1r ciclo Un cañón se encuentra sobre un plano inclinado...

[Templario777]

Un cañón se encuentra sobre un plano inclinado que forma un ángulo α respecto de la horizontal. La velocidad de disparo del cañón es v y el ángulo que forma dicho
vector con la horizontal es β (variable), como muestra la figura.

Encuentre la relación que deben cumplir α y β para que el tiempo de
vuelo de una bala disparada por el cañón antes de llegar al plano sea
máximo. (Observe que α<β<α+π)

No me sale, entiendo que habría que encontrar una función t que depende de un ángulo y maximizarla, ¿no? Disculpenme, pero hoy no estoy muy lúcido... jeje.

Saludos,
T777

[Al2000]

Re: Un cañón se encuentra sobre un plano inclinado...

Según mis cuentas la solución es la opción a). Si pones que las coordenadas del proyectil son $x = (v \cos \beta) t\,,\,\, y = (v \, \mathrm {sen} \, \beta ) t - \frac 1 2 g t^2$ y la ecuación de la rampa es $y' = (\tan \alpha ) x'$, entonces cuando el proyectil impacte la rampa tendrás la condición $t = t_{\text {vuelo}}\,,\,\,x' = x\,,\,\, y' = y$. Si haces las operaciones y consigues la expresión del tiempo de vuelo, puedes buscar el máximo fácilmente.

Saludos,

Al

[GNzcuber]

Re: Un cañón se encuentra sobre un plano inclinado...

Con las indicaciones de Al:

$$\dst \left.\begin{aligned}x=(v\cos(\beta))t\\y=(v\sin(\beta))t-\frac{1}{2}gt^2\\y=\tan(\alpha)x\end{aligned}\right\}v\sin(\beta)t-\frac{1}{2}gt^2=v\cos(\beta)\tan(\alpha)t$$

Descartando t=0, porque es un mínimo, puedo cancelar este factor que se encuentra en cada término.

$$\dst t=2v\frac{\sin(\beta)-\cos(\beta)\tan(\alpha)}{g}\Rightarrow {d}t=2v\frac{\cos(\beta)+\sin(\beta)\tan(\alpha)}{g}{d}\beta$$

$$\dst \frac{{d}t}{{d}\beta}=0\Rightarrow \tan(\alpha)=-\frac{1}{\tan(\beta)}$$

Bueno, también me ha dado el primero, aunque matemáticamente haya dado dicho resultado ¿Por qué el tiempo máximo no es $\dst \frac{\pi}{2}$? Sabemos que en un tiro parabólico tardará el mismo tiempo en llegar a su altura máxima que en caer, si lo hacemos con cierto ángulo su altura máxima será menor, y encima agregarle que al caer se encontrará con el plano inclinado disminuyendo el tiempo de caída.

¡Saludos!

[Al2000]

Re: Un cañón se encuentra sobre un plano inclinado...

¿Te fijaste en el cambio de signo? La respuesta te está diciendo que debes disparar hacia la parte baja de la rampa, lo cual hará la trayectoria mas larga pues el misil debe llegar mas abajo de donde partió.

Saludos,

Al

PD. De hecho, tienes razón, el máximo tiempo de vuelo se obtiene cuando disparas perpendicular a la rampa. Con tu comentario me percaté que la pendiente del la dirección de disparo es el inverso negativo de la pendiente de la rampa, es decir, es perpendicular, cuestión que había pasado por alto.

[Samir M.]

Re: Un cañón se encuentra sobre un plano inclinado...

Hola, buenas tardes.

Por favor podrían describir mas detalladamente los pasos que ha seguido
GNzcuber en la resolución de las ecuaciones (1) (2) (3) en su mensaje?

Tambien tengo otra duda, ¿porque la ecuación de la recta de la rampa es y=tan(alpha)x ?

Gracias.

[GNzcuber]

Re: Un cañón se encuentra sobre un plano inclinado...

Hola Samir,

En (1) simplemente sustituyo las $\dst y$ y $\dst x$ por las coordenadas que Al propone. Supongo que las entiendes dichas coordenadas.

En (2), parto de (1), todos tienen factor común $\dst t$, por lo tanto la solución $\dst t=0$ la descarto y despejo $\dst t$. Seguidamente derivo respecto a $\dst t$ en el miembro izquierdo y derivo respecto a $\dst \beta$ en el miembro derecho.

En (3) optimizo, si "en ambos lados de la igualdad dividimos por $\dst {d}\beta$" (aunque podamos hacer esto debemos tener en cuenta que $\dst \frac{{d}t}{{d}\beta}$ es sólo la notación de cómo varía una función debido a la variación infinitesimal de una variable), e igualamos a cero para hallar los puntos estacionarios y despejamos $\dst \tan(\alpha)$ obtendrás la relación.

Inténtalo, no es difícil, pero si te trabas en algún paso vuelve a preguntar.

¡Saludos!

[Al2000]

Re: Un cañón se encuentra sobre un plano inclinado...

...
Tambien tengo otra duda, ¿porque la ecuación de la recta de la rampa es y=tan(alpha)x ?
...

Simple trigonometría- Selecciona un punto en la recta, de coordenadas (x,y); fíjate que las coordenadas del punto son los catetos de un triángulo rectángulo donde la rampa es la hipotenusa y tan alpha = y/x.

Saludos,

Al

[Samir M.]

Re: Un cañón se encuentra sobre un plano inclinado...

Gracias!!