1r ciclo Fuerza que varía con el tiempo

[Akendam]

Quisiera que observaran si interpreté bien este ejercicio, de lo contrario hagan las correciones pertinentes.
Dice así:

Sobre una partícula de 2 gr. de masa actúan dos fuerzas: una constante, de 540 dinas, hacia la izquierda, y otra variable, de 120*t dinas, hacia la derecha (t representa segundos). La partícula parte del reposo en el origen.

a) Dése una descripción del movimiento.
b) ¿Cuál es la máxima distancia recorrida por la partícula a la izquierda del origen?

Mis respuestas:
a) La partícula se moverá incialmente hacia la izquierda con movimiento rectilíneo con aceleración variable, hasta que la fuerza variable iguale la fuerza constante, en ese momento, dejará de moverse hacia la izquierda, se detendrá por un instante y luego iniciará la marcha hacia la derecha nuevamente con movimiento rectilíneo con aceleración variable.

b) $\sum F(x)=540-120*t=2*a_x$

$a_x(t)=270-60*t$, la aceleración se anula a los t=4.5 seg.

$x(t)=135*t-30*t^3$

Luego, x=-2126.25 cm. ó x=2126.25 cm (hacia la izquierda del origen)

Saludos.

[Al2000]

Re: Fuerza que varía con el tiempo

...
a) La partícula se moverá incialmente hacia la izquierda con movimiento rectilíneo con aceleración variable, hasta que la fuerza variable iguale la fuerza constante, en ese momento, dejará de moverse hacia la izquierda, se detendrá por un instante y luego iniciará la marcha hacia la derecha nuevamente con movimiento rectilíneo con aceleración variable.
...

Vuelve a analizar tu problema, estás cometiendo un error. Fíjate que en el momento en el cual la fuerza variable iguale la fuerza constante, la partícula ya llevará una cierta velocidad hacia la izquierda. Antes de devolverse, deberá frenar, ¿no?

Saludos,

Al

[Singularidad]

Re: Fuerza que varía con el tiempo

$x(t)=135*t-30*t^3$

Un apunte, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ¿no sería [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ?

Hay que calcular el punto donde v(t)=0 y sustituir en la ecuación e(t)
obviamente como la desaceleración es lineal, el tiempo en que v(t)=0 será $2*ta$, siendo "ta" el tiempo que tarda en a(t)=0
saludos

[lucass]

Re: Fuerza que varía con el tiempo

a) La partícula se moverá incialmente hacia la izquierda con movimiento rectilíneo con aceleración variable, hasta que la fuerza variable iguale la fuerza constante, en ese momento, dejará de moverse hacia la izquierda, se detendrá por un instante y luego iniciará la marcha hacia la derecha nuevamente con movimiento rectilíneo con aceleración variable.

Acá lo que no está bien es decir que en el momento en que la fuerza variable iguale a la constante, la partícula dejará de moverse hacia la izquierda. Es decir, que la fuerza neta sea cero en ese instante, no implica que la partícula quede en reposo. De hecho la partícula (suponiendo que las condiciones iniciales son tales que la partícula parte del reposo) adquiere una velocidad hacia la izquierda de módulo cada vez mayor, y al momento de igualarse las fuerzas que actúan sobre ella, se estará moviendo a la izquierda, y luego comenzará a desacelerar hasta detenerse. O sea que la partícula se mueve a la izquierda hasta que v=0 (no hasta que a=0).

b) $\sum F(x)=540-120*t=2*a_x$

$a_x(t)=270-60*t$, la aceleración se anula a los t=4.5 seg.

$x(t)=135*t-30*t^3$

Luego, x=-2126.25 cm. ó x=2126.25 cm (hacia la izquierda del origen)

Saludos.

Acá está mal integrado. Además tenés que obtener v(t), y ver cuando se anula, como dijimos antes, para luego evaluar x en ese momento. Fijate que tenés que explicitar las condiciones iniciales cuando integrás. (en este caso, decir que v(0)=0 y que x(0)=0 para simplificar)
Intentalo de nuevo.
Saludos

[Akendam]

Re: Fuerza que varía con el tiempo

Pero todavía no me han enseñado a integrar . Tiene que haber otra forma de llegar al resultado.

[lucass]

Re: Fuerza que varía con el tiempo

y, si no integraste, de dónde sacaste esa expresión de x(t)?

[Akendam]

Re: Fuerza que varía con el tiempo

$x(t)=\frac{1}{2}*a_x(t)*t^2$, lo hice así porque no me han enseñado a integrar. Así que tiene que haber otra forma, de lo contrario no me habrían dado este ejercicio para resolver.

[Al2000]

Re: Fuerza que varía con el tiempo

Pero todavía no me han enseñado a integrar . Tiene que haber otra forma de llegar al resultado.

¡Ánimo! El hombre se crece ante las dificultades



Yo sé que alguien te va a ayudar con la integración. Quería hacerte el comentario de que la úanica forma de hacer el problema sin integrar (aparte de montando un experimento) es calcular el movimiento paso a paso numéricamente. Eliges un intervalo suficientemente pequeño para tu propósito y vas calculando en cada instante la fuerza, aceleración, velocidad y posición repetidamente:

• F = F(t)
• a = F/m
• v = v0 + a $\Delta$t
• x = x0 + v $\Delta$t
• t = t + $\Delta$t

y te devuelves a repetir los cálculos hasta que consigas que v se hace cero o cambia de signo.

Saludos,

Al

[lucass]

Re: Fuerza que varía con el tiempo

$x(t)=\frac{1}{2}*a_x(t)*t^2$, lo hice así porque no me han enseñado a integrar. Así que tiene que haber otra forma, de lo contrario no me habrían dado este ejercicio para resolver.

Aparte de lo dicho por Al, hay que aclarar que ésta expresión que pusiste es incorrecta. Mirá bien tus apuntes de clase, puesto que, a menos que se hayan equivocado, la ecuación que te dieron es $x(t)=\frac{1}{2}*a_x*t^2$ y no $x(t)=\frac{1}{2}*a_x(t)*t^2$
esto es así porque para que valga es expresión la aceleración debe ser constante, y por lo tanto $a \neq a(t)$.
Si la aceleración es función del tiempo, la expresión ya no vale.
Saludos

[Akendam]

Re: Fuerza que varía con el tiempo

Intentaré verlo y después pondré nuevamente la solución a la que llegué. Esto es demasiado.

[Akendam]

Re: Fuerza que varía con el tiempo

Bien, rehaciendo todo el ejercicio, ahora me queda:

a) La partícula inicialmente se moverá hacia la izquierda, producto de la fuerza neta, y lo hará con movimiento rectilíneo con aceleración variable hasta que alcanza una velocidad máxima $v_x$ , luego, en ese instante la velocidad deja de aumentar y comienza a disminuir hasta el instante en que $\frac{dv_x}{dt}=a_x=0$. Luego de lo cual, la partícula cambia de sentido y comienza nuevamente a desplazarse con movimiento rectilíneo con aceleración variable.

b)
$v_x=270*t^2-30*t^3$

$x_1=90*t^3-\frac{15}{2}*t^4$

Por lo dicho en (a), el instante de cambio de velocidad, es en t=4.5 seg., que sustituyendo en la expresión general:

$x_1$=5125.78 cm

Al menos he llegado a un resultado.
Saludos

[Al2000]

Re: Fuerza que varía con el tiempo

Bien, rehaciendo todo el ejercicio, ahora me queda:

a) La partícula inicialmente se moverá hacia la izquierda, producto de la fuerza neta, y lo hará con movimiento rectilíneo con aceleración variable hasta que alcanza una velocidad máxima $v_x$ , luego, en ese instante la velocidad deja de aumentar y comienza a disminuir hasta el instante en que $\frac{dv_x}{dt}=a_x=0$. Luego de lo cual, la partícula cambia de sentido y comienza nuevamente a desplazarse con movimiento rectilíneo con aceleración variable.

b)
$v_x=270*t^2-30*t^3$

$x_1=90*t^3-\frac{15}{2}*t^4$

Por lo dicho en (a), el instante de cambio de velocidad, es en t=4.5 seg., que sustituyendo en la expresión general:

$x_1$=5125.78 cm

Al menos he llegado a un resultado.
Saludos

Aunque no sea correcto Bueno, nadie puede decir que no lo intentaste, así que te ayudo con las integreles. Pero primero corrige la descripción del movimiento. La partícula no cambia de dirección cuando la aceleración se hace cero; la partícula cambia de dirección luego de que la velocidad se reduce a cero debido a la aceleración hacia la derecha que está experimentando en ese momento.

Te ayudo con las integrales. Si escribes la fuerza como

$\dst F_{(t)} = (120 t - 540) \,\mathrm{dina}$

la aceleración, $F/m$, será

$\dst a_{(t)} = (60 t - 270) \,\mathrm{cm/s^2}$

Puesto que parte del reposo, su velocidad será

$\dst v_{(t)} = \int_0^t a_{(t)}\,dt = \int_0^t (60 t - 270)\,dt = (30 t^2 - 270 t) \,\mathrm{cm/s}$

y como parte del origen, su coordenada $x$ será

$\dst x_{(t)} = \int_0^t v_{(t)}\,dt = \int_0^t (30 t^2 - 270 t)\, dt = (10 t^3 - 135 t^2) \,\mathrm{cm}$

Ahora, con estas ecuaciones, determina el instante en el cual la velocidad se anula y con ese valor del tiempo calcula la posición.

Saludos,

Al

[Akendam]

Re: Fuerza que varía con el tiempo

Gracias camarada Al2000!. Ya me di cuenta de mi error.
Saludos