Divulgación Área bajo una parábola

[u_maligno]

Hola. Estoy intentando resolver un problema sin saber mucho de física ni mates en general (no soy estudiante) y aunque supongo que hay muchos errores en la forma de expresar algunas cosas me gustaría saber si los resultados son correctos y cómo puedo resolver el último punto porque me surgen muchas dudas ahi..

El problema es el siguiente:

Un futbolista chuta una pelota con un ángulo de 30º sobre la horizontal con una velocidad inicial de 20 m/s. Suponiendo que no hay rozamiento con el aire.. calcular:

a) Tiempo que tarda la pelota en alcanzar su altura máxima
b) Altura máxima
c) Tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo
d) Distancia (horizontal) recorrida por la pelota
e) Área bajo la curva-parábola descrita por la pelota

a) Aquí descompuse la velocidad inicial de 20 m/s en V0x y V0y:

V0x = V0xy * cos 30
V0y = V0xy * sen 30

V0x = 20 * cos 30 = 17,32 m/s
V0y = 20* sen 30 = 10 m/s

Y luego igualé V0y con la velocidad a la que cae la pelota (gt) para saber en qué instante de tiempo la velocidad en el eje Y es igual a cero (que es cuando dejará de subir y empezará a caer )

V0y = gt
t = 10/9'8 = 1,02.. s

b) Aqui sustituí el tiempo que tarda en alcanzar su altura máxima en la ecuación de movimiento que da la distancia en función del tiempo:

h = Y0 + V0yt - 1/2gt²
h = 10(1,02) - 4,9(1,02)²

h = 5,1 m

c) Aqui me imaginé que la pelota se dejaba caer de una altura de 5'1 m para calcular cuánto tiempo tardaría en llegar al suelo, como la velocidad en el eje X no afectaría a la velocidad a la que cae la pelota (¿no?) supuse que no hacia falta tener en cuenta nada más:

0y = 0
V0y = 0

5,1 = 4'9t²
t' = (5,1/4'9)^1/2 = 1,02..s (lo mismo que tardó en subir, que ahora no sé si hacia falta tanta cosa y es siempre así )

d) Aqui simplemente multipliqué el tiempo total por la velocidad de la pelota en la horizontal:

d = V0xt = 17,32*2'04 = 35,33.. m

e) Aqui me estuve un buen rato pensando qué función daría la coordenada Y respecto a la coordenada X, para no complicarme mucho (o no sé..) partí de Y = 5'1 y de ahí en adelante, dando los valores de Y respecto a X desde Y = 5'1 hasta Y = 0.

Y0 = 5,1
X0 = 4,9t²
t = x/V0x

F(x) = Y0 - X0 <=> F(x) = 5,1 - 4,9t²

F(x) = 5'1 - 4,9(x/17,32)²

Y aqui ya no sé qué hacer, si no me equivoqué en nada (que ya seria raro ) al integrar esa función deberia obtener la mitad del área bajo la curva-parábola. Pero hay tres cosas que no tengo muy claras:

1 - Si esa función está bien
2 - Si "(x/17'32)²" se puede integrar del mismo modo que "4'9x'²" (x' = x/17,32), ya que un caso la fracción queda fuera de la potencia pero en el otro no.
3 - Si eso me daría realmente el área bajo la curva o el área "sobre" la curva, ya que Y al final es igual a cero.

En fin, que seguro que encontráis bastantes cosillas para corregirme.. hehe

Salu2

[GNzcuber]

Re: Área bajo una parábola

Hola u_maligno,

Lo que has hecho está bien, si partimos de una altura determinada y lanzamos un objeto que tengo una componente vertical y hacia arriba, cuando pase por el mismo nivel de altura tendrá la misma celeridad (módulo de la velocidad) que cuando fue lanzada, pero los vectores tendrán diferentes sentidos, e incluso direcciones. Este hecho lo puedes ver más fácilmente si piensas en energías, como no hay rozamiento la energía se conserva por lo tanto al lanzar un objeto le estamos dando una energía cinética que se convierte totalmente en potencial al alcanzar su altura máxima y al descender recupera esa energía cinética, que por supuesto será la misma, ya que la masa no varía, no se crea ni destruye energía.

Tienes un movimento parabólico parametrizado por medio de los tiempos:

$$\dst y=y_0+v_0\cdot \sin(\theta)\cdot t-\frac{1}{2}g\cdot t^2$$

$$\dst x=x_0+v_0\cdot \cos(\theta)\cdot t\rightarrow t=\frac{x-x_0}{v_0\cdot\cos(\theta)}$$

Si sustituimos (2) en (1), por cierto lo estoy haciendo de forma general, en tu caso para simplificar puedes decir que la primera coordenada en x e y es cero:

$$\dst y=y_0+(x-x_0)\tan(\theta)-\frac{g}{2v_0^2\cdot\cos^2(\theta)}(x-x_0)^2$$

Ahora sí, como $\dst y_0=0$ y $\dst x_0=0$ entonces:

$$\dst y=x\cdot\tan(\theta)-\frac{g}{2v_0^2\cdot\cos^2(\theta)}x^2$$

Integras desde $\dst x_0=0m$ hasta $\dst x_1=35.33m$:

$\dst Area=\int_{x_0}^{x_1}\left(x\cdot\tan(\theta)-\frac{g}{2v_0^2\cdot\cos^2(\theta)}x^2\right){d}x=\left[\frac{\tan(\theta)}{2}x^2-\frac{g}{6v_0^2\cdot\cos^2(\theta)}x^3\right]_{x_0}^{x_1}$

Perdona, no había leído bien tu última respuesta, pues sí, de esa forma también sale, lo que puedes hacer es si tienes $\dst \left(\frac{x}{algo}\right)^n=\frac{1}{(algo)^n}x^n$, ya que "algo" es una constante.

¡Saludos!

[u_maligno]

Re: Área bajo una parábola

Gracias, me salió el mismo resultado en las 2 (bueno, con media décima de diferencia hehe)

Creo que ya sé por qué me lié, en la primera parte de mi función estaba calculando (sin darme cuenta) el área del rectángulo que contiene la parábola (bueno, la mitad). Como para x = 0 las dos partes dan cero pues sólo importa el valor final de x, que es justamente la (mitad) de la distancia que recorre, que multiplicada por 5'1 (la altura) pues da el área de la mitad del rectángulo. Y en la otra parte de la función estaba calculando el área sobre la parábola hehe.. por eso al restar me da el área bajo la pispa .. Supongo que es mejor la función/ecuación (nunca sé cuándo llamarlo de una forma o de otra ) que pusiste tú, aunque me ha hecho ilu llegar a la misma solución de una forma un poco más "chapucera".

Salu2!