Divulgación Movimiento armonico simple

[dafetono]

Una regla de 15 cm y masa de 10 gr oscila desde un punto en el extremo de ella formando un angulo inicial de 10º con una velocidad inicial de 0 (m/s) . Hallar:

a) Amplitud
b) Periodo
c) angulo de fase
d) x(t=3s) y v(t= 3 s)

xosicion
v: rapidez

Gracias

[natanael]

Re: Movimiento armonico simple

Esto es un ejercicio de pendulo físico, no sé realmente como se resueve legalmente, es decir usando la inercia rotacional en torno al punto de pivote, pero voy a tratar de modelarlo a travez de conservación de la energía, tal vez no se pueda pero allí voy basandome en que el diagrama sea este.



Para empesar hallamos la altura h para utilizar la energía potencial Up=mgh, utilizo la L/2 porque es el centro de masa (suponiendo que tiene un densidad superficial constante).

$\dst cos(\theta)=\frac{y}{\frac{L}{2}} \Rightarrow y=\frac{Lcos(\theta)}{2}$

$\dst \frac{L}{2}=y+h \Rightarrow h=\frac{L}{2}-\frac{L}{2}cos(\theta) \Rightarrow h=\frac{L}{2}[1-cos(\theta)]$

La energía total de sistema E sabiendo que la energía cinetica K es cero, partiendo del reposo y con una distancia x.

$\dst \left. E=K+Up \right\vert_{K=0}^{} \Rightarrow E=mgh=\frac{mgL}{2}[1-cos(\theta)]$

cuando la regla llega a posicion x=0, alcanza su velocidad máxima, como utilizamos esta posicion en y como referencia para la energía potecial, ahora Up vale cero.

$\dst \left. \frac{mgL}{2}[1-cos(\theta)]=\frac{1}{2}m{{V}_{x=0}}^{2}+Up \right\vert_{Up=0}^{} \Rightarrow {V}_{x=0}=\sqrt{gL[1-cos(\theta)]}$

Ya tenemos la velocidad para x=0, sea x el recorrido del cento de masas, ahora calculemos el tiempo para hacer una relacion con el periodo.

$\dst x=\frac{L\theta}{2} \to {V}_{x=0}=\frac{x}{{t}_{x=0}} \Rightarrow {t}_{x=0}=\frac{\frac{L\theta}{2}}{\sqrt{gL[1-cos(\theta)]}}$

Ahora bien, cuando el centro de masa llega hasta la posicón x=0, sólo ha hecho la cuarta parte de su recorrido total, es decir faltan 3/4 de su recorrido total para un periodo completo.

$\dst {t}_{x=0}=\frac{T}{4} \Rightarrow T=4{t}_{x=0}$

$\dst T=\frac{2\theta}{\sqrt{gL[1-cos(\theta)]}}$

Creo que debería dar igual usando la inercia rotacional, es solo que no entiendo muy bien las formulas que deberia usarse, pero bueno hasta aqui llego yo.

Ahora para calcular la distancia "x" y la velocidad a los 3 segundos, voy hacerlo como estoy costumbrado, modelando funciones.

Hagamos la velocidad función del tiempo, cláro de forma senosoidal con la funcion seno, donde "Vx=0" es la amplitud y T el período antes calculado.

$\dst y=sen(t)$..... $\dst f=\frac{1}{T} \to V={V}_{x=0}sen(2\pi ft) \Rightarrow V={V}_{x=0}sen\left(\frac{2\pi t}{T}\right)$

Hacemos la EDO, integramos y listo tenemos las funciones de la velocidad y la distancia en función del tiempo.

$\dst \frac{\dd x}{\dd t}={V}_{x=0}sen\left(\frac{2\pi t}{T}\right)$

$\dst \dd x={V}_{x=0}sen\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\dd t$

$\dst \int \dd x=\int {V}_{x=0}sen\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\dd t$

$\dst x=-\frac{{V}_{x=0}T}{2\pi}cos\left(\frac{2\pi t}{T}\right)$

Solo tienes que avaluar para t=3 seg y esperar a que alguien lo resuelva de la manera correcta para ver si coinciden los resultados.

[carmelo]

Re: Movimiento armonico simple

Hola:

El planteamiento que estas haciendo no es correcto en cuanto a las siguientes consideraciones.

• En el balance de energía no consideras la energía cinética de rotación de la barra (sólo consideras las energía cinética de traslación).
• La velocidad que tiene la barra no es constante por lo tanto, no es válido $v=\dst\frac x t$.

La forma correcta de hacerlo sería según mi opinión:

$\sum\tau = -Mg\sin\theta \cdot\dst\frac L 2=I\ddot{\theta}$

Para pequeñas oscilaciones se tiene:

$\sin\theta\sim\theta$

El momento de inercia de una barra con respecto a un eje que pasa por un extremo es:

$I=\dst\frac13ML^2$

$-Mg\theta\dst\frac L 2=\dst\frac13ML^2\ddot{\theta}$

$\ddot{\theta}+\dst\frac{3g}{2L}\theta=0$

Donde se reconoce facilmente que esta ecuación diferencial corresponde a un MAS con:

$\omega=\sqrt{\dst\frac{3g}{2L}}$
$T=2\pi\sqrt{\dst\frac{2L}{3g}}$

La ecuación general sería:

$\theta=\theta_0\cos(\omega t+\delta)$

Supongo que desde acá en adelante pueden continuar.

Saludos
Carmelo

[natanael]

Re: Movimiento armonico simple

• En el balance de energía no consideras la energía cinética de rotación de la barra (sólo consideras las energía cinética de traslación).
• La velocidad que tiene la barra no es constante por lo tanto, no es válido $v=\dst\frac x t$.

Gracias, cometí dos infracciones imperdonables, creía poder hacerlo por conservación de la energía.

Una pregunta, el momento de inercia que tanto varía para otros ojetos?, es decir tienes alguna guía o libro donde salgan. Si sabes de algun ejercicio parecidos pero con figuras irregulares, es decir descrita por funciones y con densidad varible, prodrías decirme donde encontrarlo.

[carmelo]

Re: Movimiento armonico simple

Hola:
El caso general para un péndulo físico, se puede obtener igual que el caso desarrollado anteriormente.

$-Mg\sin\theta\ r_{cm}=I\ddot{\theta}$

donde el $r_{cm}$ es la distancia del punto de apoyo al centro de masas.

Considerando pequeñas oscilaciones, se tiene:

$\ddot{\theta}+\dst\frac {Mgr_{cm}}{I}\theta=0$

$\omega=\sqrt{\dst\frac {Mgr_{cm}}{I}}$

O sea, que el problema ahora es encontrar el momento de inercia y el centro de masas del péndulo en cuestión. Existen tablas de las formas más comunes en la mayoria de los libros de texto de física, sino habrá que hacer algunas integrales para poder encontrarlos.

Saludos
Carmelo

PD: Olvidé decirte que el momento de inercia, no sólo depende de la forma del objeto que se esté considerando, sino que también, con respecto a que eje se considere.

[Al2000]

Re: Movimiento armonico simple

..
Una pregunta, el momento de inercia que tanto varía para otros ojetos?, es decir tienes alguna guía o libro donde salgan. Si sabes de algun ejercicio parecidos pero con figuras irregulares, es decir descrita por funciones y con densidad varible, prodrías decirme donde encontrarlo.

Aquí tienes los mas comunes. Saludos,

Al