integrar la ecuacion diferencial

$$\left(\frac{\dd r}{\dd t}\right)^2 = \frac{u^2}{a^2}\left(\frac{U^2a^2}{u^2}-r^2\right) \quad\to\quad (r')^2 = \frac{u^2}{a^2}\left(\frac{U^2a^2}{u^2}-r^2\right)$$

Tenemos que separar variables:

$$r' = \sqrt{\frac{u^2}{a^2}\left(\frac{U^2a^2}{u^2}-r^2\right)} \quad\to\quad \frac{\dd r}{\sqrt{\frac{u^2}{a^2}\left(\frac{U^2a^2}{u^2}-r^2\right)}} = \dd t$$

Si no me he equivocado resolviéndola (es probable que sí ), me queda que la solución es

$$\frac{a\cdot\arcsin\left(\frac{ur}{aU}\right)}{u}=t$$

Teniendo en cuenta que, según los datos del enunciado las variables varían de $r^*=0 \to r^*= r$ y $t^*=0\to t^*= t$

$$\left.\frac{a\cdot\arcsin\left(\frac{ur^*}{aU}\right)}{u}\right|_0^r=\left.t^*\right|_0^t\qquad\to\qquad \frac{a}{u}\arcsin\left(\frac{ur}{aU}\right) = t$$

Despejamos $r$ en función de $t$ y queda

$$\boxed{r(t)=\frac{aU}{u}\sin\left({\frac{ut}{a}}\right)}$$

espero no haber hecho ninguna barbaridad, como mínimo dimensionalmente tiene unidades de distancia .


A ver si alguien se lo mira y dice si de momento la cosa va bien y luego interpretamos el resultado.


Saludos!

[Alhazred]

Re: Un problema de persecución.

Gracias por responder arreldepi. Me sorprende gratamente la redacción que hiciste de la solución, yo no pude hacerlo de la misma forma, no puse todo lo que llevaba del problema, puesto que nunca he usado latex y además en mi zona horaria cuando publiqué el hilo era como la 1:00 a.m., además omití varias cosas, pero a continuación pongo lo que me hace falta.

Para encontrar a r como una función del tiempo derivamos respecto a [FONT=Book Antiqua]t[/FONT] la expresión

$\dst U^2=\dot{r}^2+r^2\frac{u^2}{a^2}$

$\dst \frac{dU^2}{dt}=\frac{d}{dt}\left[ \dot{r}^2 + r^2\frac{u^2}{a^2}\right]=\frac{d}{dt}\left[ \frac{dr}{dt}\frac{dr}{dt}\right]+2r\frac{dr}{dt}\frac{u^2}{a^2}$

$\dst 0=\frac{d^2r}{dt^2}\frac{dr}{dt}+2\frac{u^2}{a^2}r\frac{dr}{dt}$

$\dst \frac{d^2r}{dt^2}+2\frac{u^2}{a^2}r=0 \to \ddot{r}+2\frac{u^2}{a^2}r=0$

$\dst r={C}_{1 }\cos \left( \sqrt{2}\frac{u}{a}t \right)+{C}_{2}\sin \left( \sqrt{2}\frac{u}{a}t \right)$

Ahora en este punto tengo conflictos para encontrar las constantes, puesto que no identifico correctamente las condiciones iniciales.

Podemos sustituir la expresión (3) en la (4) convenientemente si consideramos que la velocidad circunferencial del león y Daniel es la misma, pero ¿es esto posible?, considerar esto implica que ambos comezaron a moverse ¿simultáneamente?

P.D ¿cómo se le hace para poner recuadros?