1r ciclo MAS con muelle y barra con una masa que gira

[darkxer0x]

Hola.
He "resuelto" un problema que no estoy muy seguro de que lo tenga bien (en principio me parece que si), y me gustaría que me dijeseis si está bien planteado (los cálculos es lo de menos).
El problema dice asi:

----
Sea el sistema de la figura (está adjunto), Una barra sin masa, de longitud L, con una masa m en uno de sus extremos y que puede girar libremente alrededor del otro, está suspendida horizontalmente mediante un muelle, de constante k, longitud natural $l_0$ y masa despreciable, fijado verticalmente a una distancia, a, del centro de giro.

1. Determinar la longitud del muelle para que la barra quede suspendida horizontalmente.

2. Si la barra gira un angulo , my pequeño, y después se deja oscilar libremente, ¿Cual sería la fuerza ejercida por el muelle sobre la barra?

3. Determinar la ecuación de la dinámica del movimiento, expresar en función del tiempo

4. Si después de 10 oscilaciones la amplitud inicial se redujese a la mitad, determinar la constante de amortiguamiento del péndulo.



---

Mi solución es:
$\vec{M} = I \vec{\alpha}$

$\vec{M} = \vec{r_1} \times \vec{F_e} + \vec{r_2} \times \vec{P}$

$\vec{r_1} = (a cos \theta \vec{u_x} - a sen \theta \vec{u_y})$

$\vec{r_2} = (L cos \theta \vec{u_x} + L sen \theta \vec{u_y})$

$\vec{F_e} = -k (y - l_0) \vec{u_y}$

$\vec{P} = mg \vec{u_y}$

$\vec{M} = -ak cos \theta (y - l_0)$
$I = mL^2$
$\vec{M} = I \vec{\alpha} \Rightarrow -ak cos \theta (y - l_0) = mL^2 \frac{\mathrm{d^2 \theta} }{\mathrm{d {\theta}^2} }$



Para el 1:
$\theta = 0$ y $\frac{\mathrm{d^2 \theta} }{\mathrm{d {\theta}^2} } = 0$, luego

$Lmg = a k (y - l_0)$

$y = \frac{Lmg}{ak} + l_0$

2. No estoy muy seguro a que se refiere...

3. $-ak cos \theta (y - l_0) = mL^2 \frac{\mathrm{d^2 \theta} }{\mathrm{d {\theta}^2} }$