Secundaria momento maximo

[Marco Aurelio]

hola muchachos recurro a ustedes nuevamente para ver si me pueden tender una manito con el siguiente ejercicios, dice hallar el momento maximo para mantener el equilibrio. Sea conocido "u" y "w" (cada pared de 45º tiene un "u" igual)

[Enzo]

Re: momento maximo

Nuevamente.
Hasta donde has llegado en tu solución?
Cuál es tu duda?

[Marco Aurelio]

Re: momento maximo

al momento de efectuar la sumatoria de fuerzas debo considerar las fuerzas de roces? mi duda es que al no ver deslizamiento estas no se consideran al establecer el equilibrio.. pero no estoy totalmente seguro

[carmelo]

Re: momento maximo

Hola:
Las fuerzas de rozamiento hay que considerarlas.
Considerando los momentos con respecto al centro se tiene

$\sum\tau=\tau_{ext}-\tau_1-\tau_2=I\ddot{\theta}$

Si el sistema está en equilibrio, entonces $\ddot{\theta}=0$ y

$\tau_{max}=\tau_1+\tau_2$

Donde se toman los momentos respecto al punto central, por lo tanto las únicas fuerzas que realizan momento son aquellas debido al roce con las dos superficies y se designan como $\tau_1$ y $\tau_2$.

También se debe de cumplir:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Descomponiendo segun $x$ e $y$:

$\sum F_x = N_1\sin\theta+fr_1\cos\theta-N_2\sin\theta+fr_2\cos\theta=0$
$\sum F_y = N_1\cos\theta-fr_1\sin\theta+N_2\cos\theta+fr_2\sin\theta-Mg=0$

$fr_1=\mu N_1$
$fr_2=\mu N_2$

desarrollando para la componente $x$:

$N_1(\sin\theta+\mu\cos\theta)-N_2(\sin\theta-\mu\cos\theta)=0$

y para la componente $y$:

$N_1(\cos\theta-\mu\sin\theta)+N_2(\cos\theta+\mu\sin\theta)=Mg$

de donde:

$N_1=\dst\frac{Mg(\sin\theta-\mu\cos\theta)}{2\sin\theta\cos\theta (1+\mu^2)}$

$N_2=\dst\frac{Mg(\sin\theta+\mu\cos\theta)}{2\sin\theta\cos\theta (1+\mu^2)}$

Ahora podemos calcular las fuerzas de rozamiento:

$fr_1=\mu N_1=\dst\frac{\mu Mg(\sin\theta-\mu\cos\theta)}{2\sin\theta\cos\theta(1+\mu^2)}$
$fr_2=\mu N_2=\dst\frac{\mu Mg(\sin\theta+\mu\cos\theta)}{2\sin\theta\cos\theta(1+\mu^2)}$

y los momentos respectivos son:

$\tau_1=\dst\frac{\mu MgR(\sin\theta-\mu\cos\theta)}{2\sin\theta\cos\theta(1+\mu^2)}$
$\tau_2=\dst\frac{\mu MgR(\sin\theta+\mu\cos\theta)}{2\sin\theta\cos\theta(1+\mu^2)}$

por lo tanto:

$\tau_{max}=\dst\frac{\mu MgR}{\cos\theta(1+\mu^2)}$

Saludos
Carmelo

[Marco Aurelio]

Re: momento maximo

hola carmelo gracias por responder pero tengo la paradoja que al hacer la sumatoria de fuerzas en el ejer x e y:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Con esto el momento maximo para que el circulo no gire es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Por que se debe suponer que las normales son iguales si al hacer la sumatoria de fuerzas estas entregan otro resultado para estas? de antemano muchas gracias

[carmelo]

Re: momento maximo

Hola:
La razón de la paradoja es que omití en la sumatoria las fuerzas de rozamiento, ahora lo corregí en el post original.

Saludos
Carmelo

[Marco Aurelio]

Re: momento maximo

gracias carmelo, la verdad es que preguntando en otro lado habian llegado al mismo resultado tuyo anteriormente considerando que las normales son iguales la razon del porqué es la siguiente, las dos fuerzas de rozamiento presentarán una componente horizontal no nula ya que al tener distinta dirección nunca pueden cancelarse, pero como debemos suponer que los dos planos inclinados forman una estructura inamovible, la reacción horizontal de dicha estructura compensará dicha componente que por lo tanto nunca debe sumarse a las reacciones sobre los planos debidas al peso del disco, y la ecuacion que planteaste estaria mala. Es absolutamente incorrecta si no tienes en cuenta la reacción horizontal de la estructura que forman los planos inclinados. Es absurdo el planteamiento. Y ocurriría exactamente lo mismo con la componente vertical suponiendo que no fuera nula. Asi como tambien cabe la posibilidad que el disco comienze a rodar por el plano inclinado de la derecha y eso caberia dentro de lo posible. ¿Que opinas tu al respecto carmelo? de antemano muchas gracias

[carmelo]

Re: momento maximo

Hola:

El primer planteamiento que hice estaba mal porque incluí las fuerzas de rozamiento en el balance rotacional, pero las olvidé en en el caso traslacional. Lo que ocurre es que el cuerpo se mantiene en reposo hasta que comienza a rodar a lo largo del plano de la derecha, y el sistema se comporta como un cilindro que asciende por un plano inclinado.
No entiendo muy bien a que te refieres en cuanto a las normales, ambas tienen componentes según x y según y, y por lo tanto hay que considerarlas.

Saludos
Carmelo