Otras carreras Momento cinético, teorema de steiner

[Bertu]

Es un problema que he resuelto pero no sé si lo he planteado de forma correcta, no pido que se molesten en resolverlo sino que me digan si lo he hecho bien.

El péndulo OABC de la figura está suspendido del extremo O, se pide el momento cinético respecto de O en funcion de la derivada del angulo sabiendo que el momento de inercia de una varilla respecto de su mediatriz es 1/12 mL^2
La distancia OB = AC = d.



Para resolver el problema utilicé el teorema de Steiner, de tal forma que calculé la inercia de la varilla OB respecto de O y la inercia de AC respecto de O (ya que donde están unidas coincide con el centro de masas). Por ultimo hallé el momento cinético de las dos barras y las sumé. Ya que los momentos de inercia que hallé ya eran respecto del punto O
Si no me he explicado bien, díganmelo y intento explicarme mejor. Siento no ser muy claro, pero aún no manejo bien el Latex.

[GNzcuber]

Re: Momento cinético, teorema de steiner

Hola Bertu,

Primero hay que tener en cuenta que el momento de inercia no es lo mismo que el momento cinético. Para saber si lo has hecho bien o no, no sólo debes decirnos qué hicistes sinó mostrarlo, ya que tu planteamiento puede que sea correcto pero te equivoques en los cálculos o considerando ciertas cosas como válidas.

Si calculamos con el teorema de Steiner el momento de inercia de la barra [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , tendremos lo siguiente:

$$\dst I_O=I_{CM}+M\cdot k^2=\frac{1}{12}M\cdot L^2+M\cdot\left(\frac{L}{2}\right)^2=\frac{1}{3}M\cdot L^2$$

Luego, la segunda parte no la tengo muy clara, planteas que como la barra [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] se encuentra la mitad, suponiendola homogénea, es como si realmente hubiese un punto en el extremo B de la primera barra.

Ésto aunque parezca razonable destroza los cálculos anteriores, ya que hemos supuesto que el centro de masa se encontraba a la mitad de la barra, y ahora decimos que un extremo tiene la misma masa que el resto de la barra. Yo no sé bien cómo funciona, pero me parece que debes calcular el momento de inercia respecto a la parte donde está unida más el momento de inercia del centro de masa respecto O.

Es decir, la expresión te quedará así:

$$\dst I_O=I_{O_{OB}}+\frac{1}{2}I_{B_{AC}}+I{O_{AC}}$$

$$\dst I_O=\frac{1}{3}M\cdot L^2+\frac{1}{24}M'\cdot L^2+M'\cdot L^2=\frac{33}{24}M\cdot L^2$$

Aclaro que M' es la masa de la barra AC, que la he considerado de igual masa que OB. Es mejor que alguien te pueda aclarar mejor esa duda, si es que está bien, yo en una práctica de laboratorio la he calculado así porque me lo decía el enunciado.

¡Saludos!

[Bertu]

Re: Momento cinético, teorema de steiner

Vale me he explicado mal. Lo que yo me plantee hacer, fue calcular el momento cinético respecto de O de cada una de las barras y luego sumar los momentos. Para ello primero calculé el momento de inercia de la primera barra por el teorema de steiner, y luego el momento de inercia de la segunda barra por steiner también en lo que me apoyo es que La barra OA esta unida con la AC justo en su CM lo que me da la distancia al punto O. Vamos que lo que quiero averiguar es si calculando los momentos de inercia por separado de cada una de las barras respecto del punto O están bien.

No sé si me he explicado bien...

[Metaleer]

Re: Momento cinético, teorema de steiner

Es correcto lo que propones, ya que para direcciones principales de inercia (para el movimiento plano de un sólido rígido, la dirección perpendicular al plano del papel es siempre una dirección principal de inercia), tienes que

$$\mathbf{L} = I_O \boldsymbol \omega$$

pero por la linealidad del momento de inercia, tienes que $I_O = I_1 + I_2$ (todo con respecto al mismo punto $O$, ojo), y por tanto

$$\mathbf{L} = I_O \boldsymbol \omega = (I_1 + I_2) \boldsymbol \omega = I_1 \boldsymbol \omega + I_2 \boldsymbol \omega$$

es decir, recuperas por separado el momento angular (o cinético, como lo llamas) de cada sólido rígido.

De esta manera, el problema admite dos enfoques a la hora de resolución: o calculas el momento de inercia del conjunto con respecto al punto $O$ y aplicas $\mathbf{L} = I_O \boldsymbol \omega$, o sumas por separado los momentos angulares de cada sólido rígido, calculando el momento de inercia correspondiente con respecto a $O$, aplicando el Teorema de Steiner (de los ejes paralelos).

Saludos.

[Bertu]

Re: Momento cinético, teorema de steiner

Muchas gracias, fue un problema poco puntuado de examen que hice así y luego me entró la duda...